(整理)曲线曲面积分及场论初步

1、精品文档r6 3z+y计算j其中 L 为过(0, 0), (0,1), (1,2)三点的一.设茁心内有连续的导函数,求I=J 1+戸/（砂）必+4纽（矽）-11妙11 y y（3,-）其中L为从点A _到点B（1,2）的直线段.dp _）+（劝 - 1% 7（功 + 矽丫 （卩）- 1解.Y:,.dp Sq=亍乱,于是积分与路径无关/ = L1 +皿砂）dx+$/（功-1为=知/）-胁 + J； 1+乌 dx伪）妙-雋妙+ f如+ （2枷= J- .+ 討；+加心-3 1 = -4精品文档圆周.dq _丿 空二包去 .和刖,于是积分与路径无关-(U)咖)(H + x)dx+(诃 一 2y)dy

2、=.：(1 + Q必 + f (ey-2y)dy=e -|%一ar_（孚-密必妙- ；办妙Jc4仙片+切+a； ）dx + 如 + b2y+帕亦三计算, L（AMB是上半圆周.A B的坐标分别为（1,0）和亿0）.I -(他 y+ 3丿)必+ 0 ty-li)dy解.+ cosy-7x)y$ xr y兀 3135怒ye C0S7- i-e cosy-)axay= ID2 2四计算遊（时+吵+勺）必+（如+切讷,其中讥“吆兀为常2 2 2数 D（oncuo） ,AB为孟十A = 1上的一段弧,BC为丿=1 一 *上的一段弧解.仆忆+勺A +巧）必+ （站+纠/ +幼莎ACfff-1-I (-ad

3、xdy- (a2x + ar)dx1rl rl-躍 2严 + (a十对儿 U dydx + 2a3 =(勺-对)(孑 + # + 2a五.计算其中L为连结 1dp2xx Fx=-yCGSHSill 9yyy yy的曲线弧段.da2xxFx=-y cos + =- sin 解.必yy yydq _3pdx 砂,于是该积分等于沿直线 AR X二囂）由1到2的积分.1 (sin + _匚os Wa- -costiy =-曲 尹尹 y ?2711 y cosayA= sin y y一 sin兀）二充计算| (x-c)dydyh(x-M+疗其中AB是沿椭圆的正向从COS (iAa, 0),B(0, b)

4、的一段弧.解.对于函数-1du _ x-cdu _y(x-cdx+ydy所以于是=：；册(3)= u(f)rb)-u(afi)t 7= lim 曲 忆3y）必+（严* sin 2xy-b2）dyu七.计算（b 0）, 其中牝（M（昇）（o,勺0（训1%=迄）L是依次连结”l!的有向折线（已知一解.-cos2xy-3y)dx+(sin 2矽-护)妙rr dq dpJJ (乔 一 cos 2xy - 3y)dx + (/新 sin 2xy- F )dy(3 (-2x) sin 2心+諾2y cos -討2y cos 2xyra.jD业 idx2xsin 2矽+ 3)d砂 - Q dx - 30 d

5、xdy- e * 二 3jt - 八所以I - fan cos 2xy - 3y)dx+ (s sin 2xy - b2)dy + 竺1X- 75 cos/ y = 3 sin/八.设平面 1:与椭圆柱面 L 1 相截，求其在-.- 及xoy平面之间 的椭圆柱面的侧面积丄 * 2解.椭圆的参数方程为所求侧面积dl 二 J/(zfV”)出二 J%inL+9co%f3sin iV5sin2 / + 9cos2 tdt =3 3sin f j5 + 4coJfdf-3V5+4 cos2 id cos/ cosZ = n - 3 Jf+4/曲-6 J5 + 4加也JoJiJo9+尹儿计算Ll:r- -

6、,其中匚一为连续函数,AnB为连结点一凡；打；的任何路径，但与直线段AB围成的图形AnBA 有定面积S.解./ -鸭必+-mfy=- ddy-斷X0-砂的+用妙 趴扳砂丿 M=JJ O妙一0）沪+in）dxdy-阂次+ （粗 一用妙+ J怜必 /MM的/) mS-E孔)1）讦陆0常-呦+耐讷-%）八嗣舄+百沙-加+3如=:二.C - Li -eK zosy+a)dxdy jj(a-b)dxdy= (a吗=Q&十一.计算正向看去，这个圆周取逆时针方向.r“，其中L是圆周若从z轴解.方法一：曲线L的参数方程为x = 2cosfiy = 2sin ff2=2.所以-| 3ydx - 虺妙 + ydz

7、 - j3 2 sin 5 (-2 sin fl) - 4 cos fl 2 cos SJfS-f(12sin1fi+3cos1 =12匕竺空+匕4空2 2dG=-20方法二:由斯托克斯定理dzdxf 二3ydx - xzdy+ yz2dz = jjdydzd_ d_dx _即dy-xzdxdyd_dz+ iC)dydz - Odzdx + (-z - 3)dxdy = |j(0,0,1) ; zZ2 Off-1| (z + 3)dxdy = -5| dxdy-DL十二计算T 如:”+y 解.设表示上半球面： ;i - J_表示下半球面：-?X3 dxdyfl+%空V=0./二JJ :2妙血卫:锥面-才- /二0及平卧二l,x二2十三计算所围立 体的外侧.解.方法一 ：1 =： =其中为锥面的外侧，二为平面丄【的外侧,为平面J的外侧.-rIIdydz=.7 -. -:-. ：方法二：使用奥一高公式2? + 2從-z2 = 25 十四.求甌二心”勿二-X在P(3,4R处沿曲线：1/ +/二,在处的切线方向的方向导数.精品文档:I解.：厂f2? + 2/-? = 25(F精品文档2Z2Z- -I3FlFl2Z2ZI?昭 一axaG一ax9F砂G) 砂Ax 4y巩5戶0GP2z 2y所以方向矢量，；匚方向余弦为48屈00+ 230