数列中公共项问题的研究

1、数列中公共项问题的研究专题：数列中公共项问题的研究一、问题提出问题 1：（ 1）两个集合 A 3,0,3,6,L ,a100 和B 15,19,23,27,L ,b100 都 各有 100 个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等 差数列，则集合 A I B中元素的最大值是多少？（2）若将 AI B中元素按从小到大的顺序排列成数列 cn ， 试求数列 cn 的通项公式 . cn 12n 3问题 2：若数列 an的通项公式为 an 2n2 3 ，数列b n的通项 公式为 bn 3n 5 4设集合 A x|x 2an,n N* ， B y|y 4bn,n N* 若等差数列 cn任 一项 cn AI

2、 B,c1是 AI B中的最大数， 且 265 c10 125 ，求cn 的通 项公式对任意 n N*，2an 2n 3,4bn 12n 5 2（6n 1） 3，B A， AI B B c1 是 A I B 中的最大数， c1 17 ，设等差数列 cn 的公差 为d ，则 265 17 9d 125 ，即 2795 d 12，又 4bn 是一个以 12为公差等差数列，12k(k N )， d24 ， cn 7 24n、思考探究bn的通项公式为 b2 nn若将数列 an， bn 中相同的项按从探究 1：已知数列 an 的通项公式为 an 7n 2，数列小到大的顺序排列后看作数列 cn，1）求 c

3、9的值； 961 2）求数列 cn 的通项公式 .解：设 7n 2 m2 ，考察 m模 7 的余数问题； 若 m 7k 6,7k 5,7k 4,7k 3,7k 2,7k 1,7k 时经验证可得： 当 m 7k 4,7k 3时，存在满足条件的 n存在故 cn 中的项目依次为： b3 , b4 , b10 , b11 , b17 , b18 , b24 , b25 , b312 7n 1 ，n为奇数 可求得数列 cn 的通项公式为： Cn2 27n 6 ，n为偶数 23n 19 ，探究 2：已知数列 an 和bn 的通项公式分别为 anbn 2n.将an与bn 中的公共项按照从小到大的顺序排列构

4、成一个新数列记为 cn.（1）试写出 c1，c2， c3 ， c4的值，并由此归纳数列 cn 的通 项公式；（ 2）证明你在（ 1）所猜想的结论 .5c3 b5 a17 2 ， c4 b7 a4827，解：(1) c1 b1 a7 2n 6 Cm03m C1m3m 1( 1)1 Cm23m 2( 1)2 L Cmm， c2 b3 a9 2， 由此归纳： cn 22n 1.2) 由 an bm，得 n 2m319 2m3 1nm6，m1 m 1 m m31( 1)m 1 Cmm( 1)m 1 ，n 6 (3 13) 1 ，由二项式定理得当 m 为奇数时， n 有整数解，2n 1cn b2n 1

5、2类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题法：余数分析法）3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题方法：二项式定理）探究 3：已知数列 xn和yn的通项公式分别是 xnan 和 yn（a1）nb（nN*）（1）当 a 3，b5 时， 试问 x2，x4 分别是数列 yn中的第几项？m记 cnxn2，若 ck 是数列 yn中的第 m 项（k， N*），试问 ck 1是数列 yn中的第几项？请说明理由；2，（2）对给定自然数 a2，试问是否存在 b1， 使得数列 xn和yn有公共项？若存在，求出 b 的值及相 应的公共项组成

6、的数列 zn ；若不存在，说明理由解 （1）由条件可得 xn3n，yn 4n5.yn令 x2 9 ym 4m 5，得 m1，故 x2 是数列 中的第 1 项yn令 x481yk4k5，得 k19，故 x4 是数列中的第 19项 （2 分）由题意知， cn32n，1由 ck 为数列 yn中的第 m 项，则有 32k4m5 那么 ck132（k1）932k9（4m5）36m 45 4（9m10）5，因 9m10N*，所以 ck1是数列 yn中的第 9m10项 （8 分）（2）设在1，2上存在实数 b使得数列 xn和yn有公 共项，asb即存在正整数 s，t 使 as （a 1）tb， t a1，

7、因自然数 a2，s， t 为正整数， asb 能被 a 1整除as ba当 s1时，taa1b2，则 a b (0 ，a 1)，故此时 t?N*，1整xn，zn若 a2，当且仅当 ba2 时， ab 能被 a 此时 tN* ，此时数列 xn和 yn有公共项组成的数列 zn 综上所述，a2时，存在 b=1或 b=2，使得数列和 yn有公共项组成的数列 zn， 且当 b1时，数列 zn4n(nN*)；当 b2 时 22n1(nN*)；a2时，存在 b=1，使得数列 xn和yn有公共项组 成的数列 zn ，数列 zna2n(nN*)(16 分) 【抢分秘诀】 1求解数列的通项公式时，应该先根据已知条

8、件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性 质，才能简化运算过程2数列求和问题的关键是数列通项公式的求解， 数 列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将 其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解探究 4：设数列 an的通项公式为 an 2n 1，数列 bn 的通项公式为 bn3n2集合 A xxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合 A B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列 c1，c2，c3，则 cn的通项公式为 解：因为 a3k 2 2(3k 2) 1 6k 5，a3k 1 2(3k 1

9、) 1 6k 3a3k23k16k 1； b2k13(2k1) 26k5a3k 2b2k32k26k 2 A所以a3k 2b2k 1a3k 1 b2ka3kk 1,2,3,即当n4k3(kN ) 时，cn6k5；当n4k2(k N )cn6k3，当 n 4k1(kN)时，cn6k2，当n4k(kN ) 时，cn6k1三、反思提升四、反馈检测所以 cn 的通项公式是 c即：3n 1,n 2k 123n,n 4k 223n 2,n 4k21. 已知数列 an ，1)求证：数列a2)数列 an 中，6k 5,n 4k 36k 3,n 4k 26k 2,n 4k 16k 1,n 4kqn(p 0,q

10、0, p q, R, 0,n N*) .pan 为等比数列；是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；N，3)设 A (n,bn)|bn 3n kn,n N* ，其中 k 为常数，且 kB (n,cn)|cn 5n,n N* ，求 AI Bqn)qn(q p)n n n 1 n1 n解： an = pq ， an 1 pan p q p(p0,q 0, p q an 2 pan 1 an 1 panq 为常数数列 a1 pan 为等比取数列 an的连续三项 an,an 1,an 2(n 1,n N )，q)2，2 n1 n1 2 n n n 2 n 2 n n an21anan2(p

11、n1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pQ p 0,q 0,p q, 0， pnqn(p q)2 0，即an21 anan 2， 数 列 an 中 不 存 在 连 续 三 项 构 成 等 比 数 列 ；9分当 k 1 时，当k3时，3nknkn 3n 1 5n，此时 BI C ；3n 3n 2 3n为偶数；而5n为奇数，此时 BI C当k5时，3nkn5n ，此时 BI C ；12当k2时，即只有5n ，发现 n 1 n 1 符合要求)。3n 2符合要求，下面证明唯一性由 3n 2n5n得 (35)n (25)n551，设 f (x) (53)x5(2)x，则 f(x)5(53)

12、x (52)x是 R上的减函数，55f(x)1的解只有一个从而当且仅当n1 时 (35)n (52)n 1， 即 3n 2 5，此时B I C (1,5) ；3nn n当 k 4时， 3n 4n 5n ，发现 n 2符合要求，下面同理可证明 唯一性(即只有 n 2符合要求)从 而 当 且 仅 当 n 2 时 (3)n (4)n 1 ， 即 3n 4n 5n ， 此 时55B I C (2,25) ；综上，当 k 1， k 3或 k 5时， BI C当 k 2时， BI C (1,5) ，当 k 4 时 ，BI C (2,25) 。16 分an2. 设数列an的各项都是正数， 且对任意 nN*都

13、有 a13 a23a33 an3Sn22Sn，其中 Sn 为数列 的前 n 项和1）求 a1，a2；2）求数列 an 的通项公式；，试找出所有即在数列Sn32an3)bn Sn ，cn2an1 abn 中又在数列 cn中的项2a1，解：（1）令 n 1，则 a13 S132S1，即 a13 a12 所以 a12 或 a1 1 或 a1 0又因为数列 an 的各项都是正数，所以 a1 2令 n2，则 a13a23 S222S2，即 a13a23 （a1 a2）22（a1a2），解得 a23或 a22 或 a20又因为数列 an 的各项都是正数，所以 a2 32)因为 a13a23a33 an3S

14、nan1an2nn1不妨设数列 bn中的第 n项 bn和数列cn中的第 m项 cm 相同，则 bn cm2Sn(1)所以 a13a23a33 an 13Sn122Sn 1(n 2) (2)由(1)(2)得 an3( Sn22Sn)(Sn12 2Sn1)(SnSn1)( Sn Sn 1 2) an( Sn Sn12)，因为 an0,所以 an2SnSn1 2(3)所以 an 12 Sn 1 Sn22(n3) (4)由(3)(4)得 an2 an12 an an1，即 anan11(n 3)，又 a2 a1 1，所以 an an11(n2)所以数列 an是一个以 2为首项， 1 为公差的等差数 列

15、所以 an a1(n1)dn 13)Sn n(n23)，所以 bn2n1&+ ea 寸+ E 寸人& CFmsAE&+ E2V& WLgCXT+E2H& u-IOHL+E+&起COHU L E IUCN一駅寸+ E寸H& m0A8H(9)A(E)J三瓷亠雲靈曲(E)三瓷O人寸 ecnh(e)(l +E)亘.寸E寸民h(e)令-起 9AE & + E 寸 VE0 起寸COZLE亠寸+E寸he三瓷IDL + E + ECNECO+ 敖 H9E9 剝U- EW IE IC0+黒 FE+OWUWL e (e+u)UHL+E+22 枫L E luCNL+E+ &H(CO+u)u 注亠 L E luCN9L+E+ Eh (C0+ u)u9 + (col+u)uu所以， m3， n32m m16 12 若 2mm1 n（n3）3，即 2 2m 2 由 1 知，当 m3时，2m2m2。因此，当 2m2m2时， m1或 2当m1时，n（n63