科学和工程计算复习题201

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.科学和工程计算基础复习题、 填空题 :评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准: 计算结果的和得到结果需要付出的 .计算机计费的主要 依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由 决定 ;二是占据存储器的空间 ,主要由决定.用计算机进行数值计算时 ,所有的函数都必须转化成.对于某个算法 ,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制, 则称该算法是, 否则是.函数求值问题 y f x 的条件数定义为 :单调减且有 的数列一定存在极限 ; 单调增且有 的数列一定存 在极限 .方程实根的存在唯一性定理 :设且,则至少存在一点

2、a,b使 f0.当 f x 在 a,b 上时,方程在 a,b 内有唯一的实根 函数 f x,y 在有界闭区域 D 上对 y 满足 Lipschitz 条件 ,是指对于 D 上的任意一对点x,y1 和 x,y2 成 立 不 等 式 : . 其 中 常 数 L .设A Rnn, i,i 1,2, , n为其特征值 ,则称为矩阵 A的谱半径 .设A 1存在,则称数为矩阵 A的条件数,其中 是矩阵的算子范数 .方程组 x Bx f ,对于任意的初始向量 x 0 和右端项 f , 迭代法 x k 1 Bx k f 收 敛的充分必要条件是选代矩阵 B 的 .设被插函数 f x 在闭区间 a,b 上n阶导数

3、连续 , f n1 x 在开区间 a,b 上存在 .若nxi in 0 为 a,b 上的 n 1 个互异插值节点 ,并记 n 1 x x xi ,则插值多项式 i0Ln xk0f xk x xkn1nx1 xk的余项为,其中.,则称 k x kn 0 为正交函若函数组 k x kn 0 C a,b 满足数序列 .14. 复化梯形求积公式,其余项为15. 复化 Simpson 求积公式,其余项为16. 选 互 异 节 点 x0,x1, ,xn 为 Gauss 点 , 则 Gauss 型 求 积 公 式 的 代 数 精 度 为.17. 如果给定方法的局部截断误差是Tn1 O hp1 ,其中 p 1

4、为整数,则称该方法 是.18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响,给数值计算造成很大的实质性困难的现象 .19. 迭代序列 xk k 0 a,b 终止 准则通 常采 用,其 中的0为.20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组 (牛顿方程 )的系数矩阵 .二、选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组 Ax b,A aij的nn充分条件 ? ( )A. 矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零 ; B. A对称正定 ;C. A严格对角占优 ; D. A 的行列式不为零 .2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的B.2

5、 3 1 3 3 3n ; C. n ; D. n .13A. n ;33. 对于任意的初始向是x 0和右端项 f ,求解线性代数方程组的迭代法xk1 Bxk f 收3 4 4敛的充分必要条件是 ( ).A. B 1;B. B 1;C. det B 0;D. B 严格对角占优4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组 Ax b, A aij的 Gauss-Seidel迭代法收nn敛的充分条件 ? ()A. A为严格对角占优阵 ; B. A 为不可约弱对角占优阵 ;C. A的行列式不为零 ; D. A 为对称正定阵 .5. 设 fx C2 a,b， 并 记 M 2maxf x ， 则 函数 f

6、x 的 过 点a, fa , ,bf的线b性插值余项R1x, x a,b 满足 ( ).A. R1 xM 2 b a ; B. R1 x M 2 b a ;886.7.8.C. R1 xM26设 n x 是在区间n x 的 n 个根 (A. 都是单实根 ;Legendre 多项式是2ba;D.M 2 2R1 x62 b a .a,b 上带权 x 的首项系数非零的 n 次正交多项式 n 1 , 则).B.(A. 区间 1,1 上带权都是正根 ; C. 有非负的根 ; D. 存在重根 ) 的正交多项式 .(1x 11 xB. 区间 1,1 上带权 x 1;C. 区间 , 上带权 x e x离散数据

7、的曲线拟合的线性最小二乘法的A. 基函数 k x kB.D. 区间 0,1 上带权 x 1Gram 矩阵与 ( )无关 ?mm自变量序列 xi i 0 ;C. 权数 wi i 0 ;D.离散点的函数值 yi im 0.9. Simpson 求积公式的余项是 ().h3A. R f1h2 f, a,b ;h5B. R f9h0f 4 , a,b ;10.11.12.13.14.15.2h2 b aC. R f 12 f , a,b ;4D. R f h 9b0a f 4 , a,bn个互异节点的 Gauss 型求积公式具有 ( A. n; B. n 1;C. 2n 1;一阶导数的数值计算公式中

8、,中心差商公式的精度为 (B. O h2 ; C. o h2 ;)次代数精确度 . D. 2n 1.).D. O h3 2 .A. O h ;对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度 ( ).A. 高 ;B, 低 ;在常微分方程初值问题的数值解法中(A.).算术平均 ; B. 几何平均 ;当(A.C. 相同 ;, 梯形公式是显式C. 非等权平均 ;D. 不可比 .Euler 公式和隐式 Euler 公式的D. 和 .)时 ,求解 yy, 0 的显式 Euler 方法是绝对稳定的 .1 h 1; B. 2 h 0; C. 0 h 1; D. 2 h 2求解

9、 y y, 0 的经典 R-K 公式的绝对稳定条件是 ():A 2 h 0;B.21 h h1;C.2341 h hhh23!4!1;D.1 h 2 h 1221 h 2 h 121.( )阶的 . A. 1;B. 0;17. 在非线性方程的数值解法中A. 1;B. 0;18. 在非线性方程的数值解法中16. 在非线 性方程的数值 解法中 ,只 要x* 1, (x*x* ),那么 不管原 迭代 法xk 1xk , k 0,1,2, 是否收敛 ,由它构成的 Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是C. 2;D. 2.,Newton 迭代法的局部收敛的阶是 () 阶的 .C. 2;D. 2.,

10、离散 Newton 迭代法的局部收敛的阶是 () 阶的 .A. 1;B. 2;C.152D. 2.19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用),其中的0 为给定的相对误差容限.A.xk xk 11 xkB.xk xk 1; C.xk xk 1; D.xkxk 1xk1xk 120. 在求解非线性方程组时 ,加进阻尼项的目的 ,是使线性方程组的 ( ).A. 系数矩阵非奇异C. 系数矩阵非奇异并良态B. 系数矩阵的行列式不等于零D. 系数矩阵可逆 .三、判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题 .( )2. 用计算机进行数值计算时 ,所有的函数都必须转化成算术运算 ;

11、 在作加减法时 ,应避免接 近的两个数相减 ;在所乘除法时 ,计算结果的精度不会比原始数据的高 .( )3. 用计算机作加减法时 ,交换律和结合律成立 .( )4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。 ( )5. 设 B Rn n, 则 lim Bk 0的充要条件是 B 的谱半径 B 1.()k6. 若 A Rn n,则一定有 A 2 B .( )7. 求解线性代数方程组 ,当 n 很大时 ,Cholesky 分解法的计算量比 Gauss 消去法大约减少了 一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时, 若 Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵 ,则 Jacobi 方法和Gauss-Seid

12、el 方法同时收敛 ,或同时不收敛 ;若同时收敛 ,则 Gauss-Seidel 方法比 Jacobi 方 法收敛快 . ( )9. 均差(或差商 )与点列 xi, f xi i 0 的次序有关 . ( )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关 . ( )11. 复化梯形求积公式是 2 阶收敛的 , 复化 Simpson 求积公式是 4 阶收敛的 . ( )12. Gauss求积系数都是正的 . ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中 , 因为梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公 式的算术平均 ,而 Euler 公式和隐式 Euler 公式是一阶方法 ,所以梯

13、形公式也是一阶方法 . ( )14. 在 Runge-Kutta 法中 , 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶 . ( )15. 求解 y y, 0 的梯形公式是无条件稳定的 . ( )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中 , 不论单步法还是多步法 , 隐式公式比显式公式的 稳定性好 . ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ( )18. 在一元非线性方程的数值解法中 ,最有效的是 Steffensen迭代法和 Newton 迭代法 .前者不 需要求导数 ,但不宜推广到多元的情形 ;后者需要求导数 ,但可直接推广到多元方程组 ( )19. 常微分方程边值问题

14、的差分法 ,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组 ,求解此方程组 ,得到边值问题在节点上函数的近似值.( )20. 在求解非线性方程组时 ,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性 .( )四、线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即2 11x141 32x26122x35( 1) 列出用增广矩阵 A,b 表示的计算过程及解向量 x ；( 2) 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ； (3) 由U 计算 detA。2. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即7 11x1312 42x21

15、1 13x321) 列出用增广矩阵A,b 表示的计算过程及解向量 x ；2) 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；3) 由U 计算 det A。3. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即133 x11211 x22234 x3 24)列出用增广矩阵A,b 表示的计算过程及解向量 x ；5)列出由此得到的Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；6)由 U 计算detA。4. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即211x143 42x2113 24x3111) 列出用增广矩阵 A,b 表示的计算过程及解向量 x ；2) 列

16、出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；3) 由U 计算 det A。5. 用高斯消去法求解方程组 Ax b ，即1)列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；1234 x1214916x210182764x334411681256x41902)列出由此得到的 Doolittle 三角分解 A LU 中的三角阵 L 和 U ；3) 由U 计算 det A。6. 用高斯消去法求解方程组Ax b ，即124 1 x1212864x25231088x379412106x4821)列出用增广矩阵A,b表示的计算过程及解向量x；2)列出由此得到的Doolitt

17、le 三角分解 ALU 中的三角阵 L 和 U ；3) 由U 计算 det A。7. 用追赶法求解三对角方程组 Ax f ,其中4 1 0 1A1 4 1,f10 1 418. 用追赶法求解三对角方程组 Ax f ,其中4 1 0 1A 1 4 1 , f 301429. 用追赶法求解三对角方程组Ax f,其中2161321A,f2432351五、插值与拟合1. 已知函数 f x 的三个点 0,1 , 1,5 和 2, 1 ，写出 Lagrange 插值基函数 ,并求 2 次插值多项式 L2 x .2. 已知 f 1 0,f 1 3,f 2 4,求函数 f x 过这三点的二项 Lagrange

18、 插值 多项式 L2 x .3. 求不超过 3 次的多项式 p3 x ，使它满足插值条件：p 1 2, p 0 1, p 1 0, p 0 0.4. 求不超过 4 次的多项式 p x ，使它满足插值条件：p 0 p 0 0, p 1 p 1 1, p 2 1.5. 给定数据如下 :x11.502fx1.252.501.005.50(1) 作函数 f x 的均差表 ;(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式 N3 x .6. 求不超过 3 次的多项式 H x ，使它满足插值条件H 1 9, H 1 15, H 1 1, H 1 1.7. 己知函数 f x 的三个点处的值为：f 1 1, f 0 0

19、, f 1 1在区间 -1, 1上,求 f x 在自然边界条件下的三次样条插值多项式.8. 已知 f x 为定义在区间 0,3 上的函数 ,且有f 0 0, f 1 0.5, f 2 2.0, f 3 1.5, f 0 0.2, f 3 1. 试求区间 0,3 上满足上述条件的三次样条插值函数 .9. 己知点列和权数 xi i4 02, 1, 0, 1, 2 , wi i4 0 0.5,1,1,1,1.5 ,试用三项递推公式构造对应的正交多项式 0 x , 1 x, 2 x .10. 观察物体的直线运动 ,得出如下数据：时间 t /s0.00.91.93.03.95.0距离 s /m01030

20、5080110求运动方程 s at b,并作图 .11. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据i01234xi0.000.250.500.751.00yi0.100.350.811.091.9612. 试用二次多项式拟合下表中的离散数据i01234xi0.000.250.500.751.00yi1.00001.28401.64872.11702.718313. 用 自 己 的 语 言 叙 述 最 小 二 乘 原 理 ， 并 求 参 数 和 ， 使 积 分 值22 sin x x dx 最小 .六、数值积分和数值微分1. 求积公式1f x dx A0 f 0 A1 f 1B0 f 0已知其余项的表

21、达式为 R f kf , 0,1 ,试确定系数 A0 , A1 , B0使该求积公式具 有尽可能高的代数精确度 ,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数.2. 确定下列求积公式的待定参数 ,使该求积公式的代数精确度尽量高 ,并指出其代数精 确度的次数 .111(1) 1 f x dx A0 fA1f x1 A2 f122h(2) h f x dx A0 f h A1f 0 A2 f h1(3) 0 f x dx A0 f 0 A1f 1 A2f 03. 确定下列求积公式的待定参数 , 使该求积公式的代数精确度尽量高 , 指出其代数精 确度的次数 , 并求出余项中的常数 k .1(1) f x dx A0 f 0 A1f 1 A2 f 1 kf , 0,11(2) 1f x dx A0 f 1 A1f x1 kf , 1,14. 给定数据表 :x1.82.02.22.42.6fx3.120144.425696.042418.0301410.466752.6 分别用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算 f x dx 的近似值 .5. 分