高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版

1、学必求其心得，业必贵于专精6.2垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理。(重点）2.理解并掌握空间“平行与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点）3。能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题。（难点）基础初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材p39“练习2”以下至p40“例3以上部分,完成下列问题。1。文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2。符号语言：l,mlm.3。图形语言:如图16。18所示.图1。6。184.作用：证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所

2、在直线的位置关系是()a。相交b。平行c.异面d.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知b正确.【答案】b教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材p40“例3”以下至p41“例4”以上部分，完成下列问题。1。文字语言：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2。符号语言：，m，l，lml。3。图形语言：如图1。6。19所示.图1。6。194。作用：证明直线与平面垂直。若平面平面，且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则（）a.直线a必垂直于平面b。直线b必垂直于平面c.直线a不一定垂直于平面d.过a的平面与过b的平面垂直【解析】,a,b，

3、ab，当a时，b；当b时，a，其他情形则未必有b或a，所以选项a，b，d都错误，故选c。【答案】c小组合作型线面垂直的性质如图1620，正方体abcda1b1c1d1中，ef与异面直线ac，a1d都垂直相交.求证：efbd1.图1。6.20【精彩点拨】连接ab1与cb1,证明ef,bd1都与平面ab1c垂直.【自主解答】连接ab1，b1c,bd,b1d1，如图所示。dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac。又acbd，bddd1d,ac平面bdd1b1，acbd1.同理bd1b1c，又acb1cc，bd1平面ab1c.efa1d，且a1db1c，efb1c.又efac，acb1cc,e

4、f平面ab1c,efbd1.证明线线平行常有如下方法:（1)利用线线平行的定义:证共面且无公共点；（2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行。再练一题1.如图1。6.21，已知平面平面l，ea，垂足为a,eb,垂足为b，直线a,aab。求证:al。图1。621【证明】因为ea，l，即l，所以lea.同理leb。又eaebe，所以l平面eab。因为eb，a，所以eba，又aab，ebabb,所以a平面eab，因此，

5、al。面面垂直性质的应用如图1。6。22，a，b,c，d为空间四点,在abc中，ab2,acbc。等边三角形adb以ab为轴转动.图1。6。22(1）当平面adb平面abc时，求cd;（2)当adb转动时，是否总有abcd？证明你的结论。 【导学号:39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形,使所求线段为其一边，通过解三角形求解。(2）分d是否在平面abc内进行讨论.【自主解答】（1）如图,取ab的中点e，连接de，ce。因为adb是等边三角形，所以deab.当平面adb平面abc时，因为平面adb平面abcab，所以de平面abc，可知dece.由已知可得de，ec1.在

6、rtdec中，cd2.（2)当adb以ab为轴转动时,总有abcd.证明：当d在平面abc内时,因为acbc，adbd,所以c，d都在线段ab的垂直平分线上，即abcd.当d不在平面abc内时，由(1)知abde。又acbc，所以abce.又decee，所以ab平面cde。又cd平面cde，所以abcd.综上所述，总有abcd.1。面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法。所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2。证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理,另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意:（1）两个平面垂直

7、；（2）直线在一个平面内；(3）直线垂直于交线。以上三点缺一不可。再练一题2。如图16.23,四棱锥vabcd的底面是矩形，侧面vab底面abcd，又vb平面vad.图16。23求证:平面vbc平面vac。【证明】平面vab平面abcd,且bcab,平面vab平面abcdab，bc平面abcd,bc平面vab，va平面vab,bcva，又vb平面vad，vbva，又vbbcb,va平面vbc，va平面vac，平面vbc平面vac.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图1。6。24,四边形abcd是正方形，sa平面abcd，bksc于点k,连接dk。判断平面sbc与平面kbd是否垂直,并说明理由

8、.图1.6.24【提示】垂直。连接ac。四边形abcd是正方形，acbd.又sa平面abcd，sabd，bd平面sac，scbd。又scbk，bkbdb，sc平面kbd.又sc平面sbc，平面sbc平面kbd.探究2在上述问题中，判断平面sbc与平面sdc是否垂直，并说明理由.【提示】不垂直。假设平面sbc平面sdc。bksc，bk平面sdc.dc平面sdc,bkdc，又abcd,bkab。abcd是正方形,abbc，ab平面sbc,又sb平面sbc，absb，这与sba是rtsab的一个锐角矛盾，故假设不成立。原结论成立,即平面sbc不垂直于平面sdc. 如图1。6。25所示 ，在四棱锥pa

9、bcd中，底面abcd是dab60且边长为a的菱形,侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd.图1。625(1)求证：adpb;（2)若e为bc边的中点，能否在pc棱上找到一点f，使平面def平面abcd，并证明你的结论。【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.【自主解答】(1)证明：设g为ad的中点，连接pg，bg，pad为正三角形，pgad.在菱形abcd中,dab60，g为ad的中点,bgad.又bgpgg，ad平面pgb。pb平面pgb,adpb。(2）当f为pc的中点时，满足平面def平面abcd.证明：

10、取pc的中点f,连接de，ef,df,在pbc中,fepb。在菱形abcd中，gbde，而fe平面def，de平面def，efdee,平面def平面pgb.由（1)得pg平面abcd,而pg平面pgb，平面pgb平面abcd，平面def平面abcd.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时,要注意三者之间的内在联系。转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：再练一题3。如图1。6。26，在三棱锥p.abc中，e，f分别为ac，bc的中点。图16。26（1)求证：ef平面pab；(2）若平面pac平面abc，且papc，abc90，求证：平面

11、pef平面pbc.【证明】(1)e，f分别为ac，bc的中点，efab。又ef平面pab，ab平面pab，ef平面pab。（2)papc，e为ac的中点,peac.又平面pac平面abc，pe平面abc，pebc.又f为bc的中点，efab.abc90，bcef.efpee，bc平面pef。又bc平面pbc，平面pbc平面pef.1.已知l,m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直,则直线n与平面的关系是()a。nb.n或nc。n或n与不平行d.n【解析】l，且l与n异面，n.又m，nm，n.【答案】a2.已知平面平面，l，点pl,给出下面四个结论:过p与l垂直的直线在内；过p与

12、垂直的直线在内；过p与l垂直的直线必与垂直；过p与垂直的平面必与l垂直。其中正确的命题是（)a。 b. c. d。【解析】因为，l，pl，所以过点p作的垂直直线必在平面内且和l垂直，的情况则可能成立,也可能不成立.【答案】a3.已知a,b为直线,为平面.在下列四个结论中,正确的是_.若a，b，则ab;若a,b，则ab；若a,a，则；若b，b，则。【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知正确；错。【答案】4.如图1。6。27，在三棱锥p。abc内，侧面pac底面abc，且pac90,pa1，ab2，则pb_。图1。6。27【解析】侧面pac底面abc，交线为ac，pac90(即paac），pa平面abc，paab，pb。【答案】5.如图1。628，abc为正三角形，ec平面abc，db平面abc，ceca2bd,m是ea的中点，n是ec中点,求证：平面dmn平面abc.【导学号:39292041】图1。628【证明】m，n分别是ea与ec的中点，mnac，ac平面abc，mn平面abc，mn平面abc,db平面abc，ec