高中数学(人教版)空间曲线及其方程课件

1、第七讲 空间曲线及其方程 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线, , 其一般方程为方程组其一般方程为方程组 0),( 0),( zyxG zyxF 例如例如, ,方程组方程组 632 1 22 zx yx 表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线C. . 2 S L 0),(zyxF 0),(zyxG 1 S x z y1 o C 2 表示上半球面与圆柱

2、面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. . 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 z yx o 将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, ,y, ,z表示成参数表示成参数t的函数的函数: : 称为空间曲线的称为空间曲线的参数方程参数方程. . )(txx v bt,令 bz ay ax sin cos ,2 时当 bh2 taxcos taysin t

3、 vz 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为 上升高度上升高度, ,称为螺距称为螺距 . . )(tyy )(tzz M 632 1 ) 1 ( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数, , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)( 4 22 2 2 aa yx 故所求为故所求为 得所求为得所求为 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t )20( t u例例1 1 求空间曲线求空间

4、曲线 : : )(tx )(ty )(tz )( t绕绕z轴旋转轴旋转 时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程 . . 解解: : ,)(, )(, )( 1 tttM任取点点点M1 1绕绕z轴旋转轴旋转, , 转过角度转过角度 后到点后到点 , ),(zyxM则则 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty )(tz 20 t 这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程 . . u例例2 1x ty tz2 绕绕z轴旋转所得旋转曲面方程为轴旋转所得旋转曲面方程为 cos1 2 tx sin1 2 ty tz2 20 t 消去消去t 和和 , , 得得旋转曲面方程为旋转

5、曲面方程为 4)(4 222 zyx x z o y 绕绕z轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面( (即球面即球面) )方程为方程为 sinax 0y cosaz cossinax sinsinay cosaz )0( 20 0 说明说明: :一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数, ,形如形如 ),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线空间曲线C的一般方程的一般方程 投影柱面投影柱面 C在在xoy面上的投影曲线面上的投影曲线 消去消去x得得C在在yoz面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程 消去消去y得得C在在zox面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程 0),( 0),( zyxG zyxF ,0),(yxH 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT z y x C C 消去消去z z y x C 1 o 在在xoy面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 0 022 22 z yyx 1) 1() 1( 1 :