典型例题：用放缩法证明不等式(新、选)

1、用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的 度”否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可 以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. 添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加 上同一个正数则分式值变大，禾I用这些性质，可达到证题目的。 b3 = a 2所以 a2 ab b2b2 be c 心 ac a2 3

2、（a b c）二. 分式放缩 b2，求证1J，七 ，所以b c a b c a c a b c a b a b c氏+七+走 話匕+詔匕+話二=1，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则抚-。3证明：由题设得 a2 + ab+ b2= a+ b，于是（a+ b） 2a2 + ab+ b2= a+ b，又 a+ b0，得 a+ b 1，又 abv 4 （a+ b） 2，而（a+ b） 2 = a+ b+ abva+ b+ 4 （a+ b） 2，即 4 （a+ b） 2 | （a b c）证明：因为电ab b21（a 2 ）2扌b2 J （a号）a b a号，同理为真分数，则-O- v 竽，同理

3、一v 2b ， 电v李一，b c a b cac abc ab abc故b十出十缶v启十a综合得1v + L + _b c a c a三. 裂项放缩word.若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n N*，求11v 2、. n。、.n1.3证明：因为,2 2 1)2 (、n . n 1)2. n1 v 2. n，证毕。例5.已知nN且an.1 2、.2 3.n(n 1)，求证:n(n 1)a2呼对所有正整数都成立。证明：因为n(n 1)n2 n，所以an又 .n(n 1)叮n(n 1)32 22n呼，综合知结论成立。利用已知的公式或恒不等式，把欲证

4、不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数f (x)，证明：对于2 1n N且n 3都有f (n)证明：由题意知nn 21 nf(n)n 121 n 1(11n 1)丄2n (2nn 1)又因为n Nn 121 (n 1)(21)n 3，所以只须证2n 2n 1，又因为2n (1 1)n CnCn1Cn2n1 n , n(n 1)Cn Cn 1 n2n 1 2n 1 所以 f(n)例 7.已知 f (x).1 x2,求证：当a b时f (a) f (b)证明：f (a)f (b)1 a21 b2a2b21 a2a b|a b1 a21 b2a ba ba lb(ab|)a ba ba b证毕

5、。对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。1例8.已知a b c,求证寸丄丄0。b c c a证明：因为a b c，所以可设a c t , b c u(t0)，所以t u丄丄丄丄丄1丄1 0,即丄abbccatuutut tua b例9.已知a, b, cABC的三条边，且有a2 b2 c2，当n N*且n3时,求证:证明：由于a2 b2 c2，可设a=csina, b=ccosa (a为锐角)，因为0sinacosa 1，贝U当 n 3时，sinn a sin2 a , cosn acos2 a ,所以 an bn cn(sinna cosn a) cn(sin2 a cos2 a)cn。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a, b R,求证ab|a1a b| 1al1bb。证明：构造函数f(x)七(x 0)，首先判断其单调性,X1 X2 ,因为f(X1) f(X2)X1X 2X1 x21 X11 X 2(1 x1)(1 x2)0，所以f X1f X2 ,所以f(x)在0,上是增函数，取X1X2b，显然满足0 X1X2 ,所以 f(a b) f(|a| |b|),即 |a b| |a|b|