2013年研究生数学建模竞赛A题全国三等奖论文变循环发动机部件法建模及优化

1、参赛密码 （由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校 参赛队号队员姓名1.2.3.参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 变循环发动机部件法建模及优化摘 要变循环发动机可以实现超音速时的高推力与亚音速时的低油耗，其内在性能的优势引起了各航空强国的高度重视，因此是目前航空发动机的重要研究方向。研究的重中之重是燃气涡轮发动机的特性，本文在了解变循环发动机的构造及工作原理的基础上，运用线性插值、遗传算法、多目标规划等方法给出各部件的出口总温、总压、流量和功率的算法、程序，进一步给出了平衡方程组成的非线性方程组的算法及其有效性分析，得到了发动机性能最优的相关

2、约束条件，进而解决了发动机性能最优时的参数取值。针对问题一，运用Matlab软件进行线性插值得到相应换算转速下增压比、流量、效率。1）对附录4中风扇特性数据表中增压比进行标准化处理得到对应压比值，根据附录1中2.2.2得到相应换算转速下的流量，通过Matlab软件中Spline插值方法画出了相应换算转速下流量随压比函数值变化的图形。2）根据附录1中2.1.2得到了进气道出口总温、总压，再由压气机（风扇、CDFS）进口总温、总压和物理转速得到的换算转速，利用线性插值得到对应增压比、流量、效率，再由附录1中2.2.2求出了压气机（风扇、CDFS）的出口总温、总压和流量。针对问题二，给出了求解由发动

3、机7个平衡方程组成的非线性方程组的遗传算法，进一步运用Matlab软件编写了子程序并进行有效性分析。对于发动机7个平衡方程涉及的变量进行分类处理，结合附录1中变循环发动机各部件的计算公式给出对应类的算法及程序。再将变量代入相应平衡方程，得到关于发动机参数的非线性方程组。针对问题三，依据附录1给出的发动机性能参数：推力、单位推力和耗油率，建立了多目标规划模型。根据所建模型，找出了发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量与推力、单位推力和耗油率之间的关系，进而通过Lingo求解出3个量为多少时，发动机的性能最优。除此之外，我们通过导入附录4中的数据表，利用Matlab程序取代了

4、人工查表并进行插值的繁琐工作。关键词：线性插值；遗传算法；有效性分析；多目标规划； 目 录一、问题重述41.1 问题的背景41.2 问题的提出4二、问题分析5三、问题假设6四、符号说明6五、模型的建立及求解105.1问题一的模型建立与求解105.1.1风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形105.1.2进气道出口总温、总压115.1.3风扇的出口总温、总压和流量125.1.4 CDFS的出口总温、总压和流量135.2问题二的模型建立与求解145.2.1压轴（低、高）功率平衡方程145.2.2涡轮（高压、低压）进口截面流量平衡方程155.2.3后混合器静压平衡方程165.2.4尾喷管面积平衡

5、方程175.2.5风扇出口流量平衡方程175.2.6发动机平衡方程组成的非线性方程组185.2.7求解非线性方程组的算法185.3问题三的模型建立与求解23六、模型评价与总结246.1 模型优势246.2模型的不足246.3 小结24七、参考文献26变循环发动机部件法建模及优化一、 问题重述1.1 问题的背景由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。1

6、.2 问题的提出 燃气涡轮发动机的特性可以用实验方法和计算方法获得。但实验的方法需要研制复杂的设备、投入巨额的资金和消耗巨大的能源，因此实验的方法不可能经常采用【1】。随着计算能力的不断提高，发动机数学模型研究的不断深入，计算机仿真精度也在不断提高，一定程度上弥补了实验方法的不足，尤其是在发动机型号研制过程中，燃气涡轮发动机计算机仿真技术发挥了不可替代的作用【2】。燃气涡轮发动机是由进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件组成的，如果计算机能够对这些部件的性能进行准确的模拟，那么也就能准确地模拟整个发动机的性能。这种建立在准确模拟发动机各部件性能基础上的发动机性能计算方法，称为部件法【3】。

7、该方法是建立在发动机各部件特性已知的基础上的，因此是计算精度较高的一种方法。1.3 要解决的问题请你们完成以下几个问题：一、1）请画出附录4中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形。2) 设在发动机飞行高度，飞行马赫数的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0，风扇和CDFS的物理转速都为0.95，风扇和CDFS的压比函数值都为,求风扇和CDFS的出口总温、总压和流量。二、设在发动机飞行高度，飞行马赫数的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0，选择活门完全打开，副外涵道面积设为，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，尾喷管喉道面积，。请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方

8、程（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）组成的非线性方程组。要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。如果你们队还有时间，请研究下面的问题：三、1）设在发动机飞行高度，飞行马赫数的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为，后混合器面积设置为2.8518e+004。请问发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优? 即要使单推力尽可能大同时耗油率尽可能小。2）试研究发动机飞行高度，飞行马赫数从变化到,发动机特性最优时，CDFS导叶角度、低压涡轮导叶

9、角度,尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调（即不受附录1后混合器给定的内、外涵道面积值的约束）。二、 问题分析本文研究的内容是变循环发动机部件法建模及优化，需要解决以下三个问题：一、1）画出附件4中风扇流量随增压比对应的标准化变量压比数据变化的图形。所需做的工作是将增压比标准化处理，流量、压比两组数据关系的图形。2）给定飞行高度和马赫数，导叶角、物理转速和压比函数值，求各部件的出口总温、总压和流量。具体的，给出

10、风扇和CDFS的出口总温、总压和流量。所需做的工作分以下几步：代入飞行高度和马赫数，得到进气道出口总温、总压；进气道出口总温、总压作为风扇进口总温、总压，根据相应算法得到风扇出口总温、总压、流量；风扇出口总温、总压作为CDFS进口总温、总压，根据相应算法得到风扇出口总温、总压、流量；二、1）给定已知参数值，根据附录提供的各部件出口总压、总温、流量和功率计算步骤和相关平衡方程，设计算法求解参数对应的非线性方程组，并讨论算法有效性。算法设计分以下几步：针对7个平衡方程涉及的变量进行分类，转化为各部件的出口总压、总温、流量和功率；针对分类后的具体部件，结合附录1计算步骤给出具体算法；根据算法，将变量

11、代入对应平衡方程，转化为解方程问题；将7个方程联立起来，给出求解算法；试给出参数值，检验算法的有效性；三、1）给定某些部件参数值，求发动机性能最优时，发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的取值。2）通过给定马赫数变化范围，求发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的变化规律。通过分析附录1中的三个计算参数算法，通过各个部件匹配工作时的平衡制约方程来建立数学模型。具体过程如下：以飞行高度，飞行马赫数的超音速巡航点发动机为研究对象，选取推力、单位推力和耗油率为目标函数，并建立多目标优化模型：选取变量：这里我们选取的变量是发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导

12、叶角度和喷管喉道面积3个量。计算目标约束关系式：我们可以把目标函数看做是一个复合的函数，而要得到选取的三个变量与目标函数的关系，我们需要通过对制衡方程进行化简与整合。三、 问题假设1. 为了简化计算，题中各量的单位不需要转换，直接运算认为是合理的。2. 附录4中，当转速为某个给定值时，在相邻两个压比函数值之间，我们认为增压比、效率和换算流量都和压比函数值成线性关系。3附录4中，在相邻两个转速之间，我们认为压比函数值和转速呈线性关系。4. 高压涡轮进口截面气体流量等于主燃烧室出口气体流量。即忽略冷却空气流量。其余类似。5. 发动机各部件参数之间相互独立。6.算法中发动机部件的出口值作为下一相邻部

13、件的进口值。7.各部件的换算转速不会超出附录4所给的范围。四、 符号说明符号意义发动机飞行高度=11飞行马赫数标准大气条件下环境压力（静压）=0.标准大气条件下环境温度（静温）=216.65进气道进口的总压=0.进气道进口的总温=244.3812气体绝热指数纯空气进气道总压恢复系数进气道出口总压=0.进气道出口总温=244.3812压比函数值风扇压比函数值CDFS压比函数值高压压气机压比函数值高压涡轮压比函数值低压涡轮压比函数值物理转速低压（风扇、低压涡轮）转速=0.85高压（高压压气机、CDFS、高压涡轮）转速换算转速压气机（风扇、CDFS、高压压气机）换算转速涡轮（高压、低压）涡轮换算转速

14、导叶角度风扇导叶角=0CDFS导叶角=0高压压气机导叶角=0低压涡轮导叶角=0风扇288.15CDFS 428.高压压气机473.高压涡轮1850低压涡轮1.5405e+003压气机（风扇、CDFS、高压压气机）进口温度涡轮（高压、低压）进口温度涵道进口温度压气机（风扇、CDFS、高压压气机）增压比涡轮（高压、低压）增压比压气机（风扇、CDFS、高压压气机）效率涡轮（高压、低压）效率压气机（风扇、CDFS、高压压气机）换算流量涡轮（高压、低压）换算流量风扇2.3894CDFS 0.3059高压压气机0.9191高压涡轮1.5342低压涡轮0.7902风扇0.4950CDFS 0.1500高压压

15、气机0.38462高压涡轮13.2121低压涡轮0.3881风扇1.0684CDFS 1.0999高压压气机1.0719高压涡轮1.0121低压涡轮1.0061压气机（风扇、CDFS、高压压气机）增压比涡轮（高压、低压）增压比压气机（风扇、CDFS、高压压气机）增压比最大值涡轮（高压、低压）增压比最大值压气机（风扇、CDFS、高压压气机）增压比最小值涡轮（高压、低压）增压比最小值压气机（风扇、CDFS、高压压气机）换算流量涡轮（高压、低压）换算流量压气机（风扇、CDFS、高压压气机）进口总压涡轮（高压、低压）进口总压涵道进口总压压气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口总压涡轮（高压、低压）出口

16、总压压气机（风扇、CDFS、高压压气机）进口熵压气机（风扇、CDFS、高压压气机）进口焓涡轮（高压、低压）进口焓压气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口理想熵气体常数，空气287、燃气287.31气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口理想温度气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口理想焓压气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口焓涡轮（高压、低压）出口焓压气机（风扇、CDFS、高压压气机）出口总温涡轮（高压、低压）出口总温压气机（风扇、CDFS、高压压气机）流量风扇1.01325CDFS 3.5464高压压气机4.8860高压涡轮28.7297低压涡轮11.3371压气机（风扇、CDFS、高压压气

17、机）功压气机（风扇、CDFS、高压压气机）功率主燃烧室进口总温主燃烧室进口总压主燃烧室空气流量主燃烧室出口温度主燃烧室出口油气比主燃烧室进口焓主燃烧室出口焓燃烧效率0.99燃油热值燃油流量主燃烧室出口总压主燃烧室总压恢复系数0.98压气机（风扇、CDFS、高压压气机）增压比修正系数涡轮（高压、低压）增压比修正系数压气机（风扇、CDFS、高压压气机）效率修正系数涡轮（高压、低压）效率修正系数压气机（风扇、CDFS、高压压气机）换算流量修正系数涡轮（高压、低压）换算流量修正系数涡轮（高压、低压）流量高压涡轮平均等压比热低压涡轮平均等压比热涡轮功涡轮功率涡轮机械效率0.99涵道总压恢复系数0.986

18、CFDS涵道出口面积08.4252CDFS涵道出口总压CDFS涵道出口总温CDFS涵道出口静压气动函数0.0397流量系数（燃气）0.0404流量系数（空气）副外涵道出口总温副外涵道出口总压副外涵道出口总温副外涵面积（选择活门面积）1.8395e+003前混合器副外涵出口焓前混合器副外涵出口流量前混合器出口焓前混合器出口总温前混合器出口总压前混合器流量前混合器CDFS涵道出口焓前混合器CDFS涵道出口流量后混合器内涵出口面积5.3061e+003后混合器内涵出口总压后混合器内涵出口总温后混合器内涵静压后混合器内涵出口焓后混合器内涵出口流量后混合器外涵出口面积2.3212e+004后混合器外涵出

19、口总压后混合器外涵出口总温后混合器外涵静压后混合器外涵出口焓后混合器外涵出口流量后混合器出口焓后混合器出口总面积加力燃烧室进口总压加力燃烧室进口总温加力燃烧室出口总压加力燃烧室出口总温加力燃烧室进口流量加力燃烧室出口流量加力燃烧室总压恢复系数1尾喷管喉道面积尾喷管出口面积尾喷管出口静温尾喷管出口气流速度尾喷管出口总压尾喷管出口理想焓尾喷管出口焓五、 模型的建立及求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形1、风扇压比函数值 设风扇某换算转速所对应的增压比数据（见附录4）的最大值为最小值为,则定义该换算转速对应的增压比的压比函数值为: （1）即压气机（风扇

20、）增压比的标准化变量。2、风扇特性数据表中流量 风扇某换算转速所对应的特性数据表中流量（见附录4）3、风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形由（1）知，固定风扇换算转速下，压比函数值与流量对应数值，通过Matlab软件中Spline插值方法值得到风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形【4】，如图1。图15.1.2进气道出口总温、总压1、计算标准大气条件下环境压力，环境温度当高度时： (2)其中，高度的单位为，温度的单位为，压力的单位为bar。=11，由(2)得=0.，=216.652、计算进气道进口的总温总压 （3）=0.，=216.65，由（3）得，=0.，=244.38123、计算

21、进气道总压恢复系数 (4)，由（4）得，4、计算进气道出口总温总压 (5)=0.，=244.3812，由（5）得，=0.，=244.38125.1.3风扇的出口总温、总压和流量1、风扇进口总温Tin* =244.3812，总压Pin*=0.2、计算风扇换算转速： (6)风扇，=244.3812，=0.95，由(6)得，=1.3、计算风扇增压比、效率和换算流量风扇的增压比、效率和换算流量分别是关于换算转速和压比函数值及导叶角的函数。 （7） 1） 附录4给出了风扇的特性数据。利用线性插值法计算出风扇的换算转速为1.、压比函数值为0.5时的特性图上的增压比为2.、效率为0.和换算流量为105.34

22、29。2） 将1）求的特性图上的增压比为2.、效率为0.和换算流量为105.3429代入（8）修正后得到风扇的增压比、效率和换算流量： (8)=3.，=0.，=52.14474 3）计算风扇出口参数风扇出口总压：=1.计算进口熵：=6499.002，进口焓：=-53807.6风扇出口理想熵：=6888.345，这里由风扇出口理想熵，计算风扇出口理想总温=360.361计算风扇出口理想焓：=62490.24根据公式计算风扇出口焓=86909.94由风扇出口焓求风扇出口总温：=384.5548计算风扇流量： (9)由(9)得，=19.264585.1.4 CDFS的出口总温、总压和流量1、CDFS

23、进口总温Tin* =384.5548，总压Pin*=1.2、计算CDFS换算转速已知：，= 384.5548，=0.95，由(6)得，3、计算CDFS增压比、效率和换算流量同式（7），CDFS的增压比、效率和换算流量分别是关于换算转速和压比函数值及导叶角的函数。 1） 附录4给出了CDFS的特性数据。利用线性插值法计算出CDFS的换算转速为、压比函数值为0.5时的特性图上的增压比为2.04631、效率为0.81635和换算流量为105.0231。2） 将1）求的特性图上的增压比为2.04631、效率为0.81635和换算流量为105.0231代入式（8）修正后得到CDFS的增压比、效率和换算流

24、量：= 1.，= 0.，= 15.75346 3）计算CDFS出口参数CDFS出口总压：=1.76705计算进口熵：=6953.93，进口焓：=86909.91CDFS出口理想熵：=7033.625，这里由CDFS出口理想熵，计算CDFS出口理想总温=416.0232计算CDFS出口理想焓：=.3根据公式计算CDFS出口焓=.9由CDFS出口焓求CDFS出口总温：=419.5918计算CDFS流量：由式（9）得=6.5.2问题二的模型建立与求解5.2.1压轴（低、高）功率平衡方程1、压气机（风扇、CDFS、高压）的消耗功率计算压气机功和功率： (10)2、涡轮（高压、低压）发出功率计算过程如下

25、： 1） 求涡轮换算转速2） 求涡轮的增压比、效率和换算流量 附录4分别给出了高压涡轮、低压涡轮的特性数据。利用线性插值法【5】出涡轮的换算转速为、压比函数值为（、）时的特性图上的增压比、效率和换算流量。 将所求的特性图上的增压比、效率和换算流量代入（8）修正后得到涡轮的增压比、效率和换算流量。3）根据涡轮换算流量计算涡轮流量： （11）4）涡轮出口总压;5）涡轮出口总温根据下面公式（12）求出 （12） 6）求涡轮进口焓7）求涡轮出口焓；8）涡轮功和功率： （13）3、低压轴功率平衡方程1）由式（10）知，在其他参数量已知的情况下，风扇的消耗功率由发动机参数表中风扇压比函数值确定，故风扇的消

26、耗功率表示为2）由式（13）知，已知高压涡轮出口总压、总温时，低压涡轮发出功率由低压涡轮压比函数值确定，但是高压涡轮出口总压、总温由发动机参数表中确定，故低压涡轮发出功率表示为3）低压轴功率平衡方程可由如下非线性方程表示-0.99=0 （14）4、高压轴功率平衡方程1）由式（10）知，已知风扇出口总压、总温时，CDFS的消耗功率由CDFS压比函数值与物理转速确定，但是风扇出口总压、总温由发动机参数表中确定，故CDFS的消耗功率表示为2）由式（10）知，已知CDFS出口总压、总温时，高压压气机的消耗功率由高压压气机压比函数值与物理转速确定，但是CDFS出口总压、总温由发动机参数表中确定，故高压压

27、气机的消耗功率表示为3）由式（13）知，已知主燃料室出口总压、总温时，高压涡轮发出功率由高压涡轮压比函数值与物理转速确定，但是主燃料室出口总压由发动机参数表中确定，故高压涡轮发出功率表示为4）高压轴功率平衡方程可由如下非线性方程表示 （15）5.2.2涡轮（高压、低压）进口截面流量平衡方程1、涡轮（高压、低压）进口截面流量1)高压涡轮进口截面气体流量，即主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量根据公式求出主燃烧室出口油气比燃油流量，其中为高压压气机出口流量根据=，求出2)低压涡轮进口截面流量，即高压涡轮流量，可由主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量计算得到，忽略冷却空气流量，由主燃烧室出口气体流量得到

28、2、涡轮（高压、低压）流量1)结合式（11），通过高压涡轮特性数据线性插值得到的高压涡轮流量，这里忽略冷却的空气流量。2) 结合式（11），通过低压涡轮特性数据线性插值得到的低压涡轮流量，这里忽略冷却的空气流量。3、高压涡轮进口截面流量平衡方程1) 已知高压压气机出口总压、总温时，主燃烧室出口气体流量由主燃烧室出口温度确定，但是高压压气机出口总压、总温由发动机参数表中确定，故主燃烧室出口气体流量表示为2) 结合式（11），通过高压涡轮特性数据线性插值得到的高压涡轮流量，但是高压涡轮流量由发动机参数表中确定，故高压涡轮流量表示为 3）高压涡轮进口截面流量平衡方程可由如下非线性方程表示-=0 （1

29、6）4、低压涡轮进口截面流量平衡方程1) 低压涡轮进口截面流量，即高压涡轮流量，可由主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量计算得到，忽略冷却空气流量，由主燃烧室出口气体流量得到，故低压涡轮进口截面流量表示为3)结合式（11），通过低压涡轮特性数据线性插值得到的低压涡轮流量，但是低压涡轮流量由发动机参数表中确定，故低压涡轮流量表示为4）低压涡轮进口截面流量平衡方程可由如下非线性方程表示-=0 （17）5.2.3后混合器静压平衡方程1、内涵道静压1）内涵气流根据流量公式求出和2）计算内涵静压2、外涵道静压1）外涵气流根据流量公式求出和2）计算外涵静压3、后混合器静压平衡方程1)发动机经过内涵道时，气体

30、流量不发生变化，因此已知低压涡轮出口总压时，内涵静压与发动机参数说明中未知参数无关，但是低压涡轮出口总压由确定，故内涵静压表示为2) 发动机经过外涵道时，气体流量不发生变化，因此已知主燃烧室出口总压时，外涵静压与发动机参数说明中未知参数无关，但是主燃烧室出口总压由确定，故外涵静压表示为3）后混合器静压平衡方程可由如下非线性方程表示-=0 （18）5.2.4尾喷管面积平衡方程1、给定的尾喷管8截面的面积2、按附录1尾喷管的有关公式计算出的尾喷管8截面的面积1）由流量公式计算出假设尾喷管始终处于临界或超临界状态，即速度系数。2）在已知尾喷管进口总温、总压的情况下，尾喷管8截面的面积与发动机参数说明

31、中未知参数无关，但是经过加力燃烧室时，温度、压强与发动机参数说明中未知参数无关，故尾喷管进口总温、总压由后混合器出口总温、总压确定，但是后混合器出口总温、总压由发动机参数说明中 确定，故尾喷管8截面的面积表示为3、尾喷管面积平衡方程可由如下非线性方程表示 （19）5.2.5风扇出口流量平衡方程1、风扇出口流量由式（9）得风扇出口流量，而风扇出口流量只与发动机参数说明中风扇压比函数值有关，故风扇出口流量表示为2、副外涵道流量1）在已经给定副外涵、CDFS涵道出口面积的情况下，CDFS涵道气流根据流量公式求出和由求出CDFS涵道出口静压；由前混合器静压平衡和，求出和，为副外涵道出口总压；由流量公式

32、计算出副外涵道出口的流量=2）在已知副外涵道进口总温、总压的情况下，副外涵道出口的流量与发动机参数说明中未知参数无关，但是副外涵道进口总温、总压由CDFS涵道出口总温、总压确定，而且气体在经过CDFS涵道时，温度、压强与发动机参数说明中未知参数无关，即副外涵道出口流量由CDFS出口总温、总压确定，故副外涵道出口流量可表示为3、CDFS进口流量1）在已知风扇出口总温、总压的情况下，CDFS进口流量由CDFS物理转速、压比函数值确定，但是风扇出口总温由风扇压比函数值确定，故CDFS进口流量可表示为4、风扇出口流量平衡方程可由如下非线性方程表示 即-=0（20）5.2.6发动机平衡方程组成的非线性方

33、程组发动机各部件工作时，受方程（14）（20）7个平衡方程制约，故发动机7个平衡方程组成的非线性方程组如下：（21）5.2.7求解非线性方程组的算法非线性方程组的求解主要有两类方法：一类是传统的数值方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS法、单纯形法等。传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程（比如此题的方程就不易求导数），传统数值方法具有一定局限性。另一类方法是将原问题转化为最优化问题求解。由于在优化领域，近年来的全局优化算法如遗传算法、模拟退火算法、神经网络算法和混

34、沌算法等已经被证明具有良好的全局收敛性和较强的鲁棒性，广泛地适应于各个领域。这其中又以遗传算法的应用最为广泛和成功。由于现代优化算法通常对函数本身没有要求，不需求导，所以这种方法的适用性很广，但是精度和收敛速度通常不可兼得。1.三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。因此有必要先介绍一下这种方法。n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下: （22）式(22)中,( i=1, , n) 是定义在n 维Eucli

35、d空间Rn中开域 D上的实值函数。若用向量记号，令：, 则方程组（22）也可表示为： （23）这里F表示Rn中开域D上的非线性映射，记为FDRnRn。若存在x*D使得F(x*）=0,则x*称为方程（23）的解。若在包含x*的某邻域内,按某种近似意义,用线性函数: （24）近似地代替向量值函数F(X),此处Ak 是n 阶矩阵，bk为n维列向量。则可将线性方程组: （25）的解作为非线性方程组(23)的近似解。1.1 Newton法6如果让F在零点按泰勒公式展开到二次项，并用来近似F，就可以推出Newton法的迭代公式为： (26）其中X0为与零点较为接近的一个初值。1.2 简化Newton 法6

36、尽管Newton 法具有较高的收敛速度，但在每一步迭代中，要计算n 个函数值f，以及n2个导数值形成Jacobi矩阵，而且要求的逆阵或者解一个n 阶线性方程组，计算量很大。为了减少计算量，在上述Newton 法中对一切k=0,1,2,.,取为，于是迭代公式修改为： (27)式（26）即为简化的Newton法。该方法能使计算量大为减少，但却大大降低了收敛速度。简化的Newton 法的算法与Newton 法的算法区别就在于只由给定的初始近似值计算一次，以后在每一次迭代过程中不再计算，保持初始计算值。1.3 修正的Newton 法7吸取Newton 法收敛快与简化的Newton 法工作量省的优点，文

37、献2把m 步简化的Newton 迭代合并成一次Newton 迭代，即为下列迭代程序: (28)式中: j=1, 2, , m, k=0, 1, 2, , 该式称为修正的Newton 法。通过分析Newton 法、简化的Newton 法和修正Newton 法的原理, 并通过对算例的分析比较，我们可以知道: Newton 法(26)式具有较高的收敛速度，但计算量大，在每一步迭代中，要计算n个函数值f，以及n2个导数值f形成Jacobi 矩阵，而且要求的逆阵或者解一个n 阶线性方程组；简化的Newton 法( 27) 式，它用迭代初值X0来计算，并在每个迭代步中保持不变，它能使每步迭代过程的计算量大

38、为减少，但大大降低了收敛速度。修正Newton法(28)与Newton法(26)相比，在每步迭代过程中增加计算m个函数值，并不增加求逆次数，然而收敛速度提高了。2. 遗传算法9,11将非线性方程组(22)转化为一个全局优化问题。构造能量函数：，求解非线性方程组的问题就转化为了求能量函数最小值的问题。即给定一个充分小的实常数，搜索使得则X*即是非线性方程组(22)对应的近似解。这个优化问题可以用遗传算法进行求解。2.1 遗传算法简介9遗传算法（Genetic Algorithms，简称 GA）是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索（寻优）算法，它是模拟自然界中的生命进化机制，在人工系统中实现

39、特定目标的优化。遗传算法的实质是通过群体搜索技术，根据适者生存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。它必须做以下操作：初始群体的产生、求每一个体的适应度、根据适者生存的原则选择优良个体、被选出的优良个体两两配对，通过随机交叉其染色体的基因并随机变异某些染色体的基因后生成下一代群体，按此方法使群体逐代进化，直到满足进化终止条件。其实现方法如下：（1）根据具体问题确定可行解域，确定一种编码方法，能用数值串或字符串表示可行解域的每一解。 （2）对每一解应有一个度量好坏的依据，它用一函数表示，叫做适应度函数。（3）确定进化参数群体规模M、交叉概率c p、变异概率mp、进化终止条件。 为便于计算，一

40、般来说，每一代群体的个体数目都取相等。群体规模越大、越容易找到最优解，但由于受到计算机的运算能力的限制，群体规模越大，计算所需要的时间也相应的增加。进化终止条件指的是当进化到什么时候结束，它可以设定到某一代进化结束，也可以根据找出近似最优是否满足精度要求来确定。2.2 遗传算法设计111、 编码方式本文采用的编码方式是实数编码。与传统二进制编码相比，实数编码可以方便的表示较大范围的数，并且便于与经典优化算法混合使用。鉴于实数编码的上述优越性和非线方程组求解的实际要求，在本文所设计的混合遗传算法中采用实数编码方式，这样使得算法更具有普遍性。2 、适应度计算遗传算法在运行时，是依靠适应度函数值的大

41、小来区分每个个体的优劣，并判定是否进入下一代的进化。适应度函数的选择直接影响着算法的性能。本文在算子设计时以联赛竞争算子为选择算子，该算子可以直接通过比较个体的目标函数值完成操作，因此本文的遗传算法的适应度函数直接选择为优化目标函数，即由（21）确定。3 、遗传算子遗传算子设计包括交叉算子、变异算子和选择算子的设计。（1）交叉算子算术交叉算子是实数编码遗传算法中应用最广泛的一种算子，该算子描述如下：假设在两个个体X1和X2之间进行算术交叉，则交叉运算后所产生出的两个新个体为 （29）其中是在0,1区间内的参数，它可以是一个常数，也可以是由进化所决定的变量，为避免生成的两个新个体相同，本文选择为

42、1/3。(2) 变异算子传统的实数编码遗传算法的收敛速度慢、容易产生早熟现象，在很大程度上是由于变异操作在进化过程中对局部极值点的干扰效果不明显。因此构造合适的变异算子是实数编码遗传算法是否有效的关键。5中设计了一种新的随机方向变异算子，称之为确定性随机方向变异，算子描述如下：设被选中变异的个体的染色体为Xk，随机产生一个扰动方向pk，整个变异操作的过程是以Xk为起点，沿方向pk寻求最优点作为新的染色体，即完成如下一维搜索运算： (30)可以用黄金分割方法搜索得到最优步长，则变异后个体的新染色体为 (31)(3) 选择算子设计传统的标准选择算子一方面要求适应度函数大于零，给适应度函数的选择带来

43、了一定的困难；另一方面基于适应值的排序选择算子是造成算法早熟、收敛速度慢的主要原因。为避免上述问题，本文采用了既具有较高确定性和一定随机性的联赛竞争法为选择算子【11】，联赛规模取为3。由于遗传算法中有许多随机因素的影响，当前群体的最好个体可能会被破坏，影响算法的运行效率和收敛性，因此采用了最优保存策略，即当前群体中最优个体不参与交叉运算和变异运算，而是用它来替代本代群体中经过交叉、变异操作后所产生的最差个体。5.2.8有效性分析为了检验编写程序的有效性，我们运用Matlab软件对7个平衡方程所涉及的子程序进行了调试，由于篇幅限制，本文简要介绍部分调试结果如下：在考虑实际参数范围约束条件下，方

44、便与问题一比较与检验，我们对发动机部分参数设置如下：，时，算法实现过程中，关键参数数值如下：表2 风扇关键参数数值0.1.87.319510.0.335.365315.96855.3表3 CDFS关键参数数值0.2.287.06050.1.370.46212.97367.9292表4 高压压气机关键参数数值0.6.96.236680.813947.631.39911.05301.2365.3问题三的模型建立与求解1、 发动机性能最优求解模型通过阅读文献，我们知道在超音速巡航工作点，单涵模式下变循环发动机单位推力较双涵模式高，总推力提高，但同时单位油耗增加，另外一些可调因素对发动机性能状态有至关

45、重要的影响，如风扇、压气机的、涡轮导叶角度、模式选择活门开闭、尾喷管喉道及出口面积变化等等。因此，根据发动机各部件匹配工作时的7个平衡制约方程，通过对发动机的进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件的不同参数模拟比较，对发动机性能的研究具有很大的实际意义。针对问题三中的单涵模式下变循环发动机性能最优问题，我们需要根据选定好的一部分发动机部件参数值，探讨发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优。另外，附录1中给出了计算发动机性能的三个参数的算法，由这三个参数体现出发动机性能。因此，这里可以通过分析附录1中的三个计算参数算法，通过各个部件匹配工作时的平衡制约方程来建立数学模型。考虑到我们需要以3个变量来计算三个性能优劣指标，于是我们可以通过多目标优化模型来达到解决性能最优问题。1）确定目标函数：我们以飞行高度，飞行马赫数的超音速巡航点发动机为研究对象，选取单位推力和耗油率目标函数。以下面几个关系式建立模型：2）选取变量：这里我们选取的变量是发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量。3）计