离散型随机变量介绍

1、离散型随机变量介绍 研究一个离散型随机变量不仅要知道它可能取值而且要知道它取每一个可能值的 概率. 一.概率分布： 设离散型随机变量X的可能取值是有限个或可数个值，设X的可能取值： Xi，X2 丄,Xn 丄 为了完全描述随机变量 X，只知道x的可能取值是很不够的，还必须知道X取各 种值的概率，也就是说要知道下列一串概率的值： P Xx1 , P X x2 , L , P X xk ,L 记 pkP X xk（k 1,2丄），将x的可能取值及相应的既率成下 表 X XiX2X3 LxkL P PiP2P3LPk L 这个表称为X的概率分布表。它清楚地表示出X的取值的概率分布情况.为简 单起见，随

2、机变量X的概率分布情况也可以用一系列等式 PkP Xxk（k 1,2丄）（衣） （*）称为x的概率分布或分布律。 例如：上节【例1】X的概率分布表是 X 0 1 p 0.5 0.5 X的概率分布是 Pk P X k 0.5 （k 0,1） 上节【例2】X的概率分布表是 X 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 X的概率分布是 Po P X 0 0.1 P1 P X 1 0.6 P2 P X 2 0.3 【例1】某射手每次射击打中目标的概率都是p (0 p 1),现他连续向一目标射击，直 到第一 布解： 次击中目标为止，记X = “射击次数”，则X是一个随机变量，求 X的概率分 X的可能取值的

3、可能取值是一切自然数，即 X=k (k 1,2,L ), 且P(X k) k 1 pq (k 1,2丄)，其中q 1 p, 且X的概率分布表如下: X 1 23 Lk L p p 2k 1 pq pq l pq L 2.性质: 任何一个离散型随机变量的概率分布一定满足性质, 1*i = lt 2, =丄 利用随机变量及其分布律，我们可求各种随机事件发生的概率。 【例2】袋中有5个球，分别编号1, 2,3,4, 5.从其中任取 3个球，求取出的3 个球中最大号码的概率函数和概率分布表. 解：设 X =“取出的3个球中的最大号码” 贝U X的可能取值：3, 4, 5, 由古典概型知： P(X 3)

4、 C53 1 =0。1 , 10 P(X 4) 3 =0。3 10 = 1 - P(X = 3) - /*(X = 4)= 1 - =0 。6 X的概率分布为 _X 345 p 0.10.30.6 1 几个常用的离散型分布： 1.两点分布： 如果随机变量 X的分布(概率)为: P(Xa) p (0 p 1) P(Xb) q 1 p 则称X服从两点分布(p为参数)，特别地，当a 1, b 0时，则称X服从“ 0 1 分布，即 P(X1)p(0p1) P(X0)q1p “0 1”分布也常称为贝努利分布 布。 例如：上节【例1】中，X服从“ 01” 分 95件是正品，5件是次品，现在随机地抽取一件,

5、 【例3】有100件产品，其中有 假设抽到每一件的机会都相同，则抽得正品的概率=0 95,而抽得次品的概率=0.05 X如下: 现定义随机变量 1 , 0, P(X P(X 1)0.95 0)0.05 X服从“ 0 2.二项分布： 设随机变量 1” 分布。 X的可能取值为 n, P(X k) k k n Cn p q (k 0,1,2丄，n) (0 p 1, q 1 p), 则称X服从参数为n, p的二项分布， 记作XP). 可验证： 22卩* =灯=%切八* = 3 + 9)”= 1=1- 址 q “ - U 特别地，当n =1时的二项分布就是两点分布。 二项分布在讨论贝努里试验时很有用。贝

6、努里试验是一种很重要且应用很广泛的数学 模型。 【例3】保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概串 设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人一年内死亡的概率为 0. 005个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数X不超过10人的概 率. 解：对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次贝努里试验，1000人就是做1000 重贝努里试验，因此，X : B(1000, 0.005)，所求概率为 10 kk1000 k P(X 10)C1000 (0.005) (1 0.005)0.986 0 注意：从例中可以看到*要直接计算量大，可用泊松定理作近似计算. A np 1000 x0*005 = 5,： 若记P严曽5* , 则 ?0 = O.006738f Pl = 0.033690, p讦0.084224 p3 = 0-140374, p4 = 0.175467,=1754S7, p6 = O. 145223, p7 = 0,1M445,如二0.065278, = 0.036266, Pjq = 00 朋豊、欢常数的值. 囲拘刀卩住=權 =1所以有 ! 0 由此得 所以 3.几何分布: 若随机变量X服从几何分布，即其分布列为 PX = A = (1 -p)i*=-ip (A = l,2t