由一道课本习题出发

1、由一道课本习题出发分式方程是分母中含有未知数的方程 . 求解分式方程时， 通常先去分母， 将其转化为整式方程 . 这是数学转化思想的典型 体现 . 转化可以为问题的解决带来方便， 但在转化的过程中， 总 有一些同学出现问题，导致方程解错 . 这里，我们需要强调，转 化带来的形式上的变化， 其根源在于运算本质 . 只有抓住运算本 质，才能解好分式方程 .让我们从一道课本例题说起：例 1 （苏科版八下，第 115页探索）解方程： =-1.根据多年的教学经验， 先列举一些学生的“错解”， 然后进 行剖析与点评 .【错解 1】方程两边同乘（ x-2 ）（ 3x-6 ），得（5x-4 ）（ 3x-6 ）

2、 =（4x+10）（ x-2 ）- （ x-2 ）?（ 3x-6 ）.【点评】这样，分母是去掉了，可整理的过程以及整理出来 的结果都会使问题陷入僵局 . 原因在于没有分析好最简公分母 就盲目下手 . 可见， 解分式方程的第一步， 是在未动笔之前先确 定好合理的公分母要对能因式分解的分母彻底分解， 取所有 分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母， 即最简公分母 . 这就像“兵马未动， 粮草先行”的道理， 做好了 充足准备，解题才会顺利 .【错解 2】方程两边同乘 3（x-2 ），得3（ 5x-4 ） =4x+10-1.【点评】 最简公分母找对了， 分母也去掉了， 等式却失衡了 .

3、 因为 -1 那一项漏乘，等式已经不成立了 . 去分母，一定要遵守 等式的基本性质， 必须保证等式左右两边的公平， 每一项都要乘 最简公分母 . 这里最值得关注的是分式方程中的整式项 . 解分 式方程时，对整式项的处理，经常是同学们容易出问题的地方， 应该注意两点：第一，整式项不能漏乘；第二，整式项乘最简公 分母后， 不能漏掉应该添加的括号， 而且要严格遵守去括号的变 号法则. 走好这一步， 表面看是要注意运算细节， 其实是要抓准 等式基本性质、约分法则，以及括号法则的运用 .【错解 3】方程两边同乘 3（x-2 ），得 3（5x-4）=4x+10-3（x-2 ）.解得： x=2.所以，原分式

4、方程的解为： x=2. 【点评】转化来的整式方程是易于求解，但它的解未必是原 分式方程的解 . 当我们把 x=2 代回原方程时就会发现原方程的 分母都等于 0. 原分式无意义！怎么会这样？回忆我们去分母的 过程，分母没了， x 的取值范围扩大了，而实际上原方程中的 x 是不能等于 2的. 所以 x=2 只是整式方程的解， 并不是原分式方 程的解 . 这时， 我们称 x=2 为原分式方程的增根 . 可见，解分式 方程与解整式方程不同， 转化而来的东西， 要经得起考验 . 所以， 验根是解分式方程必不可少的一步反思与赏析：一道好的例题，一定蕴含着若干个闪光点，聪 明的你如能发掘出来， 解决问题的功

5、力就会大大增强 . 这个例题 在告诉我们，解好分式方程不能忽视三点：第一，最简公分母一定要做到最简； 第二，等式基本性质的使用一定要公平； 第三，解完方程一定要验根 .（编者按：关于分式方程的验根，可以参见本期杨琦同学的 数学写作对分式方程检验的认识）由于分式方程的验根是必不可少的“特色步骤”， 以下就介 绍几种不同的验根方法：一、 直接验根法 将解得的值分别代入原分式方程的左边和右边， 若左边等于 右边，此解即为原分式方程的解，否则，此解就不是原分式方程 的解.例 2 解方程 =.讲解：原方程变形得2x=x-1，二x=-1.检验：把 x=-1 分别代入原分式方程的左边和右边，左边=-1 ，右

6、边=-1 ，左边 =右边，所以 x=-1 是原分式方程的解 .反思：运用直接验根法，不仅能检验出原分式方程的解，而 且还能检验求得的解是否正确 .各分母验根法把所求得的值代入原分式方程的各个分母中， 如果使各个分 母的值都不为 0，则此解为原分式方程的解；若有分母为0，则不是原分式方程的解 .例 3 解分式方程： =.讲解：去分母得： 2（x-1 ） =x-3.解得 x=-1.检验：把 x=-1 分别代入原分式方程的各个分母得x-3=-1-3=-4 ， x-1=-1-1=-2 ，分母都不为 0，所以 x=-1 是原分 式方程的解 .三、 公分母验根法 把解得的值代入最简公分母中进行检验， 使得最简公分母为 0 的值不是原分式方程的解，否则即为原分式方程的解 .例 4 解分式方程： =-1.讲解：方程两边同乘 3（x-2 ），得