chap05机械振动-02

1、简谐运动的应用简谐运动的应用 5-4 一维简谐运动的合成一维简谐运动的合成 拍现象拍现象 5-5 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振 第五章第五章 机械振动机械振动 复习复习 简谐运动简谐运动 kxf xa 2 ) cos( 0 tAx 振幅振幅A 周期与频率周期与频率 2 T 2 1 T T 2 2 相位相位 0 t 0 0 0 0 2 02 0 x v tg v xA m k 2 简谐运动的能量简谐运动的能量 222 2 1 2 1 kAmAE 54 一维简谐运动的合成一维简谐运动的合成 拍现象拍现象 一、两个同方向同频率简谐运动的合成一、两个同方向同频率简谐运动的合成 某质

2、点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动 2022 1011 cos cos tAx tAx 合振动合振动 21 xxx 1、应用解析法、应用解析法 tAA tAA tAtA xxx sinsinsin coscoscos cos cos 202101 202101 202101 21 2021010 2021010 coscoscos sinsinsin AAA AAA 0 00 cos sinsin coscos tA tAtAx )cos(2 102021 2 2 2 1 AAAAA 202101 202101 0 coscos s

3、insin AA AA tg 令令 2、应用旋转矢量法、应用旋转矢量法 )cos(2 102021 2 2 2 1 AAAAA 202101 202101 coscos sinsin AA AA tg 合成振动合成振动 是简谐运动是简谐运动 0 costAx 2 A A 1 A x y 101 cosA 0 20 10 202 cosA 101 sinA 202 sinA 3、讨论、讨论 , 2 , 1 , 0 2 1020 kk 21 AAA 合振幅最大合振幅最大 2 A A 1 A 情况情况1 当当 称为干涉相长称为干涉相长 21 AA 1 2AA 2 A A 1 A 1 A 2 A A

4、| 2121 AAAAA k 1020 情况情况2 , 3 , 2 , 1 ) 12( 1020 kk 21 AAA 合振幅最小合振幅最小 当当 称为干涉相称为干涉相消消 21 AA 0 A 情况情况3：一般情况一般情况 二、多个同方向同频率简谐运动的合成二、多个同方向同频率简谐运动的合成 振幅相等，初相位依次差一个恒量振幅相等，初相位依次差一个恒量 )1( cos)( )2 cos()( ) cos()( cos)( 33 22 11 NtAtx tAtx tAtx tAtx NN A1 A2 A3 A O x Q P 合振动是简谐运动合振动是简谐运动 )2/sin(2 NRA )2/sin

5、(2 0 RA )2/sin( )2/sin( 0 N AA 2 1N ) 2 1 cos( ) 2/sin( ) 2/sin( 0 N t N A)cos()( 0 tAtx 三、同方向不同频率的简谐振动的合成三、同方向不同频率的简谐振动的合成 拍现象拍现象 质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动 2022210111 coscostAxtAx 合振动合振动 21 xxx 假设假设0 2010021 ，AAA 2121 tAtAx tAtAx 20222 10111 2coscos 2coscos 1 o x 1 A 2 A A

6、2 合成振动表达式：合成振动表达式： ttA tAtAxxx 2 2cos 2 2cos2 2cos2cos 1212 0 201021 合振动不再是简谐振动合振动不再是简谐振动 1 x t 2 x t x t t x 频率相差不大的两个谐振动的叠加频率相差不大的两个谐振动的叠加 其振幅变化的周期是由振幅绝其振幅变化的周期是由振幅绝 对值变化来决定，即振动忽强对值变化来决定，即振动忽强 忽弱。这种忽弱。这种合振动忽强忽弱的合振动忽强忽弱的 现象称为现象称为拍拍。 合振动是振幅按合振动是振幅按 |2A|2A0 0cos2(cos2(2 2-1 1)t/2|)t/2| 缓慢缓慢 变化的频率为变化的

7、频率为(2 2+1 1)/2 )/2 的的 “准周期运动准周期运动” 单位时间内振单位时间内振 动加强或减弱动加强或减弱 的次数的次数叫拍频叫拍频 12 拍的应用：拍的应用： 用音叉的振动来校准乐器；用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率；利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制 ttAxxx 2 2cos 2 2cos2 1212 021 t x 四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动某质点同时参与两个

8、同频率的互相垂直方向的简谐运动 ) cos( 101 tAx ) cos( 202 tAy 合振动的轨迹方程为合振动的轨迹方程为 12 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 AA xy A y A x 是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。 讨论讨论1 0 1020 0 2 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x x A A y 1 2 合振动的轨迹是一条通过原点的直线合振动的轨迹是一条通过原点的直线 y x 讨论讨论2 0 2 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x x A A y 1 2 y x

9、1020 合振动的轨迹是一条通过原点的直线合振动的轨迹是一条通过原点的直线 讨论讨论3 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 2/ 1020 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆椭圆 方程，且方程，且顺顺时针旋转时针旋转 讨论讨论4 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 2/3 1020 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆椭圆 方程，且方程，且逆逆时针旋转时针旋转 21 AA 讨论讨论5 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的圆圆 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 2/3 , 2/ 1020 讨论讨论6 则为任一椭圆方程则为任一椭圆方程 ， ， 210 2 210 2 12

10、1020 1020 kk k k 综上所述综上所述：两个频率相同：两个频率相同 的互相垂直的简谐振动合的互相垂直的简谐振动合 成后，成后，合振动在一直线上合振动在一直线上 或者在椭圆上进行或者在椭圆上进行当两个当两个 分振动的振幅相等时，椭分振动的振幅相等时，椭 圆轨道就成为圆。圆轨道就成为圆。 五、两个五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成垂直方向不同频率简谐运动的合成 合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论 视为同频率的合成：两个振动的相位差缓视为同频率的合成：两个振动的相位差缓 慢地变化，质点运动的轨道循环变化。慢地变化，质点运动的轨道循

11、环变化。 0 12 情况情况1：两个分振动的频率相差很小：两个分振动的频率相差很小 合成运动的轨道是封闭曲线，合成运动的轨道是封闭曲线， 运动也具有周期。这种运动轨运动也具有周期。这种运动轨 迹的图形称为迹的图形称为李萨如图形李萨如图形。 应用应用测量频率测量频率 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已 知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如 图形去比较，就可得知另一个未知的频率。图形去比较，就可得知另一个未知的频率。 情况情况2：两个分振动的频率相差较大，有简：两个分振

12、动的频率相差较大，有简 单整数比关系单整数比关系 55 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振 一、一、谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动 1、阻尼振动的概念、阻尼振动的概念 振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。 能量减小的原因：能量减小的原因： 1）磨擦阻力的存在）磨擦阻力的存在 2）引起邻近质点振动，）引起邻近质点振动， 以波的形式向周围传播能量。以波的形式向周围传播能量。 dt dx CCvFr 振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：弹

13、性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： 2、阻尼振动的运动方程、阻尼振动的运动方程 kx dt dx C dt xd m 2 2 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd m C 2 m k 2 0 固有角固有角 频率频率 阻尼阻尼 系数系数 情况情况1：欠阻尼欠阻尼 2 0 2 22 0 )cos()( 0 tAetx t 这种情况称为这种情况称为欠阻尼欠阻尼 阻力使周期增大阻力使周期增大 3、讨论、讨论 t 欠阻尼欠阻尼 )(tx 由初始条件决定由初始条件决定A和初相位和初相位 ,设设 0 0 0 0 ,)0(,0vvxxt t 即有即有： 000 00 cossin cos

14、 AAv Ax 2 2 002 0 )( xv xA 0 00 0 x xv tg t t eC eCtx )( 2 )( 1 2 0 2 2 0 2 )( t 过阻尼过阻尼 )(tx 无振动发生无振动发生 2 0 2 情况情况2：过阻尼过阻尼 t 临界阻尼临界阻尼 )(tx t etCCtx 21 )()( 情况情况3：临界阻尼临界阻尼 2 0 2 称之为临界阻尼情况。称之为临界阻尼情况。 应用在天平调衡中。应用在天平调衡中。 是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的到无周期性的临界点临界点。 22 0 m F f mm k ；令 2 ; 2 0 二、受迫振动二、受迫振动 强迫力强迫力

15、tF p cos Cv 阻尼力：阻尼力： tFkxCv dt xd m p cos 2 2 系统在周期性外力（外源）作用下产生的振动。系统在周期性外力（外源）作用下产生的振动。 动力学方程：动力学方程： tfx dt dx dt xd p cos2 2 0 2 2 )cos()cos()( 00 22 00 tAteAtx p t 经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解： )cos()( tAtx p 等幅振动的角频率就是强迫力的频率；等幅振动的角频率就是强迫力的频率； 稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为： 22222 0 4)(

16、 pp f A 22 0 2 p p tg 2 0 2 时，其解为：时，其解为： 当当 t x 结论：结论：1）强迫振动是由阻尼振动及由强迫力产）强迫振动是由阻尼振动及由强迫力产 生的振动的合成。生的振动的合成。 2）振动开始较复杂，尔后呈现稳定状态，）振动开始较复杂，尔后呈现稳定状态， 其稳定解为：其稳定解为： )cos()cos( 0 00 tAteAx p t )cos( 0 tAx p 强迫力提供的能量与克服阻力消耗的能量相等强迫力提供的能量与克服阻力消耗的能量相等 求振幅对频率的极值求振幅对频率的极值 22 0 2 r 共振角频率共振角频率 22 0 2 f Ar 共振振幅共振振幅

17、三、共振三、共振 1、共振的概念、共振的概念 当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振 动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位 移共振，简称移共振，简称共振共振。 0 4 22 2 22 0 pp p fA 2、共振角频率和共振振幅、共振角频率和共振振幅 , 0 r r A 0 当当 弱阻尼时弱阻尼时 共振发生在固共振发生在固 有频率处，称有频率处，称 为为尖锐共振尖锐共振。 3、 共振现象的应用共振现象的应用 我国古代就有大量的应用我国古代就有大量的应用: 天坛的回音壁天坛的回音壁 黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演 工程上的的应用工程上的的应用 簧频计簧频计 无线电中利用谐振电路选择信号无线电中利用谐振电路选择信号 C M C u 0 次声武器次声武器 呀！受不呀！受不 了啦！了啦！317HZ 4、共振的危害、共振的危害 应用应用 防止防止 钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； 收音机利用电磁共振进行选台；收音机利用电磁共振进行选台； 核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。 改变系统的固有频率或外力的频率；改变系