弹性力学与有限元完整版[高教课堂]

1、1教育教学 第一篇 弹性力学 第一章 弹性力学基本方程 1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程 第二章 弹性力学平面问题 2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程 第三章 弹性力学问题求解方法简述 2教育教学 第一章 弹性力学基本方程 1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程 3教育教学 应力 应变 位移 弹性体 外界作用 弹性力学基本内容 外力 温度变化 4教育教学 弹性力学弹性力学，又称弹性理论。 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形

2、和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。 弹性力学的研究对象： 是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。 研究的内容： 外力作用下 应力、应变、位移 1.1 弹性力学绪论 5教育教学 物体变形物体变形弹性变形、塑性变形弹性变形、塑性变形 弹性变形：弹性变形： 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关关，也与变形历史无关。 塑性变形：塑性变形： 当外力撤去以后尚残

3、留部分变形量，不能恢复到原始当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，状态，即存在永久变形。应力和应变之间的关系即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关不再一一对应，与时间、与加载历程有关。 6教育教学 弹性：弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出 来的理想模型。 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。 应力应变关系称为本构关系。本构关系。 材料模型包括： 线性弹性体 非线性弹性体 7教育教学 1.2 弹性力学的基本假定 1. 连续性假设连续性假设 根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所

4、占空间的连 续函数。 2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。 8教育教学 3. 各向同性假设各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。 像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。 4. 完全弹性假设完全弹性假设 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。 5. 小变形假设小变形假设 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几

5、何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量， 使基本方程成为线性的偏微分方程组。 9教育教学 1.3 几个基本概念 1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量 10教育教学 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。 体力体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的 力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。 面力面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水 压力，物体之间的接触力等。 集中力集中力作用物体一点上的力。（在弹性力学中一 般不用，而在有限元中经常出现）

6、1 外力 11教育教学 体力 物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取 一微小体积元素V， 设V 的体力合力为F，则 V 的平均体力为 当V 趋近于0， 则为P点的体力 12教育教学 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的 大小和方向不同。 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、 Y、Z表示，称为体力分量。 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为 负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位 体积的力 。 体力的因次：力/长度3 表示：F=X Y Z 13教育教学 面力 与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素S ， 当S 趋

7、近于0，则为P点的面力 面力分量 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 面力的因次：力/长度2 14教育教学 集中力 体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点 上，作用区域V或S很小，但数值很大，这种形式的 力可以认为是集中力。 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解， 用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 体力的因次：力 15教育教学 2 一点的应力状态 16教育教学 应力表示方法 材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力； 复杂物体任意截面上的应 力可分为 1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪

8、应力。 17教育教学 X面 Y面 Z面 正应力分量 3个： xyz 、 xyxzyx yzzxzy 、 、 剪应力分量 6个： 18教育教学 正面 负面 X面 Y面 Z面 应力符号意义 xyz 、 xy 剪应力： 正应力： 由法线方向确定 作用面 作用方向 符号规定： 正面上与坐标轴正向一致，为正； 负面上与坐标轴负向一致，为正。 19教育教学 剪应力互等定理 xyzxyyzzx 、 剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。 应力分量： xyyx yzzy xzzx 相等 x y z xy yz zx 20教育教学 3 一点应变分量 微分单元体的变形： 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变正应变

9、 棱边之间夹角的变化；剪应变剪应变 x y z xy yz zx 正应变分量 3个： 剪应变分量 3个： xyz 、 xyyzzx 、 21教育教学 应变的定义（自学） 设平行六面体单元，3个轴棱边： 变形前为MA，MB，MC； 变形后变为MA，MB，MC。 xyz 、 22教育教学 正应变（小变形） （自学） 符号规定： 正应变以伸长为正。 23教育教学 剪应变（自学） 符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。 24教育教学 4 位移分量 位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响， 物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位 移。 位移刚体位移刚体位移、变形变形 刚

10、体位移刚体位移物体内部各个点仍然保持初始状态的相对 位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改 变。 变形变形物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生 形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起 位移。 后者与弹性体的应力有着直接的关系弹性力 学研究的主要变形，通常叫位移。 25教育教学 u=x（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z（x，y，z）-z=w（x，y，z） 根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连 续体。 弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M(x，y，z)，这一过程也是连续的，为 x、y、z

11、的单值连续函数 u fv w 26教育教学 形变和位移之间的关系： 位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。 形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，、确定，求位移是积分运算，出现待 定函数。 27教育教学 应力 应变 位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 28教育教学 弹性力学分析过程中： 通过静力平衡、几何变形和本构关系建 立起外力、应力、应变、位移之间相互关 联。 再必

12、须根据已知物理量，（一般外力、 结构几何形状和约束条件等），推导和确 定基本未知量（应力、应变、位移。 29教育教学 1.4 弹性力学基本方程 1. 平衡方程（应力外力之间的关系） 30教育教学 2. 物理方程（应变应力之间的关系） 31教育教学 3. 几何方程（柯西方程 ） （应变位移之间的关系） 32教育教学 4、变形协调方程 33教育教学 5、边界条件 如果物体表面的面力已知， 则称为应力边界条件： 第一类边界条件 如果物体表面的位移已知， 则称为位移边界条件： 第二类边界条件 混合边界条件 = 第一类+第二类 34教育教学 5、边界条件 应力边界条件：位移边界条件： cos, cos,

13、 cos, Nxl Nym Nzn 外法线的方向余弦 35教育教学 方程数量： 平衡方程3个 物理方程6个 几何方程6个 合计 15 xyzxyyzzx 、 未知量： 应力分量6个 应变分量6个 位移分量3个 u、v、w 合计 15 xyzxyyzzx 、 、 空间问题 36教育教学 第二章 弹性力学平面问题 2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程 37教育教学 2.1 平面应力问题 1、平面应力问题的概念 平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向

14、 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。 38教育教学 平面应力问题 几何特征 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 等厚度 中心层平直 受力特征 外力平行于中心层 外力沿厚度不变化 39教育教学 根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则 由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也 沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。 2、 平面应力问题的应力 40教育教学 应力分量 应变分量 xyxy 、 x y xy z 0 xyxy 、 x y xy 0 yzzx = 3、平面应力问题应力、应变 41教育教学 1 平面应变问题的概念 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小

15、和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。 2.2 平面应变问题 42教育教学 几何特征 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸 中心轴平直 沿中心轴截面不变化 受力特征 外力垂直于中心轴 外力沿中心轴长度方向不变化 平面应变问题 43教育教学 2、平面应变问题的位移 沿纵向轴的位移恒等于零； 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z 轴无关。 只要是x、y坐标函数 44教育教学 应力分量 xy

16、xy 、 x y xy xyxy 、 x y xy 0 zyzzx = 应变分量 0 zyzzx 0 3、平面应变问题的应力、应变 45教育教学 2.3 平面问题的基本方程 1.平衡方程（应力外力之间的关系） 2. 几何方程（应变位移之间的关系） 46教育教学 3. 物理方程（应变应力之间的关系） 平面应力与平面应变问题的： 平衡方程、几何方程相同。 但物理方程不同。 从空间问题推得。 47教育教学 平面应力的物理关系 48教育教学 平面应力的物理关系 2 10 10 1 1 00 2 E D D 49教育教学 平面应变的物理关系 0 zyzzx = 50教育教学 平面应变的物理关系 D 10

17、 10 (1)(1-2 ) 1 2 00 2 E D 51教育教学 平面应变问题平面应力问题 z向应力分量 z =n ( x + y ) z0 z向位移分量w0w0 正应变分量 二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式 两种平面问题的区别 52教育教学 两种平面问题的内在关系 平面应力 平面应变 . 1 , 1 2 E E . 1 , )1 ( )21 ( 2 E E 平面应力 平面应变 平面应变 平面应力 53教育教学 两种平面问题的内在关系 10 10 (1)(1-2 ) 1 2 00 2 E D 平面应力 平面应变 . 1 , 1 2 E E 平面应力平面应变 2 10 10 1

18、 1 00 2 E D D 54教育教学 4 变形协调方程 平面应力 平面应变 由6个简化为1个 调和方程 55教育教学 方程数量： 平衡方程2个 物理方程3个 几何方程3个 合计 8 xyxy 、 未知量： 应力分量3个 应变分量3个 位移分量2个 u、v 合计 8 xyzxy 、 平面问题 56教育教学 第三章 弹性力学问题求解方法简述 57教育教学 应力 应变 位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 58教育教学 3.1 概述 根据几何方程和本构方程可见： 位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变 分量，然后通过物理

19、方程可以得到应力分量。 如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量， 再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的 应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方 程。 应力 应变 位移 59教育教学 位移解法：若以位移函数作为基本未知量求解， 根据物理方程和几何方程，应力分量及平衡方程均由 位移分量表达； 应力解法： 若以应力函数作为基本未知量，称 为应力解法，对于应力解法，应力分量必须满足平衡 微分方程和变形协调方程 ； 混合解法 ： 若以位移分量和应力分量作为基本 未知量，通过物理方程中消去应变分量，表述基本方 程，称为混合解法。 基本方程的求解方法 60教育教学 弹性力学是对整个研究对象建立

20、平衡方程、几 何方程、物理方程，再根据外力作用下求整体 的应力、应变、位移。 解答的途径有两大类： 1. 精确解（解析解、理论解法） 逆法、半逆法、复变函数法、 级数法、 特殊函数法等 2. 近似解法（数值解法） 61教育教学 1 位移解法 当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程 是自然满足的。根据物理方程和几何方程，可以得到： 以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（拉梅（Lam）方程。）方程。 拉普拉斯运算符号， 3.2 解析解法 62教育教学 2 应力法 主要介绍应力函数法，应力函数法， 称为艾里（Airy）应力 函数。 设 ( , )x y 应力表示的变形协调方程 双调和方程双调和

21、方程 63教育教学 应力函数 （1） 一次多项式 一次多项式应力函数对应无应力的应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的 线性函数，将不影响应力分量的值。 ( , )x yaxbyc 64教育教学 （2) 二次多项式 如仅a，b，c0，分别表示 单向拉伸或者纯剪切应力状 态。 22 ( , )x yaxbxycy 65教育教学 (3) 三次多项式 如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0， 其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。 3223 ( , )x yaxbx ycxydy 66教育教学 解析解的难点： 弹性力学研究对象是弹性体，形体复杂，是偏微分 方程的边值问题。在数学上

22、求解困难重重，除了少数 特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。 要得到解析解： 1、简化形体，譬如材料力学的研究对象是杆件，常 微分方程，可以求解；平面问题，忽略次要因素，简 化应力状态。 2、简化边界约束条件，放松某些限制等。 结果： 寻求求解偏微分方程在特定条件下的数学解法，而造 成所得到的结果并非实际问题的真实状态。结果误差 很大，甚至是错误的结论。 67教育教学 近似解法（数值解法） 差分法 加权余量法 变分法 有限元法（FEM） 边界元法（BEM） 3.3 数值解法 68教育教学 有限元法与边界元法的比较 离散化，FEM在区域上，BEM在边界上； 维数， BEM降维，3D 2D；

23、2D 1D； 通用性， FEM格式统一， BEM特定问题； 对使用者数学要求， FEM低， BEM高； 目前应用状况，FEM一统天下。 69教育教学 1 有限元基本思想 2 离散化（建立计算模型） 3 位移插值函数 4 单元分析 5 等效结点载荷 6 整体分析 7 有限元方程求解方法 8 应力结果 9 举例 第二篇 有限元法基础 70教育教学 应力 应变 位移 弹性力学各个量之间的关系 平衡方程 物理方程 几何方程 外力 1 有限元基本思想 71教育教学 应力 应变 位移 放弃 物理方程 几何方程 外力 有限元的基本思路 能量原理 只要位移场确定，就可得到应变、应力。 72教育教学 有限元的基

24、本思想： 在弹性体内选取足够多、有限个点，假定这些点的 位移已知，再用这些假定的位移量描述其它位置点的 位移，就得到了用特定点位移表示的弹性体的位移场。 这些选定的有代表性的点结点，（node） 结点：代表性尖点、拐角、截面改变处等 集中载荷作用、位移约束位置等。 位移场：某个点（非结点）位移不是由所有结点位移 来表述的，而是划分成小区域/小块上的结点来表示的， 这些小区域/小块单元。 有限元处理问题的方法连续体剖分小块（单 元），即离散体。 73教育教学 74教育教学 有限元法特点： 1. 概念浅显，容易掌握，可以在不同程度上理 解与应用 2. 通用性强，应用广泛，几乎所有领域； 3. 计算

25、格式统一，便于编程计算； 4. 大型通用程序成熟商业化，无需专门知识编程 5. 先进的前处理，网格自动划分， 完善的后处理，可视或动态显示，直观形象。 误差难估计 75教育教学 2 离散化（计算模型） 单元的形式是多样的 实体 单元模型 76教育教学 单元类型单元类型维数维数 主要应用主要应用 杆单元杆单元2-D承受轴向力作用，承受轴向力作用，平面桁架结构 3-D空间桁架、网架等 梁单元梁单元2-D主要承受横向载荷作用，即承受弯矩；主要承受横向载荷作用，即承受弯矩； 也可也可 横向横向+轴向轴向 3-D 固体固体2-D平面应力、平面应变问题：平面应力、平面应变问题： 三角形、四边形 3-D一般

26、三维（空间）问题：一般三维（空间）问题： 四面体、八面体 板壳板壳2-D主要承受横向载荷作用主要承受横向载荷作用 三角形、四边形 3-D 2.1 单元类型与作用单元类型与作用 77教育教学 杆单元杆单元 梁单元梁单元 78教育教学 二维单元二维单元 线性单元线性单元 二次单元二次单元 79教育教学 三维单元三维单元 线性单元线性单元 二次单元二次单元 80教育教学 板壳单元板壳单元 81教育教学 2.2 离散化应注意的问题： 首要的问题是根据结构的几何特点、受力特征选择合理 的单元形式。 对称性的利用，在划分单元之前，有必要先研究一下计 算对象的对称或反对称的情况，以便确定是取整个物体， 还是

27、部分物体作为计算模型。 取四分之一作为计算模型 82教育教学 （以平面三角形单元为例） 1.共边：覆盖求解区域，单元间既不允许相互重叠，也不允许相互脱 开； 2.共点：任意三角形的顶点必须是相邻单元的顶点，不能为相邻 单元的内点。 3.边长接近：单元的边长尽可能接近，采用锐角三角形 4.数目与精度兼顾：单元划分细，计算精度越高，但结点数增 加，计算时间加长。单元大小过渡，应力梯度大的区域单元尺 寸小，应力变化小的区域，单元可以划分大些。或在初步计算 的基础上对于高应力区，在进一步细化网格，进行二次分析。 5.适当简化。 不可以不可以 可以可以较差较差较好较好 83教育教学 节点编号顺序节点编号

28、顺序 在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的 相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小 刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。 平面问题的半带宽为 B =2 (d+1) 1 2 3 4 5 6 71 3 5 7 9 11 13 8 9 10 11 12 13 142 4 6 8 10 12 14 84教育教学 3 位移模式 i i i je j j m m m u v u v u v 要求：要求：i、j、m按逆时针排序按逆时针排序单元的结点位移向量单元的结点位移向量 用来描述单元内各点位移变化规律的函数，称为位移模式 85教育教学 三角形单元的位移模式假定为 yxv yxu 65

29、4 321 123 123 123 : : : iii jjj mmm Piuxy Pjuxy Pmuxy mmjjii mmjjii vNvNvNv uNuNuNu 位移模式： 86教育教学 000 000 i i ijmj ijmj m m u v NNNuu NNNvv u v 位移模式矩阵表达： 位移模式通式 efN f 单元内任一点的位移；单元内任一点的位移； e 单元的结点位移向量；单元的结点位移向量； N 单元的形函数矩阵。单元的形函数矩阵。 87教育教学 形函数的性质 1 () 2 1 () 2 1 () 2 iiii jjjj mmmm Nab xc y A Nab xc y

30、 A Nab xc y A i j j APjm APmi APij j im ijm A AA LLL AAA 面积坐标 iijjmm NLNLNL 形函数与面积坐标的关系 88教育教学 1 21 1 ii jj mm xy Axy xy 三角形的面积 efN 位移模式 反映了单元内任意一点的位移与结点位移之间的 关系。是有限元计算精度的关键。 89教育教学 4 单元分析 4.1单元上任意一点的应变 4.2单元上任意一点的应力 4.3单元的能量 4.4 单元刚度矩阵的性质 90教育教学 4.1单元上任意一点的应变 x y xy u x v y u y v x mmjjii mmjjii vN

31、vNvNv uNuNuNu 几何方程 91教育教学 000 000 i j im i x jj im y j xy mjj iimm m u N NN v xxx Nu NN vyyy uNN NNNN vyxyxyx 1 2 000 000 bbb ccc cbcbcb ijm ijm iijjmm e 1 () 2 iiii Nab xc y A 92教育教学 B e 或写成通式 B 矩阵叫做单元几何矩阵，矩阵叫做单元几何矩阵，反映了单元内任意 一点的应变分量与结点位移之间的关系 000 1 000 2 ijm ijm iijjmm bbb Bccc A cbcbcb 几何矩阵几何矩阵B

32、中的每个元素，中的每个元素，均为常数，它们 由结点坐标确定。单元内任意一点P的应变分量与 坐标（x，y）无关，说明单元中应变是常量。 93教育教学 4.2单元上任意一点的应力 物理方程物理方程 D D D弹性矩阵弹性矩阵 2 10 10 1 1 00 2 E D 10 10 (1)(1-2 ) 12 00 2 E D 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题 94教育教学 D D B e SD B S e S S 叫做应力矩阵叫做应力矩阵 95教育教学 4.3单元的能量 1、单元的应变能 1 2 1 () 2 xxyyxyxy 一维问题应变能密度为 平面问题应变能密度为 1 2 T e

33、 Udxdy 11 22 TTTT e eeee USBdxdyBDB dxdy 96教育教学 T e KBDB dxdy 1 2 T e eee UK eK 称为单元刚度矩阵，简称单刚， 它反映了单元应变能与单元结点向量之间的关系。 97教育教学 2、外力势能 (1)、体力势能 1 () T e VXuYv dxdyfp dxdy (2)、面力势能 2 () T e SS VXuYv dsfp ds (3)、集中力势能 3 T eo ee VP 98教育教学 3 、单元的总势能 123 () eeeeeee UVUVVV 0 1 () 2 () T e eee TTT eeeee e K P

34、PP 99教育教学 101101 020200 103121 1213014 002020 101101 e E k 4.4 单元刚度矩阵的性质 某单元的刚度矩阵，仔细看看，会发现该矩阵 有哪些特点？ 100教育教学 4.4 单元刚度矩阵的性质 1、对称性 单元刚度矩阵是对称方阵，其元素都对称于主对角线。 2、奇异性 单元刚度矩阵中任意一行或列元素之和为零。其物理意义 是在没有给单元施加任何约束时，单元可有刚体运动，位 移不能唯一的确定。 3、主对角线元素恒为正值 主对角线元素是正值说明结点位移方向与施加结点荷载 的方向是一致的。 4、单元刚度矩阵与单元位置无关 单元刚度矩阵与单元位置无关，也

35、就是单元在平移时， Ke不变；单元结点排列顺序不同时，Ke中元素大小不 变，而排列顺序相应改变。 101教育教学 弹性体所受外力包括体积力、表面力、集中力弹性体所受外力包括体积力、表面力、集中力 。分别作用在弹性体内部、物体表面上、物体的一。分别作用在弹性体内部、物体表面上、物体的一 个点上。个点上。 载荷列阵载荷列阵RR，是由弹性体的全部单元的等效，是由弹性体的全部单元的等效 节点力集合而成，是将全部载荷转移到单元的节点节点力集合而成，是将全部载荷转移到单元的节点 上，它们的作用位置发生了变化上，它们的作用位置发生了变化载荷移置。载荷移置。 它们的作用效果是等效的，故称等效节点力向它们的作用

36、效果是等效的，故称等效节点力向 量量RRe e 。 各种载荷各种载荷 分别移置到节点上，再逐点加以合分别移置到节点上，再逐点加以合 成求得单元的等效结点载荷。成求得单元的等效结点载荷。 102教育教学 1、体力等效结点载荷 PNp tdxdy eT 自重情况下：自重情况下： T P000 333 eWWW 103教育教学 y 0 x ij m l q2 ql 2 ql Te qlt Q001010 2 y 0 x i j m l 0 q 2 0l q 3 l T e ltq Q 0 3 2 0 3 1 00 2 0 2、面力等效结点载荷 QNq tds eT 104教育教学 6.1 结构的结点

37、位移向量 1 2 3 4 5 6 71 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14 假设弹性体被划分为假设弹性体被划分为N N个单元和个单元和n n个节点，整个弹性个节点，整个弹性 体的节点位移向量体的节点位移向量 2n2n1 1 21 12 n TT n T T RRRR n TT n T T 21 12 整个弹性体的载荷列阵整个弹性体的载荷列阵 R R 2 2n n 1 1 6 整体分析 105教育教学 矢量有方向性，外力、应力，不能直接相加 标量没有方向，只有大小，可以相加。 弹性体的能量是标量，可以直接相加。 6.2 结构的总势能 eee UV 0 1 ()() 2

38、TT eeeeee e ee KPPP 106教育教学 单刚的扩充 为了实现上述运算 6*6e K 2n*2ne K （） n m j i nmji kkk kkk kkk k mmmjmi jmjjji imijii nn 1 1 22 扩展 107教育教学 e e KK e e PP e e PP 00 e e PP 结构的总刚度矩阵 结构总的体力列阵 结构总的面力列阵 结构总的集中力列阵 0 FPPP 1 2 TT KF 结构的总势能 1 2 TT KF 108教育教学 6.3 6.3 整体刚度矩阵形成方法整体刚度矩阵形成方法 12 34 2 1 q 图图 5 组装总刚组装总刚k的一般规

39、则：的一般规则： 1. 当当krs中中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩 阵阵krs就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵krse的相加。的相加。 2. 当当krs中中r s时，若时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵边是组合体的内边，则总体刚度矩阵 krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵krse的相加。的相加。 3. 当当krs中中r和和s不同属于任何单元时，则总体刚度矩阵不同属于任何单元时，则总体刚度矩阵 krs=0。 下面，我们考查一个组装总刚的实例：下面，我们考查一个组装总刚的

40、实例： 1. 整体刚度矩阵及载荷列阵的组集整体刚度矩阵及载荷列阵的组集 根据叠加原理，整体结构的各根据叠加原理，整体结构的各 个刚度矩阵的元素显然是由有关单个刚度矩阵的元素显然是由有关单 元的单元刚度矩阵的元素组集而成元的单元刚度矩阵的元素组集而成 的，为了便于理解，现结合图的，为了便于理解，现结合图5说说 明组集过程。明组集过程。 109教育教学 子块33 333231 232221 131211 KKK KKK KKK K e 图中有两种编码：一是节点总码：图中有两种编码：一是节点总码：1、2、3、4；二是节；二是节 点局部码，是每个单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自点局部码，是每个单元

41、的三个节点按逆时针方向的顺序各自 编码为编码为1，2，3。 图中两个单元的局部码与总码的对应关系为：图中两个单元的局部码与总码的对应关系为： 单元单元 1 ： 1，2，3 1，2，3 单元单元 2 ： 1，2，3 3，4，1 或：或： 单元单元 1 ： 1，2，3 1，2，3 单元单元 2 ： 1，2，3 1，3，4 单元单元e的刚度矩阵分块形式为：的刚度矩阵分块形式为： 110教育教学 子块44 44434241 34333231 24232221 14131211 KKKK KKKK KKKK KKKK K 整体刚度矩阵分块形式为：整体刚度矩阵分块形式为： 其中每个子块是按照节点总码排列的

42、。其中每个子块是按照节点总码排列的。 通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚 度矩阵。刚度集成法分两步进行。度矩阵。刚度集成法分两步进行。 e K e K 第一步，把单元刚度矩阵第一步，把单元刚度矩阵 扩大成单元的贡献矩阵扩大成单元的贡献矩阵 ， 使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子 块填充。块填充。 2 K 第二步，以单元第二步，以单元 2 为例，局部码为例，局部码1，2，3 对应于总码对应于总码3， 4，1，按照这个对应关系扩充后，可得出单元，按照这个对应关系扩充后

43、，可得出单元 2 的贡献矩阵的贡献矩阵 。 111教育教学 2 1 3 44434241 34333231 24232221 14131211 2 KKKK KKKK KKKK KKKK K 总码总码 1 2 3 4 2 3 4 3 1 2 局部码局部码 1 K用同样的方法可得单元用同样的方法可得单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵 。 K 第三步，把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加第三步，把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加 ，即可得出整体结构的刚度矩阵，即可得出整体结构的刚度矩阵 ，如（，如（42）式。）式。 K22 nn 22 在这里应该指出，整体刚度矩阵在这里应该指出，整体刚度矩阵

44、 中每个子块为中每个子块为 阶阶 矩阵，所以若整体结构分为矩阵，所以若整体结构分为n个节点，则整体刚度矩阵的阶个节点，则整体刚度矩阵的阶 数是数是 。 112教育教学 T e ynxnyxyx e FFFFFFFF 2 1 2211 总码总码 1 2 3 4 1 2 3 （42） 1 2 3 局部码局部码 3 2 1 3 2 1 0 0 4 3 2 1 2 33 2 32 2 31 2 23 2 22 1 33 1 32 2 21 1 31 1 23 1 22 1 21 2 13 2 12 1 13 1 12 2 11 1 11 2 1 KKK KKKKKK KKK KKKKKK KK e e

45、 F e F 至于整体结构的节点载荷列阵至于整体结构的节点载荷列阵 的组集，只需将各单元的组集，只需将各单元 的等效节点力列阵的等效节点力列阵 扩大成扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节行的列阵，然后按各单元的节 点位移分量的编号，对应相叠加即可点位移分量的编号，对应相叠加即可 113教育教学 6.4 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 刚度矩阵刚度矩阵K中每一列元素的物理意义为：欲使弹中每一列元素的物理意义为：欲使弹 性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节 点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点都保持为零的变形状态，在各

46、节点上所需要施加的节 点力。点力。 正定性，刚度矩阵正定性，刚度矩阵K中主对角元素总是正的。中主对角元素总是正的。 刚度矩阵刚度矩阵K是一个对称矩阵，即是一个对称矩阵，即Krs = Ksr T。 刚度矩阵刚度矩阵K是一个稀疏矩阵。如果遵守一定的节点是一个稀疏矩阵。如果遵守一定的节点 编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线 附附 近呈带状。近呈带状。 5. 奇异性。刚度矩阵奇异性。刚度矩阵K是一个奇异矩阵，在排除刚体是一个奇异矩阵，在排除刚体 位移后，它是正定阵。位移后，它是正定阵。 114教育教学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

47、11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 半带存储半带存储 半带宽B=（相邻节点号的最大差值D+1）*2 115教育教学 7 有限元方程及求解方法 7.1 有限元方程 结构的总势能 1 2 TT KF 最小势能原理，对于线弹性体，某一变形可能位移状态 为真实位移状态的必要和充分条件是，此位移状态的变形 体势能取最小值 。 116教育教学 0 结构总势能泛函 对结点位移 的变分为0. 结构有限元方程 KF 它是一个2n阶的线性代数方程组。因为该方程中K 是结构的总刚度矩阵，F是外荷载列阵，都通过计算求 得，因此可以根据有限元方程可以确定

48、结点位移。 117教育教学 7.2 位移边界条件的处理 由于总体刚度矩阵是奇异的，物理意义是结构中 存在刚体位移，不能直接求解。必须引入限制结构刚体位 移的位移边界条件，即位移约束条件，消除总体刚度矩阵 的奇异性，才能求解结构有限方程。 位移边界条件是指结构的某些区域位移已知，对于离 散体来说，位移约束条件是某些结点的位移分量受到限制， 包括位置限制和方向限制两个方面。具体哪些结点受到限 制，受限制结点哪个方向位移分量受到限制，要根据结构 受力后变形特征来确定。 处理的方法，主要有三种： 降阶法（紧缩法）降阶法（紧缩法） 置大数法置大数法 改改1法法 118教育教学 1. 降阶法降阶法 降阶法

49、也称紧缩法或直接代入法，降阶法也称紧缩法或直接代入法，该法是将结构该法是将结构 有限元方程中已知结点位移的自由度全部消去，得到有限元方程中已知结点位移的自由度全部消去，得到 一组降阶的修正方程，用以求解其它未知的结点位移。一组降阶的修正方程，用以求解其它未知的结点位移。 如果给定的位移均为零位移 ，则 只需将总刚K、荷载列阵F中与该位移所对应的行 和列全部划去即可。 如果给定的位移不为零位移， 也只保留了待定的结点位移作为未知量，但需对右 端荷载列阵进行相应的修正。 119教育教学 2. 置大数法置大数法 将结构总刚度矩阵中与被约束的位移分量相对应的主 对角线元素赋予一个大数A，如取A=10e

50、30或更大。 再将右端荷载列阵对应的荷载值换成已知的位移值与 该大数的乘积。 设结点位移分量r为已知，则有限元方程变为： 1111211 1 2 2122222 12 12 rh rh rrrrh hhhhrhhh Fkkkk Fkkkk kkAkuA kkkkF 120教育教学 经过修改后第r个方程的为 1 122rrrrhh kkAkuA (1,2,., ,) ri AKihir但 r u 方程两边同时除以A，除第r项外，其余各项均 为微小量可略去。 121教育教学 3. 对角元素改对角元素改1法法 当给定的位移值为零时，将总刚中与之相对应主对角 线元素改为1，相对应的行和列中其余所有元素

51、改为0， 荷载列阵对应的元素也改为0即可。 1111211 2212222 12 0 0 00010 0 h h r hhhhhh kkkF kkkF Fkkk 122教育教学 应力 应变 位移 物理方程 几何方程 外力 有限元方程 计算模型中：位移场已经确定，就可得到应变、应力。计算模型中：位移场已经确定，就可得到应变、应力。 8 应力结果 网格化模型 123教育教学 8.1 单元应力计算步骤 有限元方程求解之后，得到了所有结点的位移， 单元应力计算对每个单元循环；对于任一单元 e 根据结点i、j、m的实际编号，从结构结点位移向量 中选出单元结点位移向量 计算单元的应变分量， B e 计算单

52、元的应力分量： D S e 124教育教学 8.2 应力分析 以上分析得到了所有单元的应力分量， 为了强度分析，进一步计算主应力或等效应力。 xyxy 、 xx122 3 () 22 yy xy 主应力 取“”号为最大应力，取“”号为最小应力 min 180 arctan() xy y 最大应力与x轴的夹角 125教育教学 )()()( 2 1 2 13 2 32 2 21 e MISES应力 222222 ()3() exyzxyyzzxxyyzzx 由应力分量表示的三维MISES应力 由主应力表示的三维MISES应力 由应力分量表示的二维MISES应力 222 3 exyxyxy 126教

53、育教学 8.3 应力显示 x应力 mises应力 127教育教学 确定根据工程实际情况确定根据工程实际情况确定问题的力学模型确定问题的力学模型，并按一定，并按一定 比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。 将计算对象进行将计算对象进行离散化离散化，即弹性体划分为许多三角形单，即弹性体划分为许多三角形单 元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单 元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。 计算载荷的计算载荷的等效节点力。等效节点力。 单元分析，由各单元

54、的相关参数，计算单元分析，由各单元的相关参数，计算单元的几何矩阵、单元的几何矩阵、 刚度矩阵。刚度矩阵。 组集组集整体刚度矩阵整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。，即形成总刚的非零子矩阵。 组装各单元的等效结点载荷，形成总的外载荷向量。组装各单元的等效结点载荷，形成总的外载荷向量。 128教育教学 处理约束处理约束，消除刚体位移，消除刚体位移，求解线性方程组求解线性方程组，得到节，得到节 点位移。点位移。 计算计算应力矩阵应力矩阵，求得，求得单元应力单元应力，并根据需要计算主应力，并根据需要计算主应力 和主方向。和主方向。 整理计算结果（后处理部分）。整理计算结果（后处理部分）。 129教育

55、教学 图图1所示为一厚度所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上的均质正方形薄板，上 下受均匀拉力下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为，材料弹性模量为E，泊松比，泊松比 ，不记自重，试用有限元法求其应力分量。，不记自重，试用有限元法求其应力分量。3/1 12 34 2 1 x 图 2 y 2 q 2 q 2m y x q=106N/m 图 1 130教育教学 解：解： .力学模型的确定力学模型的确定 .结构离散结构离散 由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面 内，且沿板厚均匀分布，故可按内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理

56、平面应力问题处理。 考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。来研究。 该该1/4结构被离散为两个三角结构被离散为两个三角 形单元，节点编号，单元划分及形单元，节点编号，单元划分及 取坐标如图取坐标如图2所示，其各节点的坐所示，其各节点的坐 标值见表标值见表1。 节点 坐标 x y 表1 131教育教学 123 231 312 1 1 0 byy byy byy .求单元的刚度矩阵求单元的刚度矩阵 1) 计算单元的节点坐标差及单元面积计算单元的节点坐标差及单元面积 单元（单元（i、j、m 1，2，3） 123 231 312 0 1 1 cxx cx

57、x cxx 1 2 33 2 111 1 1 01 222 b cb c 单元面积单元面积 132教育教学 2）组装单元的几何矩阵）组装单元的几何矩阵 000 1 000 2 101000 000101 011110 ijm ijm iijjmm bbb Bccc A cbcbcb 133教育教学 3）计算单元的应力矩阵）计算单元的应力矩阵 2 10000 1 10000 1 2 1 00 2 ijm ijm iijjmm SD B bbb E Sccc A cbcbcb 弹性矩阵弹性矩阵 2 10 10 1 1 00 2 E D 应力矩阵应力矩阵 134教育教学 srsrsrsr srsrs

58、rsr s T rrs bbcccbbc bccbccbb Et tBDBk 2 1 2 1 2 1 2 1 14 2 应力矩阵也可应用公式计算应力矩阵也可应用公式计算 先计算用到的常数先计算用到的常数 8 9 )1 (216 9 )1 (43 1 2 1 22 EEEEt 135教育教学 单元的刚度矩阵中各个子矩阵单元的刚度矩阵中各个子矩阵 3 1 0 01 16 9 11 3 1 0001 3 1 10 3 1 10 3 1 01 3 1 00 3 1 11 16 9 1 11 E E K 3 4 3 2 3 2 3 4 16 9 ; 0 3 1 3 1 0 16 9 ; 3 1 3 1

59、3 1 1 16 9 1 22 1 13 1 12 E K E K E K 10 0 3 1 16 9 ; 1 3 1 3 1 3 1 16 9 1 33 1 23 E K E K 136教育教学 单元单元1的刚度矩阵为的刚度矩阵为: 1 0 3 1 1 3 1 3 4 3 1 3 1 3 2 3 4 0 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 3 1 101 16 9 1 33 1 32 1 31 1 23 1 22 1 21 1 13 1 12 1 11 1 66 称 对 E KKK KKK KKK K 12 3 1 2 3 （i、j、m=1，2，3） 137教育教学 单元单元2 2：

60、若按：若按i i、j j、m=3m=3、4 4、1 1顺序，对应单元顺序，对应单元1 1的的123123排码排码 时时, ,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有: : 1 0 3 1 1 3 1 3 4 3 1 3 1 3 2 3 4 0 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 3 1 101 16 9 2 66 称 对 E K 341 3 4 1 138教育教学 4. 组集整体刚度矩阵组集整体刚度矩阵 由于Krs=KsrT，又单元1和单元2的节点号按123对应 341，则可得： 2 44 2 43 2 41 21 33 1 32 21 31 1 2