广东深圳中学高中数学必修二导学案21直线圆的位置关系

1、A.相交B相切C.相离D.不能确定21 .直线与圆的位置关系鄢志俊学习目标1 依据直线和圆的方程，能熟练求出它的交点坐标.2 理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法.3 会求过圆上(或圆外)一点的圆的切线方程.4 能利用直线与圆的方程研究直线与圆有关的问题.一、夯实基础基础梳理1 直线与圆的位置关系.位置关系有三种： 、判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1) 代数法：利用判别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元次方程后，计算判别式b2 4ac ,0 , 0 0 (2) 几何法：禾U用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d r

2、, d r , d r 2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1 )几何方法运用弦心距、半弦长、半径构成直角三角形计算这种方法在圆中比较常用.A（X1, y1）(2 )代数方法(弦长公式) 用弦的两端点的横坐标 x1, x2, 直线的斜率 k表示为 AB 注意到x1 x2 用弦的两端点的横坐标 y1 , y2 ,直线的斜率 k表示为 AB 基础达标1. 直线3x 4y 12 0与圆x2 y2 2y 0的位置关系是()2 .直线3x224y 20与圆x y4y0交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是()A. 4x3y2 0B.4x3y 6 0C. 3x4y8 0D.3x 4y 803.

3、(2010年广东)若圆心在x轴上，半径为.5的圆O位于y轴左侧，且与直线x 2y 0相切，则圆O的方程是()A. (x25)y25B.L 2(x 5)y2 5C. (x25)y2 5D.(X 5)2 y2 5在平面直角坐标系xOy中，直线3x4. (2012年广东)4y 50与圆x2y2 4相交于A、B两点，贝U ABA.C.3D.2圆(x 1)(y22)8上与直线10的距离等于2的点共有(B. 2个A.二、学习指引自主探究1怎样求两曲线的公共点？2 简述判断直线与圆的位置关系的方法.3 圆的切线方程C. 3个D. 4个(1)过一点作圆的切线一定有两条吗？)某同学过圆外一点求圆的切线方程，只得

4、到一条，他可能出现了什么错误？(3) 总结过一点 M求圆C的切线方程的方法： 过圆上一点切线的求法：利用切线I与过该点的半径 OM所在直线 ，即 1 .如右图，当该点在 时，不能用这个方法. 过圆外一点切线的求法.若点(xo , yo)在圆外，则设切线方程为 ,利用圆心到直线的距离等于半径，解出k .如图，当该点在 上时，求得的k只有一个，还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.4 特殊的切线方程证明下列两个结论： 当点(xo , yo)在圆x2 y2 r2上时，切线方程为 沁 yy r2.当点(xo ,yo)在(xa)?(y b)r2上时，切线方程为(冷a)(xa)(y。b)(yb) r2 .

5、案例分析2 21. 已知圆 C : (x 1) (y 2) 25，直线 l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0 , m R .(1) 证明：不论 m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；(2) 求直线I被圆C截得的弦长最小时的方程.【解析】(1)方法一：直线I的方程为(x y 4) m(2x y 7) 0 .因为m R，所以2x y 70,解得x y 40,3,1.即直线I恒过定点A(3, 1).因为圆心C(1, 2), AC|丿5 5 (半径)，所以点A在圆C内.因此直线l恒与圆C相交于两点.(2)方法一：弦长最小时，| AC .由kAC1 ,得直线I的方程为2x y 5 0 .2说

6、明；本题第(1)问还可以直接求出圆心到直线I的距离，并比较其与半径的大小来判断.第(2 )问利用弦长公式，得到弦长关于m的函数关系式，再求值域.通过实践发现，解析中的方法更好.2 .已知点P是曲线y 厂2上的点，求点P与点Q(0, 1)的距离的最大值.【解析】由y .2 x2，得x2 y2 2(y 0),它表示以原点为圆心，一2为半径的上半圆，包括在 x轴上的两个点.设此半圆与y轴交于R，由图可知，当点 P与点R重合时，点P到点Q的距离最大，其最 大值为 2 1 .三、能力提升能力闯关1 .在圆x22y 4上，与直线4x 3y 120的距离最上的点的坐标是(A.86D.,-552. 直线-彳1

7、(a 0, b 0)与圆x2 y2 1相切，则ab的最上值是()A. 1B. 2C. . 2D. 2 23. 已知圆C : x2 y2 1，点A( 2, 0)及点B(2 , a),从A点观察B点，要使视线不被圆 C挡住，则a的取值范围是()A.(,1)U (1,)B.(,2)U (2,)C.,43 u 4 5D.(,4)U(4,)拓展迁移4 与圆(x22) y21相切且纵横截距相等的直线有()A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条5 .如果实数2 2:x , y满足等式(x 2) y3，那么丄的取值范围是挑战极限6设圆满足：截 y轴所得弦长2;被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 : 1,在满

8、足条件的所有圆中，求圆心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.课程小结本节研究了直线与圆的位置关系，注意体会代数法与几何法研究直线与圆的位置关系的方法.2 1 直线与圆的位置关系一、夯实基础基础梳理1 .相切，相交，相离。(1)相交，相切，相离。(2)相交，相切，相离。 2 12. (2) AB J|xiX2,XiX2J(xiX2)4x1X2, ABj1kIyiy2基础达标1 . C.2 . B.3 . D.4 . B.5 .用轨迹法。提示如下：到直线I : xy 10的距离等于 2的所有点在于I平行且距离为2的两条直线|1|2上，于是研究Il、I2与圆的公共点个数就决定了答案.先求

9、出圆心与已知直线I的距离，再判断圆心与Il、I2的距离，这样就可以判断 Il、I2与圆的公共点个数了.选C.二、学习指引1 将两个曲线的方程联立成方程组，公共解即为它们的公共点.2 .判断直线与圆的位置关系，一般有代数法和几何法两种方法：代数法就是利用方程理想 来求判别式或求根； 几何法就是用“点到直线的距离”求出圆心到直线的距离，再与半径比 较大小.3. ( 1)不一定，如果该点在圆上，那么只能作出一条切线.(2)他可能设的点斜式直线方程，忽略了过该点的垂线可能是切线.总结过一点M求圆C的切线方程的方法： 过圆上一点切线的求法。利用切线I与过该点的半径 0M所在直线垂直，即k1 koM1，如

10、右图，当该点在 A、A2、日、B2时，不能用这个方法. 过圆外一点切线的求法.若点(xq , yo)在圆外，则设切线方程为y yo k(x Xo)，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k .当该点在直线I1或直线I2上时，求得的k只有一个，还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.4. 现证明第二个结论.因为点(xo,yo)在(xa)(yr2上，所以(xoa)2(yb)2r2(*).过点(xo,yo)的切线方程为：(yyo)(yob)(xoa)(xxo)(可用垂直关系得到)。将方程整理为(yb)(byo)(yob)(xa)(xa)(aXo),展开得(yob)(yb) (yob)(byo)(xa)(x

11、a)(xoa)(aXo)即(y b)(y b) (xoa)(x a)(y b)(b y) (x a)(ax)22即(yo b)(yb)(xoa)(xa)(yb)(xa)由(*)得(yob)(y b) (xoa)(x a)r 2 2 2方程是(x 1)(y 1)2，或(x 1)(y 1)2 .三、能力提升1 . A.由平面几何知识知，先算出圆心(0 , 0)到直线4x 3y 120的距离d。则d r为圆上的点到直线4x 3y 120的最小距离.2. B.由题意，知1，从而aba2 b23. C .点B在直线x 2上运动，从A点观察B点，要使视线不被圆 C挡住，只需直线AB 与圆相离即可.4. B

12、 .由题意可设直线的方程为y kx或-丄1(a 0).a b5. 3 w k w ,3 .方法一：设y k，则y kx，代入等式整理得x(1 k2)x2 4x 1 0 .由厶 16 4(1 k2) 0,得 3 w k w ,3 .方法二：y表示圆(x 2)2 y2 3上动点到原点的直线的斜率，画图观察，找到斜率的最x大值，最小值即可.6.方法1设圆的圆心为P(ab)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b ,a .由题设，知P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，因此圆P截x轴所得的弦长为2r ,故r22b2。又圆P截y轴所得的弦长为2,所以r2a21，从而2b2a21。又点P(a,b)到直线x 2y 0的距离为d ，所以5d2 a 2b $ a2 4b2 4ab a2 4b22(a2 b2) 2b2 a2 1 ,当且仅当a b时，上式等号成立。此时 5d2 1，从而d取得最小值.a b ,a1, a1 ,o ol由此有 22 解得或由r2 2b2，知r2。于是，所求圆的2b a1 ,b1b1 .方法2由方法1,得d2b5d，由此得将a2 2b21代入(*)，整理得a2 4b24 5bd 5d2 . (*)2b2 4、5bd 5d2 10 . (* )1) 0,得4b 20 ,把