第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系

1、 第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 （一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性（三）厄密算符本征函数的正交性 （四）实例（四）实例 3.5 3.5 厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与本征函数 定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。 证：证： FdF * *) (Fd * * Fd *F 逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。 根据假定在任意态

2、下有：根据假定在任意态下有：证：证： *) ( * * FdFd FF即即 取取=1 1+c+c2 2 ，其中 ，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数， 也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。 )( *)( * 2121 cFcdFd式左式左 *) (Fd式右式右 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 2112 22 2 11 * * *| * FdcFdc FdcFd *) ( 2121 ccFd 2112 22 2 11 *) (*) (* *) (|*) ( FdcFdc FdcFd （一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均

3、值 因为对任因为对任 意波函数意波函数*FF 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 211222 2 11 * * *| * FdcFdcFdcFd 左式左式=右式右式 21122112 *) (*) (* * * FdcFdcFdcFdc *) (*) ( * 12122121 FdFdcFdFdc 令令c = 1，得：，得： 12122121 *) (*) ( * FdFdFdFd 令令c = i，得：，得： *) (*) ( * 12122121 FdFdFdFd 二式相加得：二式相加得： 2121 *) ( * FdFd 二式相减得：二式相减得

4、： 1212 *) ( * FdFd 所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。 所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有： （1 1）涨落）涨落 dFFFFF 222 ) (*) ()( F F 因为是厄密算符因为是厄密算符必为实数必为实数因而因而 FF 也是厄密算符也是厄密算符 厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零

5、 22 *FdF 0|) ( | |)( 222 dFFdFF FFd *) ( 2 | | Fd 0 于是有：于是有： （2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即： 0)( 2 F 则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。 常数常数 或或 F FF 0) ( nnn FF 可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态 记为记为n，于是得：，于是得： 其中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的

6、本征值和相应的本征态，上式即是算符的本征值和相应的本征态，上式即是算符F F的本征方程。求解时，的本征方程。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。 证明：证明： （二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程 nn FdF * 定理定理IIII：厄密算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。 当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n 。 。 由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设

7、已归一）态下（设已归一）态下 证证 nnn dF * n F 是是实实数数。所所以以必必为为实实， n FF （3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定IIIIII 根据定理根据定理 I (I) (I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。 ),(prFF ipprrr ) , ( ),(prFFprFF 若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 ( (如宇称、自旋等），将由如宇称、自旋等），将由 量子力学量子力学 本身定义给出。本身定义给出。 若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过则在直角坐标系下

8、通过 如下对应如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：方式，改造为量子力学中的力学量算符： (II) (II) 测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n （即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出： ,2,1 nFF nnn （1 1）正交性）正交性 定理定理III： 厄密算符属于不同本征值厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交 证： mmmnnn FFFF 设设 存在存在并设

9、积分并设积分 d nn * *)* ( mmm FF 取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。 为实。 两边右乘两边右乘 n 后积分后积分 dFdF nmmnm *) ( dFdFdF nmnnmnm * *) ( 二式相二式相 减减 得：得： 0*)( dFF nmnm 若若mFn， 则必有：则必有： 0* d nm 证毕证毕 （2 2）分立谱、连续谱正交归一表示式）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正分立谱正 交归一条交归一条 件分别为：件分别为： mnnm nm nn d d d * 0* 1* 2. 连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为：件表示为： )

10、(* d 3. 正交归一系正交归一系 满足上式的函数系满足上式的函数系 n 或或 称为正交归一（函数）系。称为正交归一（函数）系。 （三）厄密算符的本征函数的正交性（三）厄密算符的本征函数的正交性 （4）简并情况）简并情况 上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。 如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1 n1 , ,n2 n2 , ., , ., nf nf 满足本征

11、方程：满足本征方程：fiFF ninni , 2 , 1 一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。 可以证明由这可以证明由这 f f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f f 个独立的新函数，个独立的新函数， 它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。 但是但是 证证明明 由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n j fjA niji f i nj , 2 , 1 1 可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件： fjjdAAd j jinniijji f i f i jn

12、nj ,2, 1,* 11 证明分证明分 如下两如下两 步进行步进行 1. 1. nj nj 是本征值 是本征值 F Fn n 的本征函数。 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。 niji f i nj AFF 1 niji f i FA 1 niji f i n AF 1 njn F 1. 1. nj nj是本征值 是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。 2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。 fjj dAAd j jinniijji f i f i jnnj , 2, 1

13、, * 11 方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。 fjA niji f i nj , 2 , 1 1 为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的个 的个 数数 f f 2 2 大于或等于 大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。 算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质是：简并的本质是： 当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状确定后还

14、不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，另外一个或几个力学量算符，F F 算算 符与这些算符两两对易，其本征值符与这些算符两两对易，其本征值 与与 F Fn n 一起共同确定状态。 一起共同确定状态。 综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。 因为因为 f f2 2 - f(f+

15、1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们 的个数，因而，我们 有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。 个系数使上式成立。f f 个新函个新函 数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的正交归一化 的本征函数。的本征函数。 （2 2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 （1 1）动量本征函数组成正交归一系）动量本征函数组成正交归一系 （

16、3 3）角动量本征函数组成正交归一系）角动量本征函数组成正交归一系 1. 1. L Lz z 本征函数本征函数 2. L2. L2 2本征函数本征函数 （4 4）氢原子波函数组成正交归一系）氢原子波函数组成正交归一系 （四）实例（四）实例 （一）力学量的可能值（一）力学量的可能值 （二）力学量的平均值（二）力学量的平均值 （1 1） 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系 （2 2） 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率 （3 3） 力学量有确定值的条件力学量有确定值的条件 6 6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 （三）例题（三）例题 量子力学基本假定量子力

17、学基本假定IIIIII告诉人们，在任意态告诉人们，在任意态(r(r) )中测量中测量 任一力学量任一力学量 F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的本征方程的本征方程nnn F 解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。 但是还有但是还有 两点问题两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚： 1. 1. 测得每个本征值测得每个本征值n n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。哪些测不到，几率为零。 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。是否会出现各次测量都

18、得到同一个本征值，即有确定值。 要解决上述问题，要解决上述问题， 我们还得从讨论我们还得从讨论 本征函数的另一本征函数的另一 重要性质入手。重要性质入手。 (1) (1) 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系 1. 函数的函数的 完备性完备性 有一组函数有一组函数n n(x(x) (n=1,2,.),) (n=1,2,.),如果任意函数如果任意函数(x(x) )可以按这组函数展开可以按这组函数展开: : )()(xcx nn n 则称这组函数则称这组函数n(x) 是完备的。是完备的。 pdrpcr pdrtpctr p p 3 3 )()()( )(),(),( 或或 例如

19、：动量本征函数例如：动量本征函数 组成完备系组成完备系 （一）力学量的可能值（一）力学量的可能值 2. 2. 力学量算符的本征函数组成完备系力学量算符的本征函数组成完备系 (I) (I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，（参看：梁昆淼，数学物理方法数学物理方法P324P324；王竹溪、郭敦仁，；王竹溪、郭敦仁，特殊函数概特殊函数概 论论1.10 1.10 用正交函数组展开用正交函数组展开 P41P41），即若：），即若： nnn F )()(xcx nn n 则任意函数则任意函数(x) 可

20、可 按按n(x) 展开：展开： (II) (II) 除上面提到的动量本征函数外除上面提到的动量本征函数外, ,人们已经证明了一些力学量人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：算符的本征函数也构成完备系，如下表所示： 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般 证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点 分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系

21、。 （2） 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态现在我们再来讨论在一般状态 (x) (x) 中测量力学量中测量力学量F F，将会得到哪些值，将会得到哪些值 ，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。 根据根据量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII，测力学量，测力学量 F F 得到的可能值必是力学量算符得到的可能值必是力学量算符 F F 的本征值的本征值 n n n = 1,2,. . n = 1,2,. .之一之一, ,该本征值由本征方程确定：该本征值由本征方程确定： , 2 , 1)()( nxxF nn

22、n 而每一本征值而每一本征值n n各以一定几率出现。各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。我们讨论这个问题。 由于由于n n(x(x) )组成完备系，所以体系组成完备系，所以体系 任一状态任一状态(x(x) )可按其展开：可按其展开： )()(xcx nn n 展开系数展开系数 cn 与与x无关。无关。 dxxcxdxxx nn n mm )()()()( dxxxc nm n n )()(* mmn n n cc dxxxc nn )()( 即即 为求为求 c cn n ，将 ，将m m* *(x) (x) 乘上式并对乘上式并对

23、x x 积分积分 得：得： 讨论：讨论： 与波函数与波函数(x(x) ) 按动量本征函数按动量本征函数 展开式比较二者完全相同展开式比较二者完全相同 我们知道：我们知道：(x(x) ) 是坐标空间的波函数；是坐标空间的波函数； c (p) c (p) 是动量空间的波函数；是动量空间的波函数； 则则 c cn n 则是则是 F F 空间的波函数，空间的波函数， 三者完全等价。三者完全等价。 证明：当证明：当(x(x) )已归一时，已归一时，c(pc(p) ) 也是归一的，也是归一的， 同样同样 c cn n 也是归一的。也是归一的。 证：证： dxccdxxx mm m nn n * )()(1

24、 nmmn mn cc * 2 |* n n nn n ccc dxcc mnmn mn * * 所以所以|c|cn n| |2 2 具有几率的意义， 具有几率的意义，c cn n 称为几率振幅。我们知道称为几率振幅。我们知道|(x)|(x)|2 2 表示 表示 在在x x点找到粒子的几率密度，点找到粒子的几率密度，|c(p)|c(p)|2 2 表示粒子具有动量 表示粒子具有动量 p p 的几率，那的几率，那 末同样，末同样，|c|cn n| |2 2 则表示 则表示 F F 取取 n n 的几率。的几率。 量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV 综上所述，综上所述， 量子力学作量子力学作

25、如下假定：如下假定： 任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数n n(x(x) )组成正交归一完备组成正交归一完备 系，在任意已归一态系，在任意已归一态(x(x) )中测量力学量中测量力学量 F F 得到本征值得到本征值 n n 的几率等于的几率等于(x(x) )按按n n(x(x) )展开式：展开式： 中对应本征函数中对应本征函数n n(x(x) )前的系数前的系数 c cn n 的绝对值平方。的绝对值平方。 )()(xcx nn n （3 3） 力学量有确定值的条件力学量有确定值的条件 推论：当体系处于推论：当体系处于(x) 态时，测量力学量态时，测量力学量F具有确定值的

26、具有确定值的 充要条件是充要条件是(x) 必须是算符必须是算符 F的一个本征态。的一个本征态。 证：证： 1. 必要性。若必要性。若F具有确定值具有确定值 则则(x) 必为必为 F 的本征态。的本征态。确定值的意思就是确定值的意思就是 每次测量都为每次测量都为 。 根据根据基本假定基本假定III，测量值必为本征值之一，测量值必为本征值之一， 令令 =m 是是 F 的一个本征值，满足本征方程的一个本征值，满足本征方程 ,2, 1)()( mnxxF nnn 又根据又根据基本假定基本假定 IV，n(x) 组成完备系，组成完备系， )()(xcx nn n 且测得可能值是：且测得可能值是： 1,2,

27、.,m 相应几率是：相应几率是： |c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.。 现在只测得现在只测得m m，所以，所以|c|cm m| |2 2=1, |c=1, |c1 1| |2 2=|c=|c2 2| |2 2=.=0=.=0 （除（除|c|cm m| |2 2外）。外）。 于是得于是得 (x(x)= )= m m(x(x) )，即，即 (x(x) )是算符是算符 F F 的一个本的一个本 征态。征态。 2 . 2 . 充 分 性 。 若充 分 性 。 若 ( x ( x ) ) 是是 F F 的 一 个 本 征 态 ， 即的 一 个 本 征 态 ， 即 (x(x)= )= m m(x(

28、x) )，则，则 F F 具有确定值。具有确定值。 根据根据基本假定基本假定IVIV，力学量算符，力学量算符 F F 的本征函数组成完备系。的本征函数组成完备系。 )()()(xxcx mnn n 所以所以 测得测得n 的几率是的几率是 |cn|2。 mn mn cn 0 1 | 2 因为因为 表明，测量表明，测量 F 得得m 的几率为的几率为 1， 因而有确定值。因而有确定值。 dxxFxF)( )(* 力学量平均值就是指多次测量的平均结果，力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度如测量长度 x x，测了，测了 10 10 次，其中次，其中 4 4 次得次得 x x1 1，6 6

29、次得次得 x x2 2，则，则 10 10 次测量的平均值为：次测量的平均值为： dxxcFxc mm m nn n )( )( dxxFxcc mnm m n n )( )(* dxxxcc mnmmn mn )()(* nmmmn mn cc * nn n c 2 | 如果波函数如果波函数 未归一化未归一化 ii i xxxxx xx x 2211210 6 110 421 10 64 nn n cF 2 | 同样，在任一态同样，在任一态(x(x) ) 中测量某力学量中测量某力学量 F F 的的 平均值（在理论上）平均值（在理论上） 可写为：可写为： 则则 dxxx dxxFx F c c

30、 F n n nn n )()( )( )( | | * * 2 2 dxxFxF)( )( * 这两种求平均这两种求平均 值的公式都要值的公式都要 求波函数是已求波函数是已 归一化的归一化的 此式此式等价于等价于 以前的平均以前的平均 值公式：值公式： （二）力学量的平均值（二）力学量的平均值 例例1 1：已知空间转子处于如下状态：已知空间转子处于如下状态 ),( 3 2 ),( 3 1 2111 YY 试问：试问： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值； 的平均值；

31、（4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及时得到的可能值及 其相应的几率。其相应的几率。 解：解： ),( 3 2 ),( 3 1 )1( 2111 22 YYLL 21 2 11 2 )12(2 3 2 )11(1 3 1 YY 2111 2 2 3 1 2YY 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故 的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征态。的本征态。 ),( 3 2 ),( 3 1 )2( 2111 YYLL zz 2111 3 2 3 1 YY 2111 3 2 3 1 YY 是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本

32、征态，本征值为 。 （3 3）求）求 L L2 2 的平均值 的平均值 方法方法 I I）已归一化已归一化（ dxxFxF)( )( * 验证归一化：验证归一化： dc *2 1 dYYYYc 21112111 2 3 2 3 1 * 3 2 3 1 dYYYYYYYYc 1121211121211111 2 * 9 2 * 9 2 * 9 4 * 9 1 22 9 5 9 4 9 1 cc 5 3 c 归一化波函数 2111 3 2 3 1 YYc dLL 2*2 dYYLYY 2111 2 2111 2 5 1 * 2 5 1 dYYYY 21 2 11 2 2111 262 * 2 5 1 dYY 2 21 2 2 11 2 242 5 1 222 5 26 242 5 1 方法方法 IIII 2111 2 5 1 YY nn n cF 2 | 利用利用 22 2 2 2 2 5 26 6 5 2 2 5 1 L 21112111 2 5 1 3 2