2017-2018学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 第1节 比较法创新应用教学案 -5

1、学必求其心得，业必贵于专精第1节 比较法创新应用核心必知比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明ab，只要证明ab0要证明ab,只要证明ab0要证明ab0,只要证明1要证明ba0,只要证明1步骤作差因式分解（或配方）判断符号得出结论作商恒等变形判断与1的大小得出结论问题思考1作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。 2作商比较法主要适用类型是什么?实质是什么？提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明实

2、质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与1的大小关系求证：（1）a2b22(ab1)；(2)若abc，则bc2ca2ab2b2cc2aa2b.精讲详析本题考查作差比较法的应用解答本题的步骤为作差因式分解判断符号得出结论(1）a2b22（ab1）（a1）2(b1)20,a2b22（ab1)（2）bc2ca2ab2(b2cc2aa2b）（bc2c2a）(ca2b2c)(ab2a2b）c2(ba）c（ab）（ab)ab(ba）(ba)(c2acbcab）（ba)（ca)(cb)，abc，ba0,ca0，cb0.(ba）（ca)（cb）0。bc2ca2ab20，求证：2a3b32ab2

3、a2b。证明：2a3b3（2ab2a2b）2a（a2b2)b（a2b2)（a2b2）(2ab)(ab)（ab）(2ab）因为ab0,所以ab0，ab0,2ab0，从而（ab）(ab）（2ab)0 ，即2a3b32ab2a2b。已知a2，求证：loga（a1）log（a1）a。精讲详析本题考查作商比较法的应用,解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小a2，a11.loga（a1)0,log（a1)a0，由于loga（a1)loga(a1）。a2，0loga(a21）logaa22.b是不正确的，这与a、b的符号有关,比如若b0,由1，可得ab，但若b0，则由1得

4、出的反而是a0，（ab)0,ab。当ab时，显然有1.当ab0时，1，0。当ba0时，01，0。由指数函数的单调性，有.即1.综上可知,对任意实数a、b，都有aabb(ab）.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点?精讲详析本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2,然后利用作差法比较t1,t2的大小即可设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1

5、、t2，依题意有：mns,t2.t1，t2.t1t2。其中s，m，n都是正数，且mn,t1t20，即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等式问题,一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不等式关系;作出问题结论3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同）的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大证明：设截面的周长为l。依题意,截面是圆的水管的截面面积为2，截面是正方形的水管的截面面积为。0，,

6、原结论得证作差比较法在高考中单独考查的可能性不大，一般是在比较数与式的大小时作为解决问题的工具使用考题印证(安徽高考）(1）设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac。命题立意本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证的能力证明（1)由于x1，y1，所以xyxy xy（xy）1yx(xy）2。将上式中的右式减左式，得yx(xy）2xy（xy)1（xy)21xy（xy)(xy)（xy1）（xy1）(xy）(xy1)(xy1）(xyxy1)（xy1）(x1)（y1)既然x1

7、，y1，所以（xy1)（x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立（2）设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca,logba,logcb，logacxy。于是，所要证明的不等式即为xyxy，其中xlogab1，ylogbc1.故由（1)可知所要证明的不等式成立一、选择题1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是（)aa2b2blg b21 d.解析:选bab0，ab0.（a)2(b）20.即a2b20.1.又lgb2lga2lglg10。lgb2lga2.2已知p,qa2a1，那么p、q的大小关系是（）apq bpnpcnmp dnmp解析：选a由已知，知m，n,得ab0时mn

8、，可否定b、c.比较a、d项，不必论证与p的关系取特值a4，b1，则m4,n213,mn，可排除d。4设mn，nn，a(lg x)m(lg x)m，b（lg x)n（lg x）n，x1,则a与b的大小关系为(）aab babc与x值有关，大小不定 d以上都不正确解析：选a要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小ablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)(lgmxlgnx）(lgmxlgnx)（lgmxlgnx）.x1，lgx0.当0lgx1时,ab；当lgx1时，ab；当lgx1时，

9、ab.应选a。二、填空题5若xy0，m（x2y2）（xy)，n（x2y2）(xy)，则m，n的大小关系为_解析：mn（x2y2)（xy）(x2y2）（xy)（xy)（x2y2）（xy)22xy(xy）xy0，xy0，xy0，2xy(xy）0，mn0，即mn.答案：mn6设pa2b25，q2aba24a，若pq,则实数a,b满足的条件为_解析:pqa2b25（2aba24a）a2b252aba24aa2b22ab14a24a(ab1)2（a2）2，pq，pq0，即（ab1）2(a2）20，ab1或a2。答案:ab1或a27若1ab，a2b2，故只需比较与b2的大小因为b20，0，求证:.证明：法

10、一：0，所以原不等式成立法二:ab0,故a2b20.故左边0，右边0.11。原不等式成立11已知函数f(x）log2（xm）,且f(0)、f(2）、f(6）成等差数列(1）求f(30）的值；(2)若a、b、c是两两不相等的正数,且a、b、c成等比数列,试判断f（a)f(c）与2f（b）的大小关系,并证明你的结论解：(1）由f(0）、f(2)、f（6)成等差数列,得2log2（2m）log2mlog2（6m)，即（m2)2m（m6)（m0）m2,f（30）log2(302)5。（2)f(a)f(c）2f(b）证明如下：2f（b)2log2(b2)log2(b2)2，f(a)f(c）log2（a2)（c2），又b2ac,(a2)（c2)(b2）2ac2(