高中数学二轮复习命题方向把握命题角度分析精选第一部分22个必考问题专项突破必考问题4导数的简单应用及

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.必考问题4导数的简单应用及定积分i真题体验ii1b. - 21.（2011 全国）曲线y=e- 2x+i在点（0,2）处的切线与直线y = 0和y = x围成的三角形1 a3c.2。13答案：a y =- 2e 2x,曲线在点（0,2）处的切线斜率k= 2, 切线方程为y=-2x+2,该直线与直线 y=0和y=x围成的三角形如图所示，其中直线y=- 2x+2与y=x2 212 1,的交点a3, 3 ,所以二角形面积 s= 2x 1x3=3,故选a142. （2012 广东）曲线y=x3x+3在点（1,3）处的切线方程为 .解析曲线方

2、程为y = x 方程为y = x1,画图可知区域 d为三角形，三个顶点的坐标分别为一2, 0 , （0, 1）,（1,0）,平移直线x-2y=0,可知在点（0, 1）处z取得最大值2.答案 24. （2012 江西）计算定积分1 1（x2+sin x）dx=.3 解析 11(x2+sin x)dx= -cos x -x+3,则y =3x21,又易知点（1,3）在曲线上，有y鼠=1 = 2,即在点（1,3）处的切线方程的斜率为2,所以切线方程为y-3=2（x- 1）,即2x y+1 =0.答案2xy+1 = 0ln x, x0,3. （2012 陕西）设函数f（x） =d是由x轴和曲线y=f（x

3、）及该曲2x 1, xw 0,线在点（1,0）处的切线所围成的封闭区域，则 z = x-2y在d上的最大值为.一，一，r,1 ，八23.解析 当x0时，求导得f （x）=-,所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率k=1,切线 xii高考定位i1 .利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义.2 .考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式.3 .用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学 思想方法.ii应对策略ii首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于

4、已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一 般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解q1 - 必备知识方法必奉必迅法学相长必备知识导数的几何意义函数y = f(x)在x=x。处的导数f(x。)就是曲线y = f(x)在点(x。，f(x。)处的切线的斜率，即k = f (x。).(2)曲线 y=f(x)在点(x。，f (x。)处的切线方程为 y f (x。)= f ( xo)( x x。).(3)导数的物理意义：s (t) = v，v (t) = a(t).基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x) = cf (x

5、)=。f (x) = xn( n r)( x) = nxn 1f(x) = sin xf ( x) = cos xf(x) = cos xf (x) = sin xf (x) = ax( a 。且 a w 1)f ( x) = axln af (x) = exf (x) = exf (x) = log ax( a 。且 a w 1)f (x) = x in af (x) = in x1 f (x)=- x(2)导数的四则运算法则u(x) v(x) = u (x) v (x);u(x)v(x) =w (x)v(x)+ u(x)v，(x)；./ ，/u xvxuxv xt2( v( x) w 0)

6、.v x (3)复合函数求导复合函数y=f(g(x)的导数和y = f(u), u = g(x)的导数之间的关系为yx=f ( u)g (x) .利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f (x);(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 y=f(x)的定义域内解(或证明)不等 式f (x) 0或f (x) 0或 f1 (x)0在单调区间上恒成立问题求解.求可导函数极值的步骤求f (x)；(2)求 f (x) =0 的根；(3)判定根两侧导数的符号；(4)下结论.求函数f(x)在区间a, b上的最大值与最小值的步骤求f (x);(2)求f ( x) =0的根(

7、注意取舍)；(3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值).必备方法1 .利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域 内求极值、最值；(5)下结论.2 .定积分在几何中的应用被积函数为y=f(x),由曲线y=f(x)与直线x=a, x= b( a0 时,s= b f (x)dx;(2)当 f(x) 0；当 xc c , b时，f (x) 0)的一条切线，则实数b=.解析 切线的斜率是2,根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的1111 ,1坐标，切点在切线

8、上，代入即可求出b的值.y =x，令x=2得，x = 2,故切点为 力ln 2 , r 11-,代入直线方程，得ln 2 = 2x2+ b,所以b=- ln 2-1.答案 ln 2 1利用导数研究函数的单调性常考查：利用导数研究含参函数的单调性问题； 由函数的单调性求参数的范围. 尤 其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度.例 2 ? (201 2 合肥一模)已知函数 f (x) =x+a( ac r) , g(x)=ln x.求函数 f(x) x=f (x) +g(x)的单调区间.审题视点听课记录审题视点确定定义域一求导一对 a进行分类讨论一确

9、定 f (x)的单调性一下结论.a 解 函数 f(x) = f(x)+g(x) =x+ln x 的te义域为(0, 十).x, a 1 x2+x- a所以 f (x) = 1 7+x=x当 a=1 + 4aw0,即 a0,则 f (x)0.所以函数f(x)在(0, +8)上单调递增.12当 a= 1 + 4a0,即 a 4时，令 f (x) = 0,得 x +xa=0,解得x1 =*2 =1 + 41 + 4a21 1 + v1 + 4a(1)右4aw。，贝u x2=20,所以函数f(x)在(0, +8)上单调递增.,1 +、，1 + 4a ,(2)若 a0,则 xc 0, 2时，f (x)

10、0.所以函数f(x)在区间0,叶石上单调递减，在区间, +8上单调递增.综上所述，当awo时，函数f(x)的单调递增区间为(0, +8)；当a0时，函数 f(x)的单调递减区间为0, 1.21 . 4a ,单调递增区间为-1 + jl + 4a , 2.方法锦蠹讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.【突破

11、训练2】(2012 安徽)设函数f(x) =aex+b(a0). ae求f(x)在0, +8)内的最小值；.3.(2)设曲线y=f(x)在点(2 , f(2)处的切线万程为 y= /x,求a, b的值.解(1) f (x) = aex-1x, ae当 f (x) 0,即 x in a 时，f (x)在(一in a, 十)上递增；当 f (x) v 0,即 xv in a 时，f (x)在(一00, 一 in a)上递减.当 0v a 0, f (x)在(0 , - in a)上递减，在(一in a, 十0)上递增,从而f(x)在0 , +8)内的最小值为 f( in a)=2+b；当al时，一

12、in a0,求函数y=f(x)在区间(a1, a+1)内的极值.审题视点听课记录审题视点(1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于 m n的方程，求出m n 的值.(2)分类讨论.解(1)由函数f (x)的图象过点(1, 6),得 m- n= 3.由 f (x) =x3+ m)2+ nx- 2,2得 f (x) = 3x + 2m奸 n,2贝ug(x)=f ( x) + 6x= 3x + (26)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以一 煞6 = 0,2x5所以m= - 3.代入得n= 0.于是 f (x) = 3x2 6x= 3x(x 2).由 f (x)0 得 x2 或 x

13、 0,故f(x)的单调递增区间是(一8, 0)和(2,+8);由 f (x) v 0,得 0v x3时，f (x)在(a1, a+1)内无极值.综上得，当0vav1时，f(x)有极大值2,无极小值；当1vav3时，f(x)有极小值一6,无极大值；当a=1或a3时，f(x)无极值.方法辅蠹a (1)求单调递增区间，转化为求不等式f1 (x)0(不恒为0)的解集即可，已 知f (x)在m上递增？ f ( x) 0在m上恒成立，注意区别.(2)研究函数的单调性后可画出示意图.讨论区间与0,2的位置关系，画图一截取一观察即可.【突破训练3】(2012 北京)已知函数f (x) = ax2+ 1( a

14、0) , g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们白交点(1 , c)处具有公共切线，求a, b的值;(2)当a2 = 4b时，求函数f (x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(一00, 1上的最大 值.解 (1) f (x) = 2ax, g (x)=3x2 + b.因为曲线y = f(x)与曲线y = g(x)在它们白交点(1, c)处具有公共切线，所以 f(1) =g(1),且 f (1) =g (1).即 a+1 = 1 + b,且 2a=3+ b.解得 a=3, b=3.1 2 一，(2)记 h(x) =f (x) + g(x).当 b=a 时，321

15、2“h( x) =x + ax + 4a x +1, hz (x) = 3x2+2ax+ 7a2.一 a a令 h (x) = 0,得 xi = - 2, x2 = &.a0时，h(x)与h (x)的变化情况如下:xa00，2a一2aa一 一2，6a一6a一- -1-006,h (x)十0一0十h( x)1 / 1a a所以函数h(x)的单调递增区间为一8, 2和一6, +8 ;单调递减区间为2a当一 2a一 1,即 0vaw2 时，函数h(x)在区间(一8, 1上单调递增，h(x)在区间(一8, 1上的最大值为h(1)=a-4a2.aa 一当一2 1,且一6“1,即296时,aa函数h(x)

16、在区间,一万内单调递增，在区间一2， 1上单调递减，h(x)在区间a(00, - 1上的最大值为 h 2 =1.a 一当一 6 时， 6aa a函数h(x)在区间 一8, 一 2内单调递增，在区间一2，- 6内单调递减，在区间-a - 1上单调递增，6又因 h a - h(-1) = 1-a+4a2=1(a-2)20,a所以h(x)在区间(一00, 1上的最大值为h 万=1.定积分问题定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：依据定积分的基本运算求解简单的定积分；根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积.关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解.各地考纲对定积分的要求不高.学

17、习时以掌握基础题型为主.【例4】？(2011 新课标全国)由曲线y= yfx,直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为().10审题视点听课记录审题视点借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数.c 由y = qx&y = x 2可得x=4,所以由y=，x、y=x 2及y轴所围成的封闭图形面积为 4(寸x x+2)dx=|x|j2+2x 03 2 2 0号方诙的索“求定积分的一些技巧：(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为备函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数 的和或差，再求定积分；(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；(3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去

18、掉绝对值符号再求定积分.【突破训练4】 若a 2x+1 dx=3+ln 2 ,则a的值为().x1a. 6 b . 4 c . 3 d . 2，12a 2答案：d 2x+ - dx= x+lnx i = a+ln a 1 = 3+lnx1a2-1 = 3,a= 2.in a= in 2 ,03年阅卷老师叮咛r ue juan laos hlolngfilung 一一一 一一一 一 -*-导数法求最值中的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论.对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.【示例】？(2012 天津

19、)已知函数f(x)=；x3+ax2ax a, xcr,其中a0.32(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(一2,0)内恰有两个零点，求 a的取值范围；(3)当a=1时，设函数f(x)在区间t, t + 3上的最大值为 mt),最小值为m(t),记g(t) = mt) m(t),求函数g(t)在区间3, 1上的最小值.满分解答(1) f (x)=x2+(1 -a)x-a=(x+1)( x-a).由 f (x) = 0,得 xi = 1,x2 = a 0.当x变化时f (x) , f(x)的变化情况如下表:x(8, 1)-1(-1, a)a(a,+)f (x)十0一0十f (

20、x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(一8, 1), (a, +8)；单调递减区间是(1, a). (5分)(2)由(1)知f(x)在区间(2, 1)内单调递增，在区间(一1,0)内单调递减，从而函数f -2 0, 解得0vav；.3f 0 0,所以a的取值范围是 0, 1 .(8分)3(3)a=1 时，f(x) = 1x3x1.由(1)知 f(x)在3, 1上单调递增，在1,1上单 3调递减，在1,2上单调递增.当 t c 3, 2时，t+ 3c 0,1 , 1 c t , t + 3 , f (x)在t , 1上单调递增，1 一一 .在1, t+3上单倜递减.因此f(x)在t,

21、t + 3上的最大值m(t) =f( -1)而最小3值 mt)为 f(t)与 f (t+3)中的较小者.由 f(t + 3)f(t)=3(t + 1)( t+2)知，当 t c 3, 2时，f(t)wf(t + 3),故 m(t)=f(t),所以 g(t) =f (-1) -f(t).而 f(t)在3,2上单调递增，因此f(t)wf (2) = 5.所以g(t)在3, 2上的最小值为g(-2) = - 354 八3 =3.(12 4 )当 t c 2, 1时，t +3c 1,2，且一1,1 c t, t + 3.下面比较 f( 1), f(1) , f(t) , f(t+3)的大小.由f(x)在2, 1, 1,2上单调递