神奇的旋转几何题

1、神奇的旋转几何题例 1有公共顶点 C的 ABC和 CDE都是等边三角形（ 1）求证： AD=BE；（ 2）如果将 CDE绕点 C沿顺时针方向旋转一个任意角， AD=BE还成立吗？推广：四边形 ABDE和 ACFG都是正方形，连结 EC,BG， 如果将 ABDE绕点 A 旋转一个任意角，问 EC与 BG有何关系 .例 2. 课本例题推广：（ 1）如图，在四边形 ABCD中， ABAD， BAD= BCD=90 ，且四边形 ABCD的面积 36，求线段 BC与 CD 的和.（2）已知：在五边形 ABCDE中， ABAE，BCDECD， ABC AED180求证： AD是 CDE的平分线3）如图，在

2、梯形BECABCD中， AD90，BCCDC45若 AE例 3已知 E、F 分别 在正方形 ABCD边 AB和 BC 上， AB=1， B F C MEDF=45. 求BEF的周长 .例 4. 已知：在 ACB中， ACB 90， ACBC，D、E 在 AB边上，且使得 DCE45求证： AD、DE、EB三 条线段确定的数量关系练习：1 在 ABC 中， AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=2，CE=3.A求 DE的长 .拓展：如图，在等腰三角形 ABC中， AB=AC，3）若 P 为正方形 ABCD内一点，PAPBPC=123试证 APB=135A（ 1）P是三角形内的一点，

3、 且 APB= APC求证：PB=PC （2）D 是三角形内一点，若 ADB ADC求证 DBC DCBAD2（正方形中的三角形旋转）已知：如图， E 是正方形 ABCD边 BC上任意一点， AF平分 EAD交 CD于 F，试说 明 BE+DF=AE.拓展：已知：在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD上 的点，（1）如图（ 1），若有 BE+DF=E，F 求： EAF的度数 .（2）如图（ 2），若有 EAF =45o. 求证： BE+DF=EF.（3）如图（ 3），若 EAF=45o，AHEF求证： AH=AB（4）如图（ 4），若正方形 ABCD边长为 1， CEF的周 长为 2

4、求 EAF的大小（5）如图（ 5），若 AB= 3 ，且 BAE=30o， DAF=15o， 求 AEF的面积6)如图( 6)，正方形 ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成 4 个小矩形，P是 EF与 GH的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE面积的 2 倍试确定 HAF的大小，写出推导的过程ADB E C2)ADB E C4)5)1)3)练习：(答案)1在ABC中，AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=2，CE=3 .求 DE的长.拓展：如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC，1) P是三角形内的一点， 且 APB= APC求证：PB=PC2) D 是三

5、角形内一点，若 ADB ADC求证 DBC DCBA分析 : 将 ABC以 A 为中心逆时针旋转一角度BAC，到 ACE的位置连 DE，由 ADBADC，得 AEC ADC又 ADE=AED，相减，得 DEC EDC CD CE即 CDBD，从而 DBC DCB拓展（ 3）若 P为正方形 ABCD内一点， PAPBPC=123试证 APB=135E分析 : 利用正方形的特点设法经过旋转使 AP、PB、 PC相对集中， 为简单起见不妨设 PA=1， PB=2，PC=3绕 B 点顺时针旋转 90o，使 CBP到 ABE的位置，这时BE=2， AE=3， PBE=90o PE=2 2 ， BPE=4

6、5o . 又AP2 PE2 1 8 9 AE 2 APE=90于是 APB=135拓展（ 4）在等边三角形内有一点 P连接 P与各顶点的 三条线段的长为 3、4、5. 求正三角形的边长 . （答案： 2513 3P A BA B P 分析: 将 CPB旋转到 APB，连 接 PP，延长 BP，过 A作 ADBD.易知 APP是直角 三角形，因为 BPP =60o，所以 APD=30o，则 AD=2， DP=2 3.旋转讲解 2例 1：（05 大连） 如图 1，操作：把正方形 CGEF的对角 线 CE放在正方形 ABCD的边 BC的延长线上（ CG BC）， 取线段 AE的中点 M（1）探究：线

7、段 MD、MF的关系， 并加以证明（ 2）在你经历说明（ 1）的过程后，可以从下列、 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明DM的延长线交 CE于点 N，且 AD=NE；将正方形 CGEF绕点 C逆时针旋转 45（如图 2），其他条件不变； 在的条件下，且 CE=2AD（3）将正方形 CGEF绕点 C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变探究：线段 MD、MF 的关系，并加 以证明E练：1.（08 北京）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD和菱形 BEFG中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF的中点，连结 PG、PC.若 ABC BEF60，探究 PG与图 1PC

8、的位置关系及 PPCG 的值.小聪同学的思路是：延长 GP 交DC于点 H ，构造全等三角形， 经过推 理使问题得到解决 .请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与 PC的位置关系及 PPGC 的PC 值；（2）将图 1中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直 线上，原问题中的其他条件不变（如图 2），你在（ 1） 中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加 以证明；（3）若图 1 中 ABC BEF 2 （0 90），将 菱形 BEFG绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其 他条件不

9、变， 请你直接写出 PPCG的值（用含 的式子表示）例 2. 在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 y 33x 23333 交 x 轴于点 C, 交 y 轴于点 A. 等腰直角三角板 OBD的顶 点 D与点 C重合，如图 1 所示. 把三角板绕着点 O顺时 针旋转，旋转角度为 （0180 ） ，使 B 点恰好落在 AC上的 B处，如图 2 所示.（1）求图 1 中的点 B 的坐标；（ 2） 求 的值；（ 3） 若二次函数 yMx23x 的图象经过（ 1）中的点 B，判断点 B是否在这条抛物线上，并说明理由 .图 1 图 2练： 1.如图 9，若 ABC 和ADE 为等边三角形， M， N 分别

10、 EB，CD 的中点，易证： CD=BE ， AMN 是等 边三角形（ 1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（ 2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时， ADE 与ABC 及AMN 的面积之比； 若不是，请说明理由2. 已知正方形 ABCD中， E为对角线 BD上一点，过 E点 作 EF BD交 BC于 F，连接 DF，G为 DF中点，连接 EG， CG（ 1）求证： EG=CG；（ 2）将图中 BEF绕 B点逆时针旋转 45o，如图所

11、 示，取 DF中点 G，连接 EG，CG问（ 1）中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理 由（3）将图中 BEF绕 B点旋转任意角度， 如图所示， 再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？ 通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（答案）练： 1.（08 北京）请阅读 下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD和菱形 BEFG中，点 A、B、E 在同一条直线 上，P 是线段 DF的中点，连结 PG、PC. 若 ABC BEF60，探究 PG与 PC的位置关系及 PPCG 的值.小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC于点 H ，构造全等三角形， 经过推 理使

12、问题得到解决请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与 PC的位置关系及 PPGC 的PC 值；（2）将图 1 中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转， 使菱形 BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2），你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加 以证明；（3）若图 1 中 ABC BEF 2 （0 90），将 菱形 BEFG绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其 他条件不变， 请你直接写出 PPCG的值（用含 的式子表示）【解答】（1）线段 PG与 PC的位置关系是 PGPC； P

13、PCG 3 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化 证明：如图，延长 GP交 AD于点 H，连结 CH、CG中点，ADFGDF 的P 是线段 FP = DP由题意可知 GFP= HDP GPF= HPD ， GFP HDP GP=HP， GF=HD 四边形 ABCD是菱形， CD =CB， HDC ABC60 由ABC BEF 60 ，且 菱形 BEFG的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上， 可得 GBC60HDC= GBC 四边形 BEFG是菱形， GF=GB HD=GB HDC GBC CH=CG， DCH BCG DCH HCB BCG+ HCB=120即 HCG

14、 120 CH= CG， PH=PG， PGPC， GCP HCP=60 PG 3 PC 3 （3） PPCG tan（90 ） 6.（2007 海淀二模）在平面直角坐标系 xOy中，已 知直线 y 33x233交 x 轴于点 C, 交 y轴于点 A.等腰 33直角三角板 OBD的顶点 D与点 C重合，如图 1 所示.把 三角板绕着点 O顺时针旋转，旋转角度为 （0180 ），使 B点恰好落在 AC上的 B处，如图 2 所示 .（4）求图 1 中的点 B 的坐标；（ 5） 求 的值；（ 6） 若二次函数 yMx23x 的图象经过（ 1）中的点 B，判断点 B是否在这条抛物线上，并说明理由 .图

15、1解：（1）直线 y- 33 x 233 交 x 轴于点 C, 交 y 轴于点33A，点 A的坐标为（， 233 ），点 C的坐标为（ 2，0）.3等腰直角三角板 OBD的顶点 D与点 C重合， OD=，BOD 45 . 过点 B作 BMOC于 M. OM= 12 OD 1. BM=1，OB= 2 . 点 B的坐标为（，） ；（ 2） OA= 2 3 ，OC=2， AOC 90 ， ACO=30 . 过点 O 3作 OE AC于 E. OE=1.在 RtBEO中， OB= 2 ，OE=1， BOE=45. EOD=90. 又 EOC=60 ， COD=30. =30 ；（ 3）判断：点 B在这

16、条抛物线上 . 点 B 在直线 AC上，点 B的坐标为（ A，- 33 A 233 ）. A233（- 3 A 2 3 ）2 OB2，A2（- 3 A 2 3 ）2（ 2 ） 3 3 3 32. 解方程，得 A1 1 2 3 ，A2 1 2 3 （不合题意，舍去） . 点 B的坐标为（ 1 2 3 ， 32 1）. 又二次函数 yMx2 3x 过（，）， M . 二次函数的解析式为 y-2x23x. 把 x=1 2 3 代入 y-2x23x，得 y= 32 1. 点 在这条抛物线上 .20、（2009 年常德市）如图 9，若ABC和ADE 为等边三角形， M，N 分别 EB，CD 的中点，易证

17、： CD=BE ，AMN 是等边三角 形（1）当把 ADE绕A 点旋转到图 10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （ 2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE 与ABC 及AMN 的面积之比； 若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解，解。EBE 为对F角 线C BDB 图G图C2）能证得 AAD C 与 DA EAB 是直角三D 角形， 再 用勾股定理和相似三角形的性 21、（2009 东营） 已知正方形 ABCD 中，点，过 E 点作 EFBD交 BC于 F，连接 DF，G为 DF中点，连接 EG，CG（ 1）求证： EG=CG；（ 2）