数字信号与图像处理1

1、数字信号与图像处理 白键 信号的描述信号的描述 信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化 的某种物理量。例如，在日常生活中，声音，电视画面都是 信号。在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通 等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；在气象观测 中，由探空气球携带仪器测量得到的温度、气压等数据信号， 可看成是随海拔高度h变化的函数；又如在图像处理系统中， 描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示 为平面坐标位置(x, y)的函数，等等。在数学上，可以描述为 一个或多个独立变量的函数。只有一个自变量，叫做一维信 号；如果有两个自变量，称为二维信号（图像）。 数字信号与

2、图像处理的内容：连续和离散 时间信号与系统的时域分析，傅里叶变换， Z变换，小波变换，图像复原，图像增强， 图像压缩等。 研究数字信号与图像处理的目的：采样， 滤波（去伪取真），检测，压缩，识别等。 第第1章章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念 1.1 信号的分类信号的分类 1.2 信号的基本运算信号的基本运算 1.3 常用基本信号常用基本信号 1.4 系统的概念系统的概念 1.5 系统的特性和分类系统的特性和分类 1.6 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法 1. 确定信号与随机信号确定信号与随机信号 任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则 信号。对于这种信号，给定某一

3、时刻后，就能确定一个相应 的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它 的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。 1.1 信号的分类信号的分类 图 1.1-1 噪声和干扰信号 2. 连续信号与离散信号连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有 定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信 号。 这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信 号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续 的，也可以是跳变的。图1.1-2(a)是正弦信号，其表达式为 )sin()( 1 tAtf 式中，A是常数。其自变量t在定义域(-, )内连续

4、变化，信号 在值域-A, A上连续取值。为了简便起见，若信号表达式中 的定义域为(-, )时，则可省去不写。 也就是说，凡没有标明 时间区间时， 均默认其定义域为(-， )。 图 1.1-2 连续信号 012 12 A A f1(t) to 1 t f2(t) o A t f3(t) t0 (a)(b)(c) 图1.1-2(b)是单位阶跃信号， 通常记为(t)，其表达式为 )0(0 )0( 1 )()( 2 t t ttf 图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号， 其表达式为 )0(0 )0( )( )( 3 0 t tAe tf tt 式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-, )内

5、连续变 化，信号f3(t)在值域0， A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处 有间断点。 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简 称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值， 相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。 在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连 续的， 也可以是不连续的。 定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通 常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为 信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也 可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a) 所示的正弦序列可表示

6、为 kAkf 4 sin)( 1 图 1.1-3 离散信号 0123 4 567 82 468 A A k f1(k) 13102341310234 1 0 1 3 2 f2(k)f3(k) kk56 A (a) (b)(c) 随k的变化，序列值在值域-A, A上连续取值。对于图 1.1-3(b)所示的序列则可表示为 在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为 模拟信号 (如图1.1- 2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为 抽样信号 (如图1.1-3(a)；而把幅值只能取某些规定数值的离 散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c)。 为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省

7、略，简记为 f()， 表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用f() 统一表示连续信号和离散信号。 3. 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号 一个连续信号f(t)，若对所有t均有 f(t)=f(t+mT) m=0, 1, 2, 则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。 一个离散序列f(k)，若对所有k均有 f(k)=f(k+mN) m=0, 1, 2, (1.1-7) 就称f(k)为离散周期序列。满足式(1.1- 7)的最小N值称为f(k) 的周期。 图 1.1-4 周期信号 t f (t) A A 2 T 2 TTTo f (t) 240246k 4. 能

8、量信号与功率信号能量信号与功率信号 若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生 的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一 定的能量。 把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间 内的平均功率。现在将时间区间无限扩展， 定义信号f(t)的能 量E为 2 , 2 dttfE 2 2 2 )(lim dttfP 2 2 2 )( 1 lim 如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均 功率P=0)， 就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如 果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号 能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号 离散序列f(k)

9、的能量定义为 k kfE 2 )( 1.2 信号的基本运算信号的基本运算 1.2.1 相加和相乘相加和相乘 两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号 在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻 的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。 设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可 表示为 )()()( )()()( 21 21 tftftP tftfts 同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与 积信号p(k)可表示为 )()()( )()()( 21 21 kfkfkP kfkfks 图 1.3-1 连续信号的相加

10、和相乘 图 1.3-2 离散信号的相加和相乘 f1(k) 0123456123 1 f2(k) 012345 123 1 1 f1(k) f2(k) 012345 123 1 1 2 012345 123 1 f1(k) f2(k) k k k k 1.2.2 翻转、平移和展缩翻转、平移和展缩 将信号f(t)(或f(k)的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一 个信号f(-t)(或f(-k)， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意 义是将自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作 为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯， 自变量轴 不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐

11、标轴翻转180， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。 图 1.3-3 信号的翻转 (a) f(t)的翻转； (b) f(k)的翻转 0224 1 f (t) t 022 1 f ( t) t 022 1 t4 4 f ( t) 0224 1 f (k) k 022 1 f ( k) k 022 1 k f ( k) 4 4 (a)(b) 图 1.3-4 信号的平移 022 f (t) t 02 f (t 2) t 02t 4 f (t 2) 4 033 f (k) k f (k 2) f (k 2) 022k 022k 46 464 (a)(b) 图 1.3-5 连续信号

12、的波形展缩 021 f (t) t12 1 021 f (2t) t12 1 024t42 1 ) 2 1 (f (a)(b)(c) 1.2.3 信号的导数和积分信号的导数和积分 连续时间信号连续时间信号f(t)的导数的导数 )()()( )1( tf dt d tfty 连续时间信号f(t)的积分 t dxxftfty)()()( )1( 产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(t) 波形在(-, t)区间上所包含的净面积。 图 1.3-10 信号的微分和积分 (a) 信号f(t)； (b) 信号的微分； (c) 信号的积分 f (t) 1t122 1 2 12 0 012 1 2

13、 1 21123 1 2 3 4 5 0 )( ) 1( tf )( ) 1 ( tf (a)(b)(c) t t 1.2.4 信号的差分和迭分信号的差分和迭分 1. 差分运算差分运算 按照连续时间信号的导数定义 t tf dt tdf t )( lim )( 0 就离散序列而言，可用两个相邻序列值的差值代替f(t)， 用 相应离散时间之差代替t，并称这两个差值之比为离散序列 的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散序列变 化率有如下两种表示形式： ) 1( ) 1()()( ) 1( )() 1()( kk kfkf k kf kk kfkf k kf 考虑到上面两式中(k+1)-k=

14、k-(k-1)=1，因此，相邻两个序列值 的变化率也就是这两个序列值之差，故称该操作为差分运算 (1) 前向差分： )() 1()(kfkfkf (2) 后向差分： ) 1()()(kfkfkf 图 1.3-11 信号的差分 f (k) 21 10 3 23456k 1.5 2.5 2 11 2 f (k) 2 103 2 345 6k1102 3 45 6 k 0.5 1 2 3 1 1.5 2 7 3 11 0.5 2 1.5 2 (a)(b)(c) 1 f (k) 如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以 定义高阶差分运算。 对于前向差分有 同理，同理， 对于各阶后向差分可表示

15、为对于各阶后向差分可表示为 2. 迭分运算迭分运算 仿照连续时间信号积分运算的定义 t dxxfty)()( 在离散信号中，如果时间间隔=1， 可定义离散积分的运算 为 k n nfky)()( 图 1.3-12 离散信号的迭分 f (k) 21 1023 45 6k y(k) 21 1023456k 22 11 2 2 1 33 2 1 1 1 (a)(b) 1 1.3 常用信号常用信号 1 阶跃信号阶跃信号 图图 1.4-1 单位阶跃信号单位阶跃信号 ttt 1 11 t0 (a)(b)(c) ooo (t) (t)(tt 0) 设图1.4-1(a)所示函数 1 1 0 )(tt t t

16、t 0 0 该函数在t时为常数1。在区间(0，)内直 线上升，其斜率为1/。 随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变 大。 当0时， 函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率 为无限大， 定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位 阶跃信号， 用(t)表示， 即 )0( 1 )0(0 )(lim)( 0 t t tt 单位阶跃信号时移t0后可表示为 1 0 )( 0 tt 0 0 tt tt 注意：注意： 信号信号(t)在在t=0处和处和(t-t0)在在t=t0处都是不连续的。处都是不连续的。 单位阶跃序列单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为 0 1 )(k 0 0 k k

17、 图 1.4-5 单位阶跃序列 0 123412 (k) 1 k 2 冲激信号冲激信号 0 1 )()(t dt d tp t t 其他 0 当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大， 而 其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号， 简称单位冲激信号或函数，用(t)表示，即 )(lim)( 0 tpt 图 1.4-3 单位冲激信号 t 2 1 2 o p(t) to (t) (1) (a)(b) 函数的另一种定义是： 0)( 1)( 2 1 t dtt t t 0 0 21 t tt 定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。 )( 01 00 )(t t t dtx

18、t 单位脉冲序列单位脉冲序列 离散时间单位脉冲序列定义为 0 0 k k 图 1.4-6 单位脉冲序列 0 123123 1 k (t) 0 1 k 阶跃信号（序列）与冲激信号（序列）的关 系 由 ，得 同理，对于离散阶跃序列与冲激序列有： ， )( 01 00 )(t t t dtx t t dt td 1 00 k k k 0 0 0 0 k k k kkk1 因为只有当k=0时(k)的值为1，而当k0时(k)的值均为零， 所以任一序列f(k)与(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值 等于f(k)在k=0处的值，即 )()0()()(kfkkf 任意序列（信号）的表示 )()()()( 0

19、0 kkfkkkf 同理， f(k)与 的乘积为： 0 kk 同理，对于连续信号 ，也可以用 与 的卷 积来表示： tf 000 dttttftf tf t 所以任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和 表示，即 0 00 k kkkfkf 3 正弦信号正弦信号 随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号， 简称正弦信号。数学上，正弦信号可用时间的sin函数或cos函 数表示。 正弦信号的一般形式表示为 )cos()(tAtf 式中，A、和分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。 (2.1-1) 图 2.1 1 正弦信号 A A t f (t) o T 正弦信号是周期信号，其周期T、频率

20、f和角频率之间的 关系为 f T 12 根据欧拉公式，式(2.1 - 1)可写成 2 )cos()( )()( tjtj ee A tAtf 4 指数信号指数信号 连续时间指数信号，简称指数信号， 其一般形式为 st Aetf)( 根据式中A和s的不同取值，具体有下面三种情况。 (1) 若A=a1和s=均为实常数，则f(t)为实指数信号， 即 tst eaAetf 1 )( 图 2.1 2 实指数信号 o f (t) a1 0 0 0 t (2) 若A=1，s=j，则f(t)为虚指数信号，即 tjst eAetf )( 根据欧拉公式， 虚指数信号可以表示为 tjte tj sincos 表明e

21、jt的实部和虚部都是角频率为的正弦振荡。显然，ejt 也是周期信号，其周期T=2/|。 (3) 当A和s均为复数时， f(t)为复指数信号。 若设 A=|A|ej，s=+j 则f(t)可表示为 )sin()cos( )( )()( tjteA eeAeeAAetf t tjttjjst 图 2.1 3 复指数信号实部和虚部的波形 0)( ; 0)( ; 0)(cba ott o o t (a)(b)(c) 指数信号是线性时不变系统的特征信号，用于分析 此类系统 ，这也是系统的频域分析的基础。 1.4 系系 统统 的的 概念概念 系统 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 系统：系统：系统的基

22、本作用是将输入信号(激励)经 过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到 满足要求的输出信号(响应)。在数学上系统就看 成运算或者变换，用 表示。这一过程可表 示为 T fTy 如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为 连续时间系统，简称为连续系统。如果系统的输入、输出 信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散 系统。 由两者混合组成的系统称为混合系统。式中， 表 示系统在激励 单独作用时产生的响应。信号变量用圆点 标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。 y f 例例 简单力学系统如图1.5-3所示。在光滑平面上，质量为m 的钢性球体在水平外力f(t)的作用下产生运动。设

23、球体与平面间 的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励， 球体运动速度看作是系统的响应。 根据牛顿第二定律，有 dt td mtmatf )( )()( )( 1 )( tf m t 若球体在若球体在 时的初始速度为时的初始速度为 ，则系统的输入与输出的关，则系统的输入与输出的关 系为：系为： 0 v 0 0 1 vdf m tv t 0t 0t 图 1.5-3 力学系统 v(t)f (t) m 系统的零输入响应：当系统的输入为零时，系统的输出就 称为系统的零输入响应，所以零输入响应只与系统的初始 状态有关。 在上个例子中，当系统的的输入（也就是外力 ）为零 时，系统的零输入

24、响应为 系统的零状态响应：当系统的初始状态为零时，仅由输入 决定的输出就称为系统的零状态响应。 在上个例子中，当初始状态为零（也就是初始速度为零） 时，系统的零状态响应为： f 0 vtv 0t t df m tv 0 1 如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数 乘，就称该系统具有齐次性齐次性或均匀性均匀性。这一特性也可表述为 1.5 系统的特性和分类系统的特性和分类 1.5.1 线性系统线性系统 fTy afTay 如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个 激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠加性叠加性。 或表述为 则系统具有叠加性。 , 11 fTy 2

25、2 fTy 2121 ffTyy 如果系统同时具有齐次性和叠加性， 就称系统具有线性特性。 或表述为 式中，1、2为任意常数，则系统具有线性特性线性特性，表示系 统响应与激励之间满足线性关系。 一个系统，如果它满足线性关系， 则称之为线性系统， 否则称为非线性系统非线性系统。 22112211 fafaTyaya , 11 fTy 22 fTy 1.5.2 时不变特性时不变特性 如果系统的输出响应随输入的移位而移位，称为时不变系时不变系 统统或定常系统定常系统，否则称为时变系统时变系统。 一个时不变系统的输入输出关系不会随时间变化。如果激 励f()作用于系统产生的响应为yf()，那么，当激励延

26、迟td或kd 时，其响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。 也就是说， 一个时不变系统，若 则对连续系统有 对离散系统有 系统的这种性质称为时不变特性。 fTy dd ttfTtty dd kkfTkky 图 1.5-1 系统的时不变特性 oT 1 t f (t) otd T 1 t f (t td) td 时不变 系统 ot yf(t) ot yf(t td) td 例例 1.5-2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和响应， a为常数。 解解 (1

27、) 已知 设 )()( )(cos)(cos)( )()( )(cos)()( 1 11 1 dff df d f ttyty ttfatfaty ttftf tfatytf d tt 则其响应 故该系统是时不变系统。 (2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的 波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任 何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。 所以， 这样的系统是时变的。 设 )()( 1d ttftf d tt 相应的响应为 )()( )22()(2)( )2()2()( 1 11 dff dddf df ttyty ttfttft

28、ty ttftfty 1.5.3 因果性因果性 一个系统，如果激励在tt0(或kk0)时为零，相应的零状态 响应在tt0(或kk0)时也恒为零，就称该系统具有因果性因果性，并称 这样的系统为因果系统因果系统；否则，为非因果系统非因果系统。 在因果系统中，原因决定结果，结果不会出现在原因作用 之前。 因此，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以 前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。由于因果系统没 有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统不可预测系统。 例例 1.6-3 对于以下系统： k i f f f ifky tdftcfty btafty )()( ) 1()()( )()(

29、 由于任一时刻的响应均与该时刻以后的输入无关， 因此 都是因果系统。 而对于输入输出方程为 ) 1()(tfty f 其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如， 令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激 励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。非因果系统。 1.5.4 稳定性稳定性 一个系统，当输入是有界的，其系统的输出也是有界的， 则称该系统为稳定系统，该系统具有稳定性。 例 某系统 ，若输入为 ，输出 ，判断该系统的因果性和稳定性。 解：由于 ，所以 时刻

30、的输出不 仅与 时刻及 时刻以前（ 时刻）的输入有关，还与 时刻以后（ 时刻）的输入有关，故该系统为非因果 系统。 如果输入 有界，即 ，则 即输出有界，故系统为稳定系统。 T nx 21nxnxnxny 21nxnxnxnyn nn 1n n 2n nx Mnx Mnxnxnxny321 1.5.5 系统的分类系统的分类 综上所述，我们可以从不同角度对系统进行分类。例如， 按系统工作时信号呈现的规律，可将系统分为确定性系统与 随机性系统；按信号变量的特性分为连续(时间)系统与离散 (时间)系统；按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与 多输入多输出系统；按系统的不同特性分为线性与非线性系 统

31、、时变与时不变系统、因果与非因果系统、 稳定与非稳 定系统等等。 重要工具：卷积运算重要工具：卷积运算 1.6.1 卷积的定义卷积的定义 设f1(t)和f2(t)是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号， 我们将积分 dtff)()( 21 定义为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为 )()( 21 tftf 即 dtfftftf)()()()( 2121 式中，为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时 间信号。 1.6.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波

32、形图中的t轴改换成轴， 分别得到f1()和f2()的波形。 第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-) 波形。 第三步，给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。 第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积 函数f1()f2(t-)。 第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净 面积，便是卷积在t时刻的值。 第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、 五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 例例 给定信号 )()( ) 3()()( 2 1 tetf tttf

33、 t 求y(t)=f1(t)*f2(t)。 图图 2.2 1 f1(t)和和f2(t)波形波形 01234t f1(t) ot f2(t) 11 (a)(b) 图 2.2 2 卷积的图解表示 01234 f1() 1 o 1 f1() 1 f2( )t 0t3 1 0t3 f2( )t (c) t0(d) 0 t 3 1 0t3t03 y(t) y(3) (e) t3(f ) f2( ) (a)(b) f1() f1()f2( )t 当t0时，f2(t-)波形如图2.2-2(c)所示，对任一，乘积 f1()f2(t-)恒为零，故y(t)=0。 当0t3时，f2(t-)波形如图2.2-2(e)所

34、示，此时，仅在 03范围内，乘积f1()f2(t-) 不为零，故有 卷积性质卷积性质 性质性质1 卷积的代数性质 卷积运算满足三个基本代数运算律，即 交换律 )()()()( 1221 tftftftf 结合律 )()()()()()( 321321 tftftftftftf 分配律 )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf 性质性质2 f(t)与奇异信号的卷积 (1) 信号f(t)与冲激信号(t)的卷积等于f(t)本身，即 )()()(tfttf (2.2-5) (2) 信号f(t)与阶跃信号(t)的卷积等于信号f(t)的积分， 即 证 因为 所以，式（ 2

35、.2-8）成立 （ 2.2-8） )()()()()()( )()()( )1( )1( tfdfdttfttf tfttf t 性质性质3 卷积的微分和积分 证证 同理可证 dtff dt d tftf dt d 2121 * d dt tdf f 2 1 dt tdf tf 2 1 * tf dt tdf tftf dt d 2 1 21 * (2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律， 可得 (3) 因为 同理，可将f2(t)表示为 )( )( )( 2 2 2 fd d df tf t 并进一步得到 dttfftftftftf)()()()()()( 12 )1( 2 )1(

36、121 当f1(t)和f2(t)满足 0)()()()( 1221 dttffdttff 对另一个函数进行k次积分的情况，即 性质性质4 卷积时移 由卷积时移性质还可进一步得到如下推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则 )()()( 212211 tttyttfttf 式中，t1和t2为实常数。 (2.2-21) 例例 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解解 直接按卷积定义， 可得 )( )()()( 波形的净面积tfK dKfKtftfK 常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。 如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致 dfK dt d tfK t )

37、()( 例例 计算下列卷积积分： )2() 1(tt 解解 (1) 先计算(t)*(t)。因为(-)=0，故可应用卷积运算的 微积分性质求得 离散序列线性卷积 1 j mnf ig j h if ig ifj g ij Nmn 对于两个长度为 和 的序列和， 给出长度为的输出序列。 二、卷积的图解法二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为i得f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。 解：画出解：画出f1(i),f2(i),f2(-i) 说明：若f(k)非零值N个，位于 21 nkn h(k)非零值M个，位于 21 mkm 则：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有(N+M-1)个，位于 2211 nmknm 离散序列卷积的性质 1.代数性质 交换律 分配律 结合律 )()()()( 1221 kfkfkfkf )()()()()()()( 3121321 kfkfkfkfkfkfkf )()()()()()( 2121 khkhkfkhkhkf 例例 已知序列 和 ， 试计算卷积和 。 12 1 1 kkf k 2 2 kkf kfkf 21