直线和圆的位置关系(1)

1、 初中数学资源网 收 集整理 回忆旧知回忆旧知 1.点和圆的位置关系有几种？点和圆的位置关系有几种？ 2.“大漠孤烟直大漠孤烟直,长河落日圆长河落日圆” 是唐朝诗人王维是唐朝诗人王维 的的 诗句诗句.它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象. 如果我们把太阳看成一个圆如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条地平线看成一条 直线直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想那你能根据直线与圆的公共点的个数想 象一下象一下,直线和圆的位置关系有几种直线和圆的位置关系有几种? （1）dr 点点 在圆外在圆外 初中数学资源网 收

2、集整理 O O 把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注注 意意观察直线与圆的观察直线与圆的公共点的个数公共点的个数 a(地平线) a(地平线) O O O 三三 你发现这个自然现象反映出直线和圆的你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数公共点个数有有 种情况种情况 初中数学资源网 收 集整理 把钥匙环看作一个圆把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线把直尺边缘看成一条直线. 固定圆固定圆,平移直尺平移直尺, n直线和圆分别有直线和圆分别有几个公共点几个公共点? ? O O 相交相交 O 相切相切 相离相离 直线与圆的交点个

3、数可判定它们关系 直线和圆只有直线和圆只有一个公共点一个公共点, ,这时我们就说这条直线和圆这时我们就说这条直线和圆相相切切, ,这这 条直线叫做圆的条直线叫做圆的切线切线, ,这个点叫做这个点叫做切点切点. . 直线和圆有直线和圆有两个两个公共点公共点, ,这时我们就说这条直线和圆这时我们就说这条直线和圆相交相交, ,这条这条 直线叫做圆的直线叫做圆的割线割线 直线和圆直线和圆没有公共点没有公共点, ,这时我们就说这条直线和圆这时我们就说这条直线和圆相离相离. . 两个公共点两个公共点 没有公共点没有公共点 一个公共点一个公共点 直线与圆相离、相切、相交的定义直线与圆相离、相切、相交的定义.

4、 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数 来定义的来定义的, , 即直线与圆没有公共点、即直线与圆没有公共点、只有只有一个公共点、一个公共点、 有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交. . 思考思考:一条直线和一个圆一条直线和一个圆,如果有公共点如果有公共点,那么公共点那么公共点 能不能多于两个呢？能不能多于两个呢？ 相离相离 相交相交 相切相切 切点切点切线切线 割线割线 交点交点交点交点 请你判断 看图判断直线看图判断直线l与与O的位置关系的位置关系. . （1） （2） （3） （4）

5、 相离相切 相交 相交 l l l l O O O O 初中数学资源网 收 集整理 1)1)直线和圆相交直线和圆相交 d d r;r; d d r r; ; 2) 2) 直线和圆相切直线和圆相切 3) 3) 直线和圆相离直线和圆相离 d d r;r; 直线与直线与圆圆的位置关系的位置关系量化量化 O O 相交相交 O 相切相切 相离相离 rrr d d d n你能根据你能根据d d与与r r的大小关系的大小关系确定直线与圆的位置关系吗确定直线与圆的位置关系吗? ? 过过圆心圆心作直线的作直线的垂线段垂线段d:d:圆心圆心O O到直线的到直线的距离为距离为d d 总结：

6、总结： 判定直线与圆的位置关系的方法有判定直线与圆的位置关系的方法有_种：种： (1)(1)根据定义根据定义,由由_的个数来判断的个数来判断; (2)(2)根据性质根据性质,由由_ 的关系来判断的关系来判断. 在实际应用中在实际应用中,常采用第二种方法判定常采用第二种方法判定. 两两 直线与圆的公共点直线与圆的公共点 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d与半径与半径r 解决问题解决问题1: 设设O的半径为的半径为r, ,直线直线a上一点到圆心的距离为上一点到圆心的距离为d, , 若若d= =r, ,则直线则直线a与与O的位置关系是的位置关系是( )( ) A. A.相交相交 B. B.相切相切

7、C. C.相离相离 D. D.相切或相交相切或相交 D 解决问题解决问题2: 已知圆的半径等于已知圆的半径等于5,直线直线l与圆没有交点与圆没有交点,则圆心到直则圆心到直 线的距离线的距离d的取值范围是的取值范围是 . 解决问题解决问题3: 直线直线l与半径为与半径为r的的O相交相交, ,且点且点O到直线到直线l的距离为的距离为 8,8,则则r的取值范围是的取值范围是 . . d5 5 r8 8 解决问题解决问题4:若若AB和和 O相交相交,则则 .0cm d r 圆与圆与AB相离相离 （3）当）当r =3 cm 时时 , d r,因此圆与直线因此圆与直线相离相离, 没有公共点没有公共点 (2

8、)当当 r = 6.5cm时时, 有有 d = r,因此圆与直线因此圆与直线相切相切, 有一个公共点有一个公共点 (1)当当 d = 4.5cm时时, 有有 d r, 因此圆与直线因此圆与直线相交相交, 有两个公共点有两个公共点 解解: r=6.5cm,设设直线与圆心的距离为直线与圆心的距离为d 初中数学资源网 收 集整理 设设OO的的圆心圆心O O到到直线的直线的距离为距离为d d, ,半径为半径为r,r,d.rd.r是是 方程方程(m+9)(m+9)x2 (m+6) x +1=0的的两根两根,且直线与且直线与OO相相切切 时时,求求m的值的值? 方程方程 几何综合

9、练几何综合练题题 d=r 析析:直线与直线与OO相相切切 b24ac=0 -(m+6)24(m+9)=0 解得解得 m1= -8 m2= 0 当当m=-8时原方程时原方程 为为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 当当m=0时原方程时原方程 为为9x2- 6x+1=0 b24ac= -(m+6)24(m+9)=0 解解:由题意可得由题意可得 x1=x2= 1 3 m=0 (不符合题意舍去不符合题意舍去) 小结：小结： 0 0 dr 1 1 d=r 切点切点 切线切线 2 2 dr 交点交点 割线割线 . l d r . l d r .O l d r . . AC B . . . 相离相离

10、相切相切 相交相交 直线与圆的位置关系判定方法直线与圆的位置关系判定方法: 图形图形 直线与圆的直线与圆的 位置关系位置关系 公共点的个数公共点的个数 圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d 与半径与半径r的关系的关系 公共点的名称公共点的名称 直线名称直线名称 A B C O 证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD 即圆心即圆心O到到AC的距离的距离 d = r AC AC是是OO切线。切线。 例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1) (1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆

11、上一点, ,则连结这点则连结这点 和圆心和圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂再证所作半径与这直线垂 直。简记为：直。简记为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线 段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为：作垂直作垂直, ,证半径证半径。 O B AC . A B D C O 方法引导方法引导 当已知直线与圆有公共点当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时要证明直线与圆相切时, 可先连

12、接圆心与公共点可先连接圆心与公共点,再证明连线垂直于直线再证明连线垂直于直线 ,这是这是 证明切线的一种方法证明切线的一种方法. 3.在在RtABC中中,B=90,A的平分线交的平分线交BC于于 D,以以D为圆心为圆心,DB长为半径作长为半径作 D.试说明试说明:AC 是是 D的切线的切线. E A BC D 1.定义法定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法数量法( (d=r) ):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是经过半径外端且垂直于这条

13、半径的直线是 圆的切线圆的切线. 即即:若直线与圆的一个公共点已指明若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点和则连接这点和 圆心圆心,说明直线垂直于经过这点的半径说明直线垂直于经过这点的半径;若直线与圆的公若直线与圆的公 共点未指明共点未指明,则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段,然后说明这条线然后说明这条线 段的长等于圆的半径段的长等于圆的半径 随堂检测随堂检测 1.O的半径为的半径为3,3,圆心圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d, ,若直若直 线线l与与O没有公共点没有公共点, ,则则 ( ( ) ) A.A.d3 B.3 B.d3 C.3 C.d3 D.3 D.d=3=3 2

14、.2.圆心圆心O到直线的距离等于到直线的距离等于O的半径的半径, ,则直线和则直线和 O的位置关系是的位置关系是( () ) A. A.相离相离 B.B.相交相交 C.C.相切相切 D.D.相切或相交相切或相交 3.3.判断判断: :若直线和圆相切若直线和圆相切, ,则该直线和圆一定有一则该直线和圆一定有一 个公共点个公共点.( ).( ) 4.4.等边三角形等边三角形ABC的边长为的边长为2,2,则以则以A为圆心为圆心, ,半径半径 为为1.731.73的圆与直线的圆与直线BC的位置关系是的位置关系是 _ _ , ,以以A 为圆心为圆心, , 为半径的圆与直线为半径的圆与直线BC相切相切.

15、. A C 相离相离 3 F E C D B A E O D C B A F E O D C B A 变:把”梯形ABCD”改为”等腰三角形ABC,AB=AC” 初中数学资源网 收 集整理 C A B D 8.已知：已知：AB是直径，是直径，AD是切线，是切线， 判断弦切角判断弦切角DAC与圆周角与圆周角 ABC之间的关系之间的关系 E O 初中数学资源网 收 集整理 A B C D O E 9.已知已知AB是直径，是直径，BC是切线，是切线，AC交交 圆圆O于点于点D，点，点E是是BC的中点。的中点。 求证：求证：DE是圆是圆O 的切线的切

16、线 初中数学资源网 收集整理 分析：要证分析：要证DC是是 O的切线，需证的切线，需证DC垂直于过切垂直于过切 点的直径或半径，因此要作辅助线半径点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利，利 用平行关系推出用平行关系推出34，又因为，又因为ODOB， OC为公共边，因此为公共边，因此CDO CBO，所以，所以 ODCOBC90 证明：连结证明：连结ODOAOD，12， ADOC，13，24 34ODOB，OCOC， ODC OBCODCOBC BC是是 O的切线，的切线，OBC90 ODC90DC是是 O的切线的切线 C BA D O 1 2 3 4 初中数学资源网 收