总结求矩阵的逆矩阵方法

1、华 北 水 利 水 电 学 院 总结求矩阵的逆矩阵方法课 程 名 称： 线 性 代 数专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在线性代数课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n阶方阵 a,如果存在 n个阶段 b使得 ab=ba=e,则 n个阶方阵 a为可逆的,b为 a的逆矩阵。下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。关键字 矩阵 逆矩阵 可逆 1矩阵求逆常见的几种方法1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：阶矩阵可逆的充要条件，而且当阶矩阵有逆矩阵，其中伴随矩阵。例1 矩阵是否可逆？若可

2、逆，求解：可逆 又， 例 2 设，是的伴随矩阵，求解：，又， 所以 且有规律可循。对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。对求出逆矩阵正确与否,一般用来检验是否正确。1.2 用初等变换法求逆矩阵 定理1.2.1 如果阶方阵可逆，则存在有限个初等矩阵，使得。 如果可逆，则也可逆，由上述定理，存在初等矩阵 使得那么即 于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下： 如果阶方阵可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等行换，使化为单位矩阵同时化为，即：例1用初等行变换求矩阵的逆矩阵解：故 同理，如果阶矩阵可逆，作一个的矩阵，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵化为单位阵，则同时化为，即

3、。例2 用初等列变换求矩阵的逆矩阵1.3用定义法求逆矩阵 定义：设为阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵。 例4 设阶矩阵满足方程证明可逆，并求它的逆矩阵。证：由于，得，即或，由定义可知，2 特殊的求逆矩阵的方法2.1 由等价标准形求可逆矩阵法定理2.1.1：设是阶可逆矩阵，的秩等于，存在可逆矩阵与，使，故。证明：首先构造矩阵然后对进行行如下形式的初等变换：（1）对的前几行进行初等的行变换（2）对的前几列进行初等的列变换则经过有限次上述变换后，可以变为由此得此种方法在一般教材中很少提到，一般教材只介绍前三种方法，但若同时采用行和列的初等变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵

4、的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单。它是从等价标准型的角度给出了可逆矩阵的一种求法，是教学上一种新的尝试。例1：求可逆矩阵的逆矩阵解：构造矩阵2.2 运用hamilton-caley定理求逆矩阵 由hamilton-caley定理：设 是数域上的阶矩阵，为的特征多行式，则设的特征多行式若可逆，则由hamilton-caley定理得，所以即 。例1设，求解：的特征多行式，由hamilton-caley定理知因为 例2 设，试求解：的特征多行式为用 除以得 据hamilton-caley定理知，得2.3 由分块矩阵求逆矩阵法定理2.3.1 设，分别是，矩阵，若，均可逆，则证明：由两边求逆得即

5、同理可求出，的逆矩阵。故对大型且可分划为以上的分块矩阵，可用此法求逆矩阵。例1 求矩阵的逆矩阵解：，故 2.4 用解方程组的方法求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵逆矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。例1 求得逆矩阵解：设，先求中主对角线下的次对角线上的元素，再求，最后求。设为4阶单位矩阵，比较的两端对应元素，得到；解得，；解得，；;解得，；解得，；解得，；解得，。于是，所求的逆矩阵为：2.5 三角矩阵的一种求逆法 定理2.5.1：如果阶矩阵， 可逆，那么它的逆矩阵是其中利用此定理可以求

6、出其它各种类型三角矩阵的逆矩阵。例1：求上三角矩阵的逆矩阵 解：根据上定理可求得 因此， 如果是下三角矩阵，则为上三角矩阵。根据逆矩阵的性质：，再根据上定理可求三角矩阵的逆矩阵。 例22.6 用恒等变形法求逆矩阵 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有通过求逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，而且变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。 例1 已知 试求并证明，其中解：由得到 故，而又为正交矩阵，（其中为的转置矩阵） 从而2.7 同时用行列变换求矩阵逆的方法定理2.7.1 如果用有限次行、列初等变换可将矩阵化成单位矩阵，且设用其中的行初等变换将单位矩阵正化为，用其中的

7、列初等变换将单位矩阵正化为，那么证明：设是一个级可逆矩阵则 其中，都是级初等矩阵。由此即得 是级单位矩阵，又写成 那么 比较式和式，并记， 即得。具体求法用分块矩阵表示就是：若，则。当或时，即第二种方法，因此这种求逆矩阵的方法是第二种方法式。例1： 设，求。解：由以上定理我们构造矩阵 于是，由定理所示的方法可知，它包括了平常的单使用行初等变换或列初等变换求逆矩阵的方法，只是最后还得作矩阵的乘法运算，为要避免矩阵的乘法，进一步我有：设，则，于是 这个结论也就是：，即得注意到是一个级矩阵，因此施行第三种行初等变换，把矩阵化成零矩阵时，即可把零矩阵化成。 综上所述，得到：（先经过初等行列变换，再经过

8、第三种行初等变换）这里求得的矩阵，实质上是矩阵左乘矩阵所得的乘积，用上成的方法只是统一于初等行列变换罢了。例2：，求。解：由题构造 故。3.几类特殊矩阵的逆矩阵再求逆矩阵的过程中，我们发现几类特殊的矩阵与其逆矩阵之间不久有密切的联系，而且有特殊的结构或形式。因而，对此进行研究是有一定意义的，所得结论对进一步学习高等代数也有很好的借鉴作用。这里用表示数域，表示矩阵的转置，表示阶单位矩阵，表示矩阵的逆矩阵。引理3.1 （woodbury公式）设是阶可逆矩阵，为常数，是维列向量，则定理3.1 设阶矩阵是幂零矩阵（即有正整数，使得），则（1）若，则可逆，且;(2)设，则可逆，且。证明 （1）设是矩阵的

9、任一特征值，则，即，于是，当时，从而，可逆，且即可用同样的方法证明（2）定理3.2 设阶矩阵的各行各列有且只有一个元素是1或-1，其余均为0，则可逆且，其中是正整数。证明 矩阵中的每一个矩阵的各行各列只有一个元素是1或-1，其余均为0，但这样的不同矩阵只能是有限个，故存在正整数，使，（），不妨设，由条件知，等于1或-1，所以可逆，且，令为正整数，则，即矩阵式周期矩阵，且。对于形如，其中，的矩阵的可逆性，得出了一个求逆公式。这里将其推广，得到了如下结论：定理3.3 设矩阵，其中是阶可逆的对角矩阵，为常数，是维列向量，若可逆，则也是具有矩阵的形式。 证明 设，为维列向量，利用woodbury公式，

10、得，其中，。即当时，可逆，且也具有矩阵的形式。此定理的证明实际上给出了这类矩阵可逆的条件及求逆逆矩阵的公式，用该公式球这类矩阵的逆比用常规的方法要简单得多。定理3.4 设阶整数矩阵(即元素全为整数)，则可逆且逆矩阵也是整数矩阵得充分必要条件是证明 必要性 设阶整数矩阵可逆且逆矩阵也是整数矩阵，则存在整数矩阵，使得，从而，由于都是整数，因此充分性 设,则，由于也是整数矩阵，于是为整数矩阵。定理3.5 设阶可逆矩阵的每一行（列）元素和都等于，则，且得每一行（列）元素和都是等于。证明 下只证明行的结论列的结论同理可得。由于，阶矩阵的每一行元素和都等于，即有，因可逆，知，且，所以的每一行（列）元素和都等于。例1 设矩阵，求的逆矩阵解 令 ，则