高等数学 期末卷

1、一。偏导数的几何应用1、07曲线在点的切线方程为.2.07（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为3.2006已知直线和平面则（ B ） A、在内 B、与平行，但不在内 C、与垂直 D、不与垂直，不与平行4.2006曲面在点处的法线方程是5. 2006（化工类做） 已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为二。多元函数 5.2009 6.2009 7.2009 设，其中函数具有二阶连

2、续偏导数，求。解：8.2009 求函数在圆域的最大值和最小值。解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点当时，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为，最小值为。方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。9.2009 （化工类做） 求由方程组所确定的及的导数及。10.2009 （化工类做） 求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？11、2008 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要

3、）12、2008 设有连续偏导数，则13、2008（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。显然时成立，故切平面均过。证毕14、2008（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为15、2008 设，求解：两边取微分，得从而，16、2008 设，则它有极小值17、2008 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。解：令则，从而再由即约束条件，可得，从而由问题的

4、实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。18、2007 设，则19、2007 已知，则 0 20、2007 函数在点处沿从点到点方向的方向导数是21、 2007设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：22、2007（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续解：由定义同理由于从而函数在原点处可微。当由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。23、2007（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求解：对方程两边取微分得即24、2007求在约束条件下的最大值和最小值解：令则由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为25.2006 若在点处可微，则下列结论错误的是（ B ）A、在点处

5、连续B、在点处连续C、在点处存在D、曲面在点处有切平面26.2006 二重极限值为（ D ）A、0 B、1 C、 D、不存在27.2006 ，则28.2006 函数在点沿方向的方向导数为29. 2006 设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。30. 2006 设，具有连续二阶偏导数，求解： ，31. 2006 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为化成截距式方程此切平面与坐标面围成四

6、面体的体积为。（下面我们去掉下标0）要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点 得由此得，所以当时，有最小体积，最小体积为。切点坐标为。三。二重积分1. 2009 交换二次积分的积分次序： 。2.2009 求锥面被柱面割下部分曲面面积。解：3. 2009（化工类做） 计算二重积分，其中为圆域。4、2008 交换二次积分的积分次序5、2008 求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：上半球面的部分为6、2007 计算二重积分.是由所围成的闭区域解：作图知7.2006 交换积分次序后，8. 2006 计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：原式四。

7、三重积分1.2010 计算三重积分 2.2009 计算。解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则 原式3、2008 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域解：由对称性从而4、2007 计算三重积分，其中.由所确定解：由交线（舍去）于是投影区域为，柱坐标下为5. 2006 计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。解：方法一：利用柱面坐标计算,原式方法二、截片法,原式五。曲线积分3.2010计算 4.2010 (化工类做)计算 5. 2009 6.2009 计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方

8、程为由格林公式有 7、2008 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关取路径，8、2007 设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分9、2007设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分. 10.2006 曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于11. 2006 计算，其中为从点沿椭圆到点的一段。解：原式12. 2006 设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。解：，由得，所以六。曲面积分1.2010 计算2.2010 计算曲面积分 3. 2009 向量场的散度为。4.2009 计算曲面积分，其中是半球面的上则。解：

9、设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式 5、2008 向量场的散度为.向量场的旋度为.6、2008 设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ，7、2008计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧解：取上侧则原式8、2007 计算，其中为半球的上侧解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式原式（用对称性可以简化计算）9、2007 计算，其中为抛物面解：，投影区域为由对称性，原式10.2006已知曲面的方程为，则（ B ） A、 B、 C、1 D、分析：11. 2006计算，其中为旋转抛物面的上侧。解：方法一、利用两类曲面积分的联系对应侧的法向量为原式= 方法二、利用

10、高斯公式，补充曲面并取下侧原式七。微分方程 4.2010 (化工类做)求微分方程 5.2010 (化工类做) 6.2009 求如下初值问题的解 解：此为可降阶微分方程第三种类型。设，则，原方程化为 变量分离两边积分得 由可得 解可得， 由可得所求解为：。7.2009 求方程的通解。解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得 原方程通解为8、2008 求微分方程的通解解：，9、2008 计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得即，这是标准的一阶线性微分方程原方程令得，代入通解得，从而10、 2008（化工类做）求解初值问题解：方程对

11、应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为从而，由初值条件可得。因此11、2007 求微分方程的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程由公式12、2007 设具有二阶连续导数，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。解：由全微分方程的条件知有特解有形式，代入原方程得从而通解由初值条件因此原方程即为即132006 用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（ B ） A、 B、 C、 D、14. 2006 设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。解：因为，原方程为这是一个一阶线性微分方程，其通解为八。级数1.2010 (非化工类做) 2.2010 (非化工类做) 3.2010 (非化工类做) 4.2009 （非化工类做） 证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。5.2009 （非化工类做） 将函数展成余弦级数。6.2009 （非化工类做） 求幂级数