福建省高三质检文科数学试卷及答案

1、 2012 年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第 1 卷(选择题)和第卷(非选择题)本试卷共 5 页满分 150 分考试时间 120 分钟注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用 2b 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：样本数据 x

2、 ，x ， ，x 的标准差锥体体积公式12n11v= sh3 -(x x) (x x)+ -+(x x)2-s=22n12n其中 为样本平均数x其中 s 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式4s = 4pr2，v =pr3v=sh3其中 s 为底面面积，h 为高其中 r 为球的半径第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( )1在复平面上，复数 z = 1+ i i 的共轭复数的对应点所在的象限是a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限35=2若a 是第四象限角,且cosa，则sina

3、 等于45453535-abcd= 2 ,b = 0.3 ,c = log 2a,b.c 的大小顺序是3若a，则0.320.3 b cc a bc b ab c x x；甲比乙成绩稳定；乙比甲成绩稳定；甲比乙成绩稳定；乙比甲成绩稳定乙b x甲c x甲d x甲乙 x乙 0,14(x) =( ( )则 f f6已知函数 f2的值是3 +1, x 0,x109a10bc-2d -5= x x2 -3x + 2 0 b = x1 x 2012aicidi 1006pp(x) = sin(w x + ) 09函数 f(w)的图象的相邻两条对称轴间的距离是 若将函数32pf (x) 图象向右平移 个单位，

4、得到函数 g(x) 的解析式为6pp(x) = sin(4x + )f (x) = sin(4x - )a fc fbd63p(x) = sin(2x + )6f (x) = sin 2x10已知 a(-2,0), b(0,2) , 点 m 是圆 x+ - 2 = 0上的动点，则点 m 到直线 ab 的最大距离是2y2x3 223 223 2-1+12 2dabc2- a b c d11 一只蚂蚁从正方体 abcd则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是的顶点 a处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点c 位置，11111 a bc d(x)f (x) , r,且 ，12

5、设函数 f及其导函数都是定义在 r 上的函数，则“ x xx x1212f (x ) - f (x ) x - x ”是“xr, f (x) 1”的1212a充分而不必要条件c充要条件b必要而不充分条件d既不充分也不必要条件第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡相应位置= (3,1) b = (x,-3)，若a b，则x =_13已知向量ax2y2- =114若双曲线方程为，则其离心率等于_9 16x -1, y ,z = 3x + y则 的最大值为_15若变量 x 满足约束条件y xx + y 1,16对于非空实数集 a，记

6、 a* =y x a, y x设非空实数集合m , p，满足m p 给出以下结论： p* m *；*p p* = m m；其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)等差数列a 的公差为-2，且a ,a ,a成等比数列n134（）求数列a 的通项 公式；n 1=(nn*) ，求数列b （）设b的前 项和 snn(12- a )nnnn18 (本小题满分 12 分)=1,ad = 3 ab bc, cd bdd在直角梯形 abcd中，ad/bc， ab,如图（1）把 abd 沿 bd翻折，

7、使得平面 a bd 平面bcd ，如图（2）（）求证：cd ab；-（）求三棱锥 a bdc 的体积；bn （）在线段 bc 上是否存在点 n，使得 a n bd？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由bc19 (本小题满分 12 分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(a + b) = sina cos b + cosa sin b-sin(a - b) = sina cosb - cosa sin b( ) ( )sin a + b +sin a - b = 2sina cosb由+ 得-a+ ba- ba b ,a b+ = a - = ba有,b =令22a+ ba-

8、bsin a+ sin b = 2sincos代入得22()类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:a+ ba- bcos a- cos b = -2sindabcsin;22a, b,c 满足cos 2a- cos 2b = 2sin 2c ,试判断dabc的形状()若的三个内角(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及()中的结论)20 (本小题满分 12 分) 2012 年 3 月 2 日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准其中规定：居民区的pm25 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，pm25 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米 某城市环保部门随机抽

9、取了一居民区去年 20 天 pm25 的 24 小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：pm25 浓度组别频数（天）频率（微克/立方米）(0,25第一组第二组第三组第四组510302505(25,50(50,7501501(75,100)2()从样本中 pm25 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中，随机抽取 2 天，求恰好有一天 pm25 的24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率；（）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 pm25 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由21 (本小题满分 12 分)平面内动点 p 到点 f(1,0)的距

10、离等于它到直线 x = -1g的距离，记点 的轨迹为曲线 pg（）求曲线 的方程；gfa+ fb + fc = 0dabc证明： 不可能为直角三角形（）若点 a， b ，c 是 上的不同三点，且满足22 (本小题满分 14 分)(x) = x2 + a ln xp(1,f (1) 10处的切线斜率为 已知函数 f的图象在点（）求实数 的值；a(x) = 2x（）判断方程 f根的个数，证明你的结论；（）探究：是否存在这样的点a(t, f (t)，使得曲线y = f (x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点 a 的坐标；若不存在，说明理由 2012 年福建省普

11、通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分 60 分1 b 2b 3

12、c7 d 8a 9d4b5d6b10c 11c 12b二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分53131 ；14 ； 152； 16三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 i 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想满分12 分= a - 4,a = a - 6()解：由已知得a，2 分3141,a ,a(a - 4) = a (a - 6)，4 分又 a成等比数列，所以2134111解得 a= 8，5 分1=10 - 2n所以 a6 分n2111= -()由()可得b，8

13、分n(12- a ) n(n +1) n n +1nn= b + b + + b所以 sn12n11 1111n= (1- ) + ( - ) + + ( -) =1-= 12 分22 3n n +1n +1 n +118本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想满分12 分 解：（）平面 a bda bd 平面bcd ，平面 平面 = bcd bd ，cd bd 平面abdcd，2 分4 分又 ab 平面abd，cd abdabd中，bd = ab + ad = 2（）如图（1）在 r

14、t.22ad bc，adb = dbc = 30.2 33在 rt bdc中，dc = bd tan 30 =122 33= bd dc = s.6 分dbdc如图（2），在rtdabd中 ae 平面bcd，过点 a 做 a e bd 于 e ， a b a dbd3 =a e=，7 分2131 2 3 3 13 3 2 3= s ae =v.8 分-a bdcdbdc （）在线段 bc 上存在点 n，使得 a n bd，理由如下：12如图（2）在 rtdaeb中， be= - =a b a e，22be 1=bd 4，9 分来bn be 1=bc bd 4过点 e 做 en / dc 交 b

15、c 于点 n，则， bd,en bdcd，10 分 又 a e bd ， a e en e ， bd=a en ， 平面 平面 又 a n a en ， a n bd bn 1=bc 4 在线段 bc 上存在点 n，使得 a n bd，此时12 分19本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12 分a ba ba b+ ) = cos cos -sin sin，解法一：()因为cos(a ba ba bcos( - ) = cos cos + sin sin ，2 分3 分a ba ba b+ )

16、- cos( - ) = -2sin sin.- 得cos( a+ ba- ba b ,a b+ = a - = ba,b =令有，22a+ b a- b代入得cos a- cos b = -2sinsin. 6 分22cos 2a- cos 2b = 2sin c可化为()由二倍角公式,21- 2sin a-1+ 2sin b = 2sin c,8 分222sin a+ sin c = sin b.9 分即设222dabc 的三个内角 a,b,c 所对的边分别为a,b,c，+ c = b由正弦定理可得a2 .11 分22根据勾股定理的逆定理知dabc为直角三角形.12 分解法二：()同解法一

17、.cos 2a- cos 2b = 2sin c()利用()中的结论和二倍角公式,2可化为( ) ( )-2sin a+ b sin a- b = 2sin c2，8 分dabca+ b + c =p ，因为 a,b,c 为的内角，所以( ) ( ) ( )-sin a+ b sin a- b = sin a+ b所以2.( )sin + 0,又因为0 a+ b 35，所以去年该居民区 pm2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改12 分21 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思

18、想、数形结合思想等满分12 分解法一：（）由条件可知，点p 到点 f(1,0)的距离与到直线 x = -1f(1,0)的距离相等， 所以点 的轨迹是以 为p焦点， x= -1为准线的抛物线，其方程为 y = 4x4 分2（）假设dabc 是直角三角形，不失一般性，设a = 90，a(x , y ) ， b(x , y )，c(x , y ) ，则由 ab ac = 0，112233ab = (x - x , y - y ) ， ac = (x - x , y - y ) ，21213131(x - x )(x - x ) + (y - y )(y - y ) = 0所以6 分21312131y

19、i2=(i =1,2,3) ， y y ， y y ，因为 x4i1213(y + y )(y + y ) +16 = 0所以又因为 fa= -168 分1213+ fb + fc = 0x + x + x = 3 y + y + y = 0，所以，123123所以 y y23+ y + y = 4(x + x + x ) =12又 y222，123123 -y - y ) + y + y =12y + y + y y = 6 10 分所以(，即2222223232323216+ -16 = 6y - 22y + 256 = 0，所以 由，得 y242y2222因为d = (-22) - 4

20、256 = -540 02所以方程无解，从而dabc不可能是直角三角形12 分解法二：（）同解法一+ fb + fc = 0（）设 a(x , y ) ， b(x , y )，c(x , y ) ，由 fa1，12233+ x + x = 3 y + y + y = 0得 x，6 分由条件的对称性，欲证dabc 不是直角三角形，只需证明a 90123123 x= = -轴时， x x ， y= -y ，从而 x 3 2x ， y 0，=当 ab(1)1212313- 2x ,0)即点c 的坐标为(3132= 4x 上，所以3- 2x = 0x =1由于点c 在 y2，即，133此时 a( ,

21、6) ， b( ,- 6) c(0,0) ，则a 90，8 分22( 2 )当 ab 与 x 轴不垂直时，y = 4x，设直线的方程为： x，代入ab= ty + m(t 0)2- 4ty - 4m = 0y + y = 4t整理得： y2，则124a = 90ac-t的斜率为 ，同理可得：y + y = -若，则直线t1344y =2y = -4t，由 y+ y + y = 0，得 y = 4t -，tt12313由 x+ x + x = 3，可得 y + y + y = 4(x + x + x ) =1222212312312344- ) + ( ) +(-4t) =12从而(4t，222

22、tt1 11+ =8t -11t +8 = 0整理得：t，即，242t82d = (-11) - 488 = -135 02所以方程无解，从而a 9011 分 dabc综合(1)，(2) ，不可能是直角三角形12 分22 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合a= x + a ln xf (x) = 2x +思想、考查化归与转化思想满分 12 分解法一：（）因为 f (x)函数 f (x) 的图象在点 p(1,f (1)处的切线斜率k，所以，2x= f (1)= 2+ a由 2+ a =10得： a = 84 分= x + 8ln xf(x)

23、 = f (x) - 2x = x - 2x +8ln x（）由（）知， f (x)，令22= -1 0，f(x) = 0 (0,+)在 至少有一个因为 f(1)根，所以8= 2x - 2 + 2 16 - 2 = 6 0f(x) (0,+)在 上递增，又因为 f (x)，所以x所以函数 f(x) 在(0,+)上有且只有一个零点，即方程f (x) = 2x有且只有一个实根 7 分（）证明如下：8= x + 8ln x f (x) = 2x +y = f (x)由 f (x)，可求得曲线在点 处的切a2x8- (t +8ln t) = (2t + )(x -t)线方程为 y，2t8= (2t + )x -t +8ln t -8 (x 0)即 y 8 分2t8= x + 8ln x - (2t + )x -t +8ln t -8记 h(x)22t8= x +8ln x - (2t + )x + t -8ln t +8 (x 0)，22t42(x -t)(x - )8x8tt= 2x + - (2t + ) =则 h(x) 11 分x2(x -