剖析错因前车可鉴

1、剖析错因 前车可鉴初学勾股定理时， 常易犯各种各样的错误 .下面选择几 例，供大家参考和反思，让同学们在今后的学习中不犯或少 犯这类错误 .一、思路僵化不变通例1等腰三角形ABC中，AB=AC=20底边BC=24,求 AB 边上的高 CH.【错误解答】因为 CH是三角形的高线，在 RtA ACH和 RtA BCH 中，由勾股定理得： AC2-AH2=CH2 BC2-BH2=CH2 于是有202-AH2=CH2, 242-BH2=CH2,到此无法得出 CH的长.【错误剖析】借助图形，在两个三角形中用勾股定理是 正确的，但是最后为什么没有办法得出答案，是因为 AH 和 BH 的长都不知道，未知量太

2、多 .既然有两个未知量，那么能 否找到它们之间的关系呢？【正确解答】方法一：设 BH=x，那么AH=20-x，以CH2 为桥梁，可得方程 202-（20-x）2=CH2，242-x2=CH2，202-（20-x）2=242-x2， x=14.4.方法二：根据三角形的高线联想到三角形的面积，先作 底边上的高，由勾股定理求出底边的高线长，得到三角形的 面积，再根据等积法，求出 CH 的长度 .如图2，过A点作AD垂直BC于D点，因为 AB=AC，所以 BD=DC=12，在Rt ADC中，根据勾股定理得，AC2=CD2+AD2，202=122+AD2，所以 AD=16.所以 CH=19.2.【点评】

3、题目有多个未知量时，要准确设出未知数，根 据它们之间的数量关系，表示出其他的量，然后根据题目中 的等量关系列方程 .需要开阔思路，灵活转化 .二、漏用逆定理例2 如图3,在C港有甲、乙两艘渔船，甲船沿北偏 东 60 方向以每小时 8 海里的速度航行， 乙船沿南偏东以每 小时 15海里的速度航行， 2小时后， 甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，求乙船航行的方向 .【错误解答】由题意可知，甲船航行距离 16 海里，乙 船航行距离30海里，根据勾股定理可以求出MP=34，所以 MCP是直角三角形，/ MCP=90。，得到乙船沿南偏东 30 的方向航行 .【错误剖析】这道题的答案是

4、正确的，但是解题过程是 错误的， 因为运用勾股定理的前提是直角三角形.对勾股定理概念理解不深刻， 而忽视对三角形的形状进行判定 .当题目没 有指明直角三角形时，需要先根据三边的数量关系，运用勾 股定理的逆定理判断三角形的形状 .【正确解答】由题意得：CM=2X 8=16 （海里）,CP=2X 15=30 （海里），在 CMP 中，CM2=162=256 ,CP2=302=900， PM2=342=1156， PM2=CM2+CP2. CMP是直角三角形，/ MCP=90,180 -90 -60 =30，乙船沿南偏东30的方向航行.【点评】数学基础知识的学习包括概念学习、定理公式 的学习以及解题

5、学习三个方面 .学习数学概念， 要善于抓住它 的本质属性，学习定理公式要抓住定理的内在联系、定理的 适用范围及类型，学习数学解题的实质就是在熟练掌握概念与定理公式的基础上学会解决矛盾三、割补不当例3 如图4,已知在四边形 ABCD中，/B=Z D=90,AB=2, CD=1.Z A：/ C=1 : 2,求 BC 和 AD 的长.【错误解答】分析题意找到/ B=/ D=90,联想到勾股 定理，连接AC，分别使用勾股定理，发现应用勾股定理缺少 一条边,并且,条件中两个角的比值无法使用,至此无法解 决这个问题,陷入死胡同 .【错误剖析】根据两个直角把四边形用割的方法分成两 个直角三角形,但是不能充分

6、运用条件/ A：/ C=1： 2,所 以分割不恰当,那怎么办呢？不妨用“补”的方法 .【正确解答】根据四边形的内角和公式和/ A：/ C=1：2,我们可以得出/ A=60,/ C=120,要用特殊角就要放 入三角形中，从而想到延长 AD, BC交于点M，如图5,分 别使用“直角三角形中, 30角所对的边是斜边的一半” , 用两个直角三角形边的关系求出BC AD的长.【点评】割补法相当于我们的加减法,要灵活运用,不 要生搬硬套,才能巧妙解题 .四、思维定势致漏解例4 已知在 ABC中，AB>AC, AD是中线，AE是高 .求证： AB2-AC2=2BC?DE.【错误解答】如图 6，AE 是三角形的高线，由此想到存 在三个直角三角形，利用勾股定理表示出两边的平方，再用 平方差公式就可以得到结论 .【错误剖析】由于题设中没明确指出厶ABC的形状，也没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形、直角 三角形或钝角三角形 .所以高线 AE 既可以在三角形内（如图 6），也可以在三角形外（如图 7），还可以与一边重合（如图 8）.这三种情况都要考虑 .而这里只证明了其中的一