第六节ARIMAX模型

1、第六章ARIMAX模型 一、ARIMAX模型的概念 有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油 价格对股价的影响。带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型。Box和刁锦寰提 出 ARIMAX模型。 例子 1) 9.11 事件对道琼斯指数的影响 2) 广告对销售量的效应 3) 美国月批发物价指数对零售价指数的影响 4) 1960年前后时间XI、冬季X2、夏季X3对臭氧数据 Yt 5) 固有股减少X1、道琼斯指数X2、石油价格X3对上证指数 数学模型 - v(jk)Bjxt(k) j =0 设xt,y是时间序列，(i=1,k ) yt 八 v(1)B%

2、、v(2)Bjx；2) j =0j =0 Xt( at 其中 H(B) =1 _dB 8qBq,申(B)=1 窗B 二一 -%BP 称为传递函数模型， Xt称为输入因子(干预因子)，yt称为输出因子。 Xt(1 yt xt(k). 注：为减少参数个数，通常考虑简化为: yt 亠 s Wat 1(B) 甘出弓(B) _ 叩)_*)B _-计Bqi, 1(B)二讦)_ ：T)B 其中ii (i=1,k )= 称上述模型为 ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。这个 模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列(称为输入序列)的过去值的结合。响 应序列也称为相依序列或

3、输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列。 二、两个独立滑动平均过程之和 Wt它是阶数分别为 q,q2的两个独立平均过程之和 即 Wt - t(B)at S(B)bt at,bt均是均值为零的白噪声且相互独立 记 q =maxq,q2 可得wt的自相关函数 j当j . q时为零 故W可表示成q阶的单一滑动平均过程wUt为零均值白噪声(证明可参考 Hamit on时间序列分析) 三、附加噪声对一般模型的影响 考虑 ARIM(p,d,q)(B)i - r(B)at 设zt本身不可观测，只能观测到乙=zt btb表示有关的附加的噪声，则对乙有 (B)idZt -珥B)q(B) % 若对 bt

4、有 bt满足 ARMA (P1,0,q) 即l(B)bttt与a独立白噪声 则有 1(B) (B) id Zt = 1(B戸(B)at(B)t(B” d： t P = p P1,Q =maxg q, p q d 2(B)l 七 72(B)utARIMA(P,d,Q) 四、带有回归项和时间序列误差的模型 Wt = 2梯対2Xt2Xtk Nt (t =1,2,., n) Xt1.Xtk为解释变量，而误差 Nt是一个ARMA(p,q)，*(B)Nt=9(B)at生成。该式可 以写为： WV,V = cov( N)。在传统模型中我们有 V =：；21，:的最小二乘估计为 ？ = (XX)XW，并具有性

5、质cov(?)=：；2(XX)。 但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立。此时最小二乘估计的协方差阵为 cov(?) =-2(XX)JXVX(XX)。因此一般的样本性质和统计推断的方=1法，如关于 估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效。 例:Wt=：1Xt-Nt,Nt= (1B)at，Nt 的子协方差为0 = (1 争；，1 一 。打的 nn 最小二乘估计为=送xtwt/为xt2，它的方差为： t =1t =i nn o O .二.Xt 2!二.xt xt j t丄 n 22 (Xt ) t 4 n_ v 2X2 ( Xt) t 4 y n 012 沐(X) V2X2 (

6、Xt ) t 4 var(l?)= 如果模型中误差 Nt为不相关的，我们会取 =0，而这会引起明显的错误推断。 当对时间序列数据拟合回归模型时，总是需要考虑误差项存在自相关的可能性的。通常, 对于误差Nt识别一个恰当模型的可行方法是首先得出最小二乘估计？，然后再得到相应的 回归模型的残差 这个残差序列可以用通常的时间序列方法来考察，这样可以对误差项建立一个实验性的模 型。？ = (XX)XW是渐近最优的，由此计算的自相关、偏相关等也是渐近最优的。而 般最优的线性估计，也称为广义最小二乘估计为=(X VX)x vw。 在实际中，根据噪声项 Nt确定具体的ARMA模型，可以确定 N协方差V的具体形

7、式，并 可找到一个下三角阵 P，使得PVP =二；1 ,V = PP7；2。令W = PW,X = PX得到广 义最小二乘估计为 ?G =(X*/X*)X*W*。因为Nt的时间序列模型中的参数 ,千是未知 的，所以必须在计算和极大似然估计以及模型中的参数,弓之间迭代。 (BOX JENKINSP415-420) 三、附加噪声的传递函数模型 干扰或噪声Nt和Xt的水平独立，且添加到有关X的影响上，它们可以写成干预序列 Yt (B) (B)BbXt Nt 如果噪声模型可以用 ARIMA(p,d,q)过程表示 Nt 二：4(Bp(B)at 这里at是白噪声，则模型最终可以写成： Yt =、(B) (

8、B)BbXt ，(B户(B)q (Xt),t =1,2,.,N 互协方差和互相关系数 （焉，yj是平稳 般地，一个双变量随机过程无须是平稳的，但适当进行差分后的过程 的，这里 xt 二 idXt,ytDX。 xx(k) = E(xt 一x)(Xt k - 灯 yy(k) - EK%y)(yt .k - ) xy(k)=E(Xtx)(yt ky) yx(k)= E(yt)(Xt k - ) 般 xy(k)= yx(k)，但 xy(k) = yx(-k) 称之为互协方差，和互相关系数 :?xy(k) xy(k) 一般xy（k） = .（-k），它关于k =0不是对称的。（P470） 互协方差和互相

9、关的估计 假设对原始的输入输出序列作了d次差分后有n=N-d对数值（Xt,yt），那么滞后k互协 方差系数的估计值为： 1 n Jk 迟（人一乂）（議一y）,k =0,1,2, n t: cxy（k）= n k - （yt - y）（xt k 一 x）,k = 0,1, 一2,. n t: Rk） = 廻,k =0,_1,_2， SxSy 传递函数模型的识别 对预白噪化输入的传递函数模型的识别 如果系统的输入是白噪声，则识别过程将很大程度被简化。假设适当差分后的输入过 程是平稳的，并且可由ARMA模型来描述，那么可以对 人用通常的识别和估计方法得到 一个模型： 厂（B） x（B）X 二:t 该

10、式把相关的输入序列转化为非常接近不相关的白噪声。同时我们可以由?t的平方和得 到二2的估计S。如果我们对yt使用同样的变换得到： *(B) x(B)yt 则原模型可以写为： t 二 v(B)_：n * 其中转换后的噪声序列有- ；J(B) x(B)nt 将上式两边同时乘以:t并取数学期望，我们得到： . 2 ,.|：(k) = vk；：匕 于是列)=嗨(叫 匚;-: 因此，将输入白燥化后，在白燥化输入和经相应变换的输出之间的互相关函数直接与脉冲相 应函数成正比。在实际中我们并不知道理论互相关函数；?.-.(k)，故我们可以用其估计量替 代： ?=上巡庄 ksa 噪声模型的识别 假设模型可以写成

11、(如果必要，做适当的差分之后) yt 二 v(B)Xt nt qd Nt 用前面所述方法给出传递函数的初步估计后，噪声序列的估计由下式得到： ? = yt -/(B)Xt V( B)还可以用初步识别所确定的试用传递函数模型来替代。于是 凤的计算： 先通过、?(B)yt = ?(B)Xz写为 ?=呂？斗十+聲？# 坳人丄一叹人3递推计算出 ? = ?(B) ?(B)x，然后由n? =yt -?t计算噪声序列。 噪声的识别还可以利用经过白燥化后的输入和输出的相关函数来进行，即按照下列方 法进行。假如输入可以被完全白燥化， ；tx(B) x(B)m 如果；t可以找到一个随机模型，那么由上式可以对nt

12、，从而对Nt导出模型。记 5 =v(B)t，便有1 ；t，同时由于给出了 人n独立性的假设，从而 q,；t也独立。 1(k)二加；(k) 由此计算得到典化)，(k) w 模型识别后可以用条件平方和法进行参数的计算。 F预模型 Yt W(B)Bb 、(B) Nt 其中yt $2(B)W(B)Bb t代表干预事件的影响 Nt是噪声 它表示在没有干预影响时序列Yt的变化 般可设 Nt 是一个 ARIMA( p,d,q) 即(B)Nt 仝(B)at 干预序列分为脉冲式干预序列和持续式干预序。列。 脉冲式干预序列： 持续式干预序列： t一般有两种通用的形式 S0 t T t -T 它表示在时刻T之后干预

13、的影响仍保留下去的情形 它可表示暂时或瞬间干预的影响 干预分析模型可表示为 讐喘a 持续式干预序列需预白噪声化，即先将干预序列拟合ARIMA模型。 预白噪声： 用途：对非脉冲干预因子，有可能计算机不好计算 估计干预因子对应的传递函数的推移算子 有关附加异常值与新息异常值模型 1 设 Zt ARIMA( p,d,q ) (B)Zt “(B)at 若在时刻T附加异常值，则有 Yt 二WR(T) Zt =WR(T) 左爲 (B) 称之为附加异常值模型(AO Model ) 2 .新息异常值(10)模型 Yt =二-回(WR(T) at)统计诊断引论韦博成东南大学出版社 (B) 第三节SAS实现计算

14、一、差分 输入序列的差分由 CROSSCOF选顼来指定，并且如同相应序列的差分那样工作。例如 Ide ntify=var=y(1) crosscorr=(x1(1) x2(1) 表示对Y作一阶差分，对 X1,X2作一阶差分，在随后的ESTIMATE语句中，任何在INPUTS 项中用到X1和X2时，这些名字指差分序列。 二、使用输入序列 为了使用输入序列的过去值和过去误差，你也可以使用被称为输入序列的其它序列的当前和 过去值来对响应序列建模。此时要在identify语句中。的crosscorr=选项中列出输入序列， 并在随后的ESTIMATE语句中用INPUTS项说明它们是如何进入模型的。 Proc arima data=a; Ide ntify var=sales crosscorr=price; Estimate in put=price; 本例使用一个称作 price的序列来帮组对sales建模。执行了一个sales关于pr