完整版不定积分习题与答案

1、不定积分(A)1、求下列不定积分dx2 xdx2) x丘2、7)(X 2)2dx24)&2 3x 5 2xxdx3x(2ex 3)dxx求下列不定积分(第一换元法)3(3 2x) dxdxcos xs in X2xcos(x )dxcos2x2 ；_2dx6) cos xsin x(1 丄)JxVxdx8)xdx2)幼2 3xdx4) xin XIn(ln x)dxXX6) e e齐X8)1 x10sinx ,dx2x21丄三dx10)(9 4x212)cos3 xdx13)sin 2xcos3xdxtan3 x secxdx14)15)21 dx16) 3cos x 4 sin x17)/

2、c2arccosx10fdxJiX2arctaXdx18)皿 x)3、求下列不定积分（第二换元法）&dx2)sin TXdxx2jdx, (a 0)4)va xdx5)J(X21)3dx6)1 V2xdx7) x Jl x2dx8)1 J1 X2xSnxdx2)arcs in xdxx2 In xdx4)2x . x e Si n dx2x2 arcta nxdx6)x2 cosxdxIn2 xdx8)22 xx cos dx24、求下列不定积分（分部积分法）7)5、求下列不定积分（有理函数积分）3x dx x 32x 322) x 3xdx3)x(x21)(B)1、一曲线通过点 方程。2、已

3、知一个函数（e，3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的13/ 2F（x）的导函数为浙x ，且当x 1时函数值为2 ，试求此函数。3、证明：若f(x)dxF(x) C，则f (ax b)dx -F (ax ab) c,(a 0)osin x4、设f(x)的一个原函数为，求xf(x)dxo5、求下列不定积分COS2 鈔2)J1 sin 2xdxJ arcta n14)1 xX.dxV1 x5) (X2dx2、(_2727a )(x b )xjdx6) Y2a x_ln7) X 心 lnX =dxxarcta n xxedx8)(1X2V求以下积分x xedxarctaneX

4、 ,2xxe5x x ,5) x 1(C)dx2) sin(2x) 2sinx54)sin xcosx ,dx6)si nx cosx第四章 习题不定积分答(A)2-x(2) 31-x3)32x2 4x(4) x arcta nx c2x(5)ln2 ln3(6) (cot xtan x) c4(x2(7)2ex3ln x7) yVx2、(1)18 (3 2x)4(2)1(223x)3 c(3)2 COS Jt c(4)In In In x5) In |tanxl(6) arctan e畀n(x2)-ln1(8)41(9) 2 cos x(10) 21. 2xarcs in 3J9 4x2 c

5、4Jlnsin(12)sin3 x丄 cosx 丄 cos5x (13) 2101-sec x(14) 3secx c129 c2,x-ln(9x )(15) 2210 2arccosxc(17) 2ln10(18) (arctan7x)2c3、(1)lncsct cott(2)2(/xcosJx si nx) c2(tanJx2 4(3)arccos?)x2a z - x (arcsin - 2 a岳ln(1y2x) c1-(arcsin x2In x71c(8)arcs in x4、 xcosxsin x(2)xarcsinx1x3I nx31 -x92 e 172x(cos-24 sin

6、-)216In(12)sin x2xcosx2sin x(7)xln2x 2x I nx2x c1x(8)61 2 . x sin 2x xcosxsin x5、(1)1 -x39x 27 Inln|x 2In xIn(B)1ln(21) c1x-Inx 1In2X-2 “x x 1I n(x2411)一 arcta n x2爲ctan2x 13设曲线yf (x)，由导数的几何意义:dx xIn xc 2 ，点(e ,3)代入即可。用倍角公式:(2)注意 COSX sin x0 或 COSX sinx0两种情况。1arctan arc cot x,-(3)利用x1 x1 dxd(arc cot

7、 x)。(4) 先分子有理化，在分开作三角代换。(5) 化为部分分式之和后积分。(6)可令 x 2asin21。(7)可令 X a (b a)sin2t,则 bx (b a)cos21。设函数为F(x)，由J12 x得3F(x)f (x)dx arcs inx C，代入(12)即可解出Co由假设得F (x)f(x), F (axb)f (axb)，故11HF (axb) F (ax b),f (axb)dx-F (axb) caa4、把f(x)凑微分后用分部积分法。1o2 x 1 cosxcos -2112(8)令山 Inx t。(9)分部积分后移项，整理。整理。arcta n x(10)凑e

8、后分部积分，再移项,(11)令tan t2 。dx(12)变形为Jxx 3 (x 2)4 后，1丄再由 x 2t2，两端微分得2 dx 2tdt(x 2)(C)1) 解:- X ln( 1令u ve 1，贝yu2), dx所以原式22 ln(1 u2)du 2uln(1 u2)4u2du u2ul n(12u ) 4u 4arctanu c2xJeX 1 4jex 14arcta neX i2）解：方法一:dx2sinx(1 cosx)原式d(|)4 sin Xcos2x d(ta ny2 Xta ncos2 二2+2 Xtan 2Xd(ta n-)X2tan-2方法二:方法三:hnta显4s

9、in xdx2变形为2(1 cos x)(1 cosx)，然后令cosx再化成部分分式积分。3）解：原式2arctaneXd(e 2X)扣2XarctaneXd(ex)e2x(1 e2x)X(令e2x ,Xarcta n eduu2(12e124)解:2x丄Xarcta nedu2du1 u22xarcta neXarcta neX原式1 _3 Vx31d(x3) 33X4r3a/x1d(x3)1右d(x3)1631)4d(x31)(x3 1)1刁d(x31)(x32171)44/ 39(x31)45）解：原式3dx x12 (x2d(xxX2)2)22，令 u1 du2产Inuu 424 x 盲 x72x2 1V2x2 16）解：原式1 2sin xcosx 11 ,dx2 sin x cosx1 (sin x2Edxsin x cos