西方经济学证明与计算题

1、传说中的上财33道证明题1、证明需求曲线上的点c的价格弹性等于bc：ac证明：ed=-dq/dpp/q=gb/cgcg/og=gb/og=bc/ac=of/af2、证明线性需求函数q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等3、应用数学方法证明蛛网模型的三种情况4、论证消费者均衡条件为：mu1/p1=mu2/p2证明：已知收入约束条件为：i=p1x1+p2x2构建拉氏函数：l=u(x1,x2)+(1-p1x1-p2x2)l/x1=u/x1-p1=0，即mu1/p1=l/x2=u/x2-p2=0，即mu2/p2=mu1/p1=mu2/p2=5、如果预算线给定，一条无差异曲线u（qx，qy）与其相切，试

2、证明切点e的坐标为最优商品组合，切点e为消费者均衡点。6、证明： mrs12=mu1/mu2证明：设效用函数：u=u(x1,x2)u=u(x1,x2)=c(常数)表示同一条无差异曲线，即代表相同的效用两边取全微分u/x1dx1+u/x2dx2=0-dx1/dx2=u/x1/u/x2=mu1/mu2，即，mrs12=mu1/mu27、证明： 无差异曲线凸向原点8、证明q=alakb 。（a，a，b为参数，0a，b1）具有规模报酬的三种性质。证明：q=alkq*=a(l)(k)=a+lk=+alk=+-1alk(1)当+1时,为规模报酬递增当+=1时,为规模报酬不变当+1时,为规模报酬递减9、证明

3、mpl与apl相交于apl的最大值点处。证明：dapl/dl=df(l,k0)/l/dl=f (l,k0)l-f(l,k0)/l2=f (l,k0)-f(l,k0)/l/l=(mpl-apl)/ll0当mplapl时，apl曲线上升；当mplapl时，apl曲线下降；当mpl=apl时，apl取得最大值。10、证明：等产量曲线凸向原点。11、证明：artslk=mpl/mpk 。证明：假设等产量曲线的生产函数为：q=f(l,k)=q0，即f(l,k0=q0，两边微分得：f/ldl+f/kdk=0-dk/dl=f/l/f/k=mpl/mpk，即mrtslk=mpl/mpk生产理论中的边际技术替代

4、率与消费者理论中的边际替代率是相似的。12、证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：mpl/mpk=w/r证明：在q=f(l,k)=q0条件下，已知w，r求l，k使wl+rk有最小值？证明：z=wl+rk-q0-f（l，k）z/l=w-f/l=0，z/k=r-f/k=0f/l/w=z/k/r=1/，即mpl/w=mpk/rf(l,k)=q0，使z取得max，即wl+rk取得max。13、证明avc和mc曲线为apl和mpl的一种镜像。14、证明垄断厂商的mr曲线总是小于ar曲线，且斜率是2倍的关系，既mr曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。证明：因为假定现行的需求函数为：p=a-bq

5、（a，b为常数，且大于0）tr（q）=pq=aq-bq2mr（q）=dtr（q）/dq=a-2bqar曲线（需求曲线）：p=a-bqdp/dq=-bq=（a-p）/bmr曲线：mr（q）=a-2bqdmr（q）/dq=-2bqq=（a-mr）/2b15、证明边际收益与需求价格弹性的关系为： mr=p（1-1/ed） （ ed 弹性）证明：p=p（q），tr（q）=pq=p（q）qmr（q）=dtr（q）/dq=dpq/dqq+p（q）=dp/dqq+p=p（1+dp/dqq/p）=p1-1/（-dq/dpp/q）而ed=-dq/dpp/q（为正值），所以mr=p1-1/ed16、证明收益，价格

6、与需求价格弹性的关系为： dr/dp=q（1-ed）证明：r=pq，dr/dp=q+dq/dpp=q（1+dq/dpp/q）=q（1-ed）。其中ed=-dq/dpp/q（为正值）。17、三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。mr=dtr/dq=d（pq）/dq=p+qdp/dq=p（1-1/ed），ed=dq/dpp/q这样对于市场1：mr1=p1（1-1/ed1）；对于市场2：mr2=p2（1-1/ed2）由mr1=mr2，得：p1（1-1/ed1）=p2（1-1/ed2）p1/p2=（1-1/ed2）/（1-1/ed1），若ed1ed2，则p1p2，弹性

7、较大的市场取较小的价格。18、垄断竞争厂商长期均衡时，lac必定与d曲线相切的切点：同时也与mr与lmc的交点处在同一条垂线上，即q相同。第一步：lac与d相切于一点，即在此点时两曲线的切线的斜率相同。所以，d曲线的斜率dp/dq=d（lac）/dq而lac（切线）的斜率为：d（lac）/dq=d（ltc/q）/dq=d（ltc）/dqq-ltc/q2=lmc-lac/q在切点h处，均衡价格等于lac（因为长期利率为0），所以有lac=p，代入上式得到：所以dp/dq=（lmc-p）/q，则lmc=dp/dqq+p又tr=tq，mr=dtr/dq=p+dp/dqq所以此时，lmc=mr换句话说

8、：lmc=mr时的产量就是h点处的产量。19、证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的n/（n+1）假设厂商的成本为0，行业的需求函数为：p=a-b（q1+q2+.+qn）1=pq1=aq1-bq1(q1+q2+qn)，d1/dq1=a-2bq1-bq2-bqn)=02=pq2=aq2-bq2(q1+q2+qn)，d2/dq2=a-2bq2-bq1-bqn)=0n=pqn=aqn-bqn(q1+q2+qn)，dn/dqn=a-2bqn-bq1-bqn)=0a/b=2q1+q2+qn，a/b=q1+2q2+.qn，.a/b=q1+q2+.2qn所以q1=q2=

9、qn=1/(n+1)a/b由需求方程p=a-bq，当p=0时，则市场容量q0=a/b所以n家寡头的行业供给量为n/（n+1）a/b，即市场容量为n/（n+1）20、证明完全竞争厂商使用要素的原则是：vmp=w证明：（l）=pq（l）-wl-fc（固定成本）要达到max，则求导使之为0d（l）/dl=pdq/dl-w=0，即pdq/dl-w=0pmp-w=0，即vmp-w=0所以vmp=w时，取得max21、如果生产函数q=q（l，k）为一次齐次函数，则q=l*q/l+k*q/k 注：*为乘号， ，为微分符号。22、证明交换的一般均衡条件： mrsaxy=mrsbxy23、证明三部门经济中转移支

10、付乘数为：/（1）证明：因为y=c+i+g=a+（y-t+tr）+i0+g0所以y=（a-t+tr+i0+g0）/（1-）所以ktr=y/tr=/（1-）24、证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1证明：方法一：y=kgg+ktt=g/（1-b）+-bt/（1-b）=（1-b）/（1-b）tt=g，y/g=y/t=1方法二：y=c+i+gy=c+i+g因为c=a+by=a+b（y-t+tr）所以c=b（y-t）所以y=b（y-t）+i+g=b（y-t）+g因为i=0，所以y/g=（1-b）/（1-b）=1，（因为g=t）25、证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。证明：y=c+i+g+

11、nx=a+by+i+g+nx=a+b（y-t0-ty+tr）+i0+g0+x0-m0-y所以y=（a+i0+g0-bt0+btr+x0-m0）/1-b（1-t）+四部门经济中的乘数：1、 kx=dy/dx=1/1-b（1-t）+称为对外贸易乘数。2、其他乘数：ki、kg=1/1-b（1-t）+、ktr=b/1-b（1-t）+、kt=-b/1-b（1-t）+等等 特点也是四个部门的乘数变小，因为各个乘数分母为1-b（1-t）+26、证明财政政策乘数 dy/dg=1/1-（1-t）+dk/h证明：在产品市场上，y=c+i+g（以上三部门经济为例）c=+yd=+（y-t0-ty）i=e=dr所以r=

12、+e+g-t0/d-1-（1-t）y/d在货币市场上，m=l1（y）+l2（r）=ky-hr所以r=yk/h-m/h所以+e+g-t0/d-1-（1-t）y/d=yk/h-m/hy=+e+g-t0/d+m/h/1-（1-t）/d+k/hdy/dg=1/1-（1-t）+dk/h注意：一般dy/dg1/1-（1-t）政府购买支出乘数，但h，即lm曲线是水平状时，政府购买乘数=政府支出乘数27、证明货币政策乘数dy/dm=1/1-（1-t）*（h/d）+k证明：由前面已经得到产品市场、货币市场都均衡时，y=+e+g-t0/d+m/h/1-（1-t）/d+k/h所以dy/dm=1/1-（1-t）/d+

13、k几点结论：其他参数既定时，h（货币需求对利率越敏感，lm曲线越平缓，货币政策的效果越小）其他参数既定时，d（投资需求对利率越敏感，is曲线越平缓，货币政策的效果越大）28、证明宏观经济学中的总需求函数y=f（p） （y：总需求，p：价格水平）的斜率为负数。证明：在is-lm模型中考虑水平变化的情况下，建立y*与p的关系is：y=c+i+gr=a+b（tr-t0）+e+g0/d-1-b（1-t）y/d不妨令r=-ylm:m/p=l1(y)+l2(r)=ky-hr由代入得：m/p=ky-h（-y）所以y=m/p+h/k+h，所以dy/dp0结论：总需求曲线是向右下方倾斜的，即表示社会的需求总量与

14、价格水平呈反比。29、证明哈罗德模型的基本方程 ：y/y=s/v证明：因为经济均衡时s=i所以i/y=s/y，所以y/yi/y=s/ygk=s，g=s/k，k称为加速系数k=k/y=i/y，称为资本产量比（或资本产出比率），=k/y因为模型假定资本产出比率是固定不变的，所以k2-k1=（y2-y1），即：k/y=所以k=，所以g=s/30、证明新古典增长模型的基本方程为：k=sy-（n+）k证明：i=s，i为总投资资本存量的变化等于净投资（it=kt-kt-1）所以k=i-折旧=i-k，（假定折旧是资本存量k的一个比例）由i=s=sy，得：k=sy-kn为劳动数量k/n=sy/n-y/n=sy

15、-k.又因为k=k/n，k=k-n两边微分：dk/k=dk/k-dn/n，即：k/k=k/k-n/n=k/k-nk=kk/k+nkk/k=k/kk/n+nk/n，即：k/n=k+nk.由消去k/n，得：k=sy-（n+）k31、证明，当=0时，新古典增长模型可以表示为 k=synk32、证明，黄金分割律的表达式为 f（k*）=n33、证明，gy=ga+gl+gk 。计算与证明1、若市场需求曲线为q=120-5p，求价格p=4时需求价格的点弹性,并说明怎样调整价格才能使得总收益增加。解：当价格p=4时，需求量q=100。根据需求价格弹性系数的定义有ed=-dq/dpp/q=54/100=0.2由

16、于价格弹性系数小于1，即缺乏弹性,故提高价格会使得总收益增加。1、已知厂商的生产函数为y=10l-3l2，其中l为雇用工人数。求：厂商限定劳动投入量的合理区域?若企业生产的产品价格p=5，现行工资率rl=10，企业应雇用多少工人?解：由生产函数可以求得厂商的平均产量和边际产量apl=(10l-3l2)/l=10-3l (1)mpl=10-6l (2)当平均产量与边际产量相交,即apl=mpl 时,决定最低的劳动投入量:将(1)、(2)代入， 10-3l=10-6l 得 l=0当边际产量为零，即mpl=0时,决定劳动投入量的最大值:10-6l=0 得l=5/3可见，该厂商的合理投入区为0，5/3

17、。厂商雇用劳动的最优条件为 pmpl=rl 5(10-6l)=10 l=4/3 即劳动的最优投入量为4/3个单位。3、厂商的生产函数为y=24l1/2k2/3，生产要素l和k的价格分别为rl=1和rk=2。求：厂商的最优生产要素组合?如果资本的数量k=27，厂商的短期成本函数?厂商的长期成本函数?解：根据生产要素最优组合的条件 mpl/rl=mpk/rk 得(12l-1/2k2/3)/1=(16l1/2k-2/3)/2得2l=3k，即为劳动与资本最优组合。短期成本函数由下列二方程组所决定： y=f(l,k) c=rll+rk 即 y=24l1/2272/3 c=l+227解得c=(y/216)

18、2+54长期成本函数由下列三条件方程组所决定：y=f(l,k) c=rll+rkk mpl/rl=mpk/rk即 y=24l1/2k2/3 c=l+2k 2l=3k从生产函数和最优组合这两个方程中求得l=y6/7/15362/7 和 k=(2/3)(y6/7/15362/7)代入到第二个方程中得到厂商的成本函数为 c=5/(315362/7) y6/74、已知垄断厂商面临的需求曲线是q=50-3p，厂商的边际收益函数?若厂商的边际成本等于4，求厂商利润最大化的产量和价格?解：(1)由需求曲线得 p=(50-q)/3从而 tr=pq=(50q-q2)/3 mr=50/3-q2/3(2)根据厂商的

19、利润最大化原则：mr=mc，又mc=4,， 于是50/3-q2/3=4 q=19代入到反需求函数中得到：p=(50-19)/3=31/35、已知消费函数c=200+0.8y，投资为自主投资i=50。求：均衡国民收入y。均衡储蓄量s。如果充分就业的国民收入水平为yf=2000，那么，为使该经济达到充分就业的均衡状态,投资量应如何变化?投资乘数k?解：根据产品市场的均衡条件，可以得到y=c+i 从而y=200+0.8y+50 解得 y=1250s=i时市场处于均衡，因而均衡储蓄量为s=50。如果充分就业的国民收入水平为yf=2000，则投资量应该达到下列条件所满足的数量，即yf=200+0.8yf

20、+i 从而 i=200投资乘数：k=1/(1-)=1/(1-0.8)=56、已知消费函数c=200+0.5y(或储蓄函数)，投资函数i=800-5000r，货币需求l=0.2y-4000r，货币供给m=100。请写出：is曲线方程；lm曲线方程；is-lm模型的具体方程，并求解均衡国民收入y和均衡利息率r。如果自主投资由800增加到950，均衡国民收入会如何变动？你的结果与乘数定理的结论相同吗？请给出解释。解：通过消费函数求解储蓄函数s=y-c 并带入到i=s中：y- (200+0.5y) = 800-5000r 得y+10000r =2000 此为is曲线方程。 由 m=l 得 100=0.

21、2y-4000ry -20000r =500 此为lm曲线方程。联立上述二曲线方程，可得到y=1500和r=5%， 即为产品市场和货币市场同时均衡时的国民收入和利息率。y- (200+0.5y)=950-5000r 得 y+10000r=2300 is方程 与上述lm方程联立，解得 r=6% ，y=1700，y=200 这一结果小于乘数定理的结论。根据乘数原理，在简单模型中的乘数应是1/(1-0.5)=2，自主投资增加150带来的收入增加是1502=300。两者不一致的原因是，is-lm模型中允许利率变化，当自主投资支出增加导致收入增加时，收入增加导致货币需求增加，从而导致利率上升，投资减少，

22、挤掉了投资支出增加的效应，这就是所谓的挤出效应。7、根据哈-多模型gs/v计算。已知：g1、g2、v1、s1s2，求v2。解：依g=s/v，知：g1=s1/v1，s1=g1v1，g2=s2/v2，v2=s2/g2。由已知条件,v2=s2/g2=s1/g2=g1v1/g2。8、假定一个经济的消费函数c=1000+0.8y，投资函数i=1000-2000r，货币需求函数l=0.5y-1000r，若央行的名义货币供给量m=5000。求总需求函数。解：总需求源于is-lm模型，即i(r)=s(y) l1(y)+l2(r)=m/p将已知条件代入，得到：1000-2000r=y-1000-0.8y 0.5

23、y-1000r=5000/p得y=60000+300000/p，即总需求函数。若p=1，y=360000；若p=2，y=210000；若p=3，y=160000，。说明总需求与物价水平向相反方向变动。9、假定某一经济最初的通胀率为20%，如果衰退对通胀的影响系数为h=0.4，那么政府通过制造10%的衰退如何实现通胀率不超过4%的目标?解：假定人们按上一年的通胀率形成下年度的预期,那么该经济的价格调整方程为可以一般地表示为t=t-1-0.4ut式中，t为通胀率，ut为衰退的速度。这样，在政府作用下，第一年，尽管人们对通胀率的预期为20%，但衰退使通胀率下降到1=20%-0.410%=20%-4%=16%第二年，人们的预期由20%下降到16%。若政府继续人为地制造衰退，则该年度的通胀率为 2=16%-4%=12%第三年：3=12%-4%=8%第四年：4=8%-4%=4% 可见，按假定，经过4年，即可实现目标。10、在生产要素市场上,厂商的利润最大化原则是什么?证明之。解：(1)利润最大化要求任何经济活动的“边际收益”和“边际成本”必须相等。(2)假定除了劳动这一要素之外，其他生产要素都不会发生变动。这样，厂商的利润可表示为：=tr-tc所以，厂商利润最大化的