大一上学期高数期末考试题

1、大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1(X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有()(A) n)= 2(B)广()= 1 (C)广()= (D) /(X)不可导.设a(x) = |0(兀)=3-3坂，则当 1时()2. 1 + 兀99(A) &与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是等价无穷小；(C) (x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0()是比(x)高阶的无穷小.3. 若F(x)= Jo(力-兀)力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且 广(小0,则().(A) 函数尸 必在x = 0处取得极大值；(B

2、) 函数尸必在“ 处取得极小值；(C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线=F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在* = 处没有极值，点(，F(0)也不是曲线=F(x)的拐点。4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2jo* f(t)dt，贝!j f(x)=()十竺+ 2(A) 2(B) 2 +(C) I (D) x + 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)5.腳(f 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)竽dx =( 7C #2兀2 2龙2刃1lim (cos + cos Hcos 兀)=7. nfg n nnni x2arcsinx

3、 + l ,/dx =8. 飞.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数尸曲由方程严+sing)确定，求0(兀)以及以。).10.【g（x） = f（xt）dt= A设函数八盯连续，0，且TO X ,/1为常数.求F（x）并讨论/（X）在X = 0处的连续性.14.求微分方程xyf + 2y = xlnx满足丿-9的解.四、解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线v = y（x）（x）,过点（），且曲线上任一点 M（x,儿）处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x = x所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）16. ）

4、17. 过坐标原点作曲线，= ln*的切线，该切线与曲线y = lnx及%轴围 成平面图形D.（1）求D的面积A; （2）求D绕直线x=旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）18设函数/（兀）在川上连续且单调递减，证明对任意的？已【，1】，证明：在（皿）内至少存在两个不同的点奚誌2,使/（血）=/（2）= （提XF（x）=ff（x）dx示：设0）解答一.单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 仁 D 2. A 3、C 4. C 二、填空题（本大题有4小題，每小题4分，共16分）1 zcosxu兀n“6-()+C-5. 6. 2 x . 7.2.&3

5、三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导exy (1 + yf) + cos(xy)(xyr + y) = 0+ JCOS(xj)xy + xcos(xy)十（兀）=-x = 0=0jr(0) = 110解：w = x7 7xhdx =du原式龄心&沽山=一(In I “ I 2 In I “ +11) + c 7= -lnlx7 l-lnll + x7 l+C7711.解：/(*处=JA% +J：如 -xg =J 3xd(-ex) + J yl-(x-l)2dx 匸7阳&(令x_l = sin&)-Ze12.解：由知8（）= 。Lxt=ug(x) = j f(x

6、t)dt =0J f(u)du0X(2 0)gV) =1(心0)/U) = Axf(x)-f(uyiulimgf(x) = lim書= A- = 仃、x2xtoE) *222 , g(x)在x = 0处连续。dy 2 + j = lnx13. 解:dx 八-f dx f f dxy =e ix (jeix nxdx + C)v(l) = -,C =0 y = xnx x9,39四、解答题(本大题10分)14. 解：由已知且2皿+ 将此方程关于丫求导得yn = 2y+y特征方程：r2-r-2 = 0解出特征根：八=一1，ri =2-其通解为y = cx+C2e2xc、=. c、=代入初始条件y(

7、0) = y(0)= 1,得33y = e x + e2x故所求曲线方程为： 33五、解答题(本大题10分)15. (j-lnx0 =(x-x0)U.解：(1)根据题意，先设切点为(xnx。)，切线方程：必1_y = x由于切线过原点，解出从而切线方程为：1 1A = (ey ey)dy = -e 1则平面图形面积 02V.=-e2(2)三角形绕直线二e周所得圆锥体体积记为K,則 3曲线y = Xnx与*轴及直线X二e所围成的图形绕直线二e周所得旋转体体 积为K1v2)2心V =V.-V2 =-(5e2-12 + 3)D绕直线x二e旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)17. ?9lgq1f(x)dx-qf(x)dx = f f(x) dx-q( f(x)dx+f f(x)dx)18.证明：0000“gI=(1 -g)“(x) dx-c fMdx0q=(1 - q)f ) - j f(x)dx0 0证毕。19.F(x)=f(t)dt ，0K 兀证：构造辅助函数：i。其满足在，刃上连续，在(序)上可导。Ff(x) = f(x)f 且F(O) = F(*) = OKK0 = J f(x)cosx(/x =jcosx(/F(x) = F(x)cosx|J +Jsinx -F(x)/x 由题设，有。oKf F(x)sinxJx = 0有%,