数列求和及求通项方法总结

1、-可编辑修改-n项和，均可用错位相减法n项求和消去一些项列出前n项求和消去一些项Sn数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前2n -1一例：已知数列an =-T-,求刖n项和Sn33、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项一,1. .1 ,11 、，形如an =,可裂项成an =-(),列出前n(n k)k n n k形如an = -r=,可裂项成 an =(Jn + k -7n),n 、n kk 1 一例：已知数列an =(n 2), a1=1,求刖n项和(n 7)(n 1)

2、4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列an =2n +2n 1,求前n项和Sn5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法8、换元法9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法再通求通项公式的基本思路无非就是 ：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列,过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析1、关系法：适用于sn = f(n)型求解过程：ana1 = s( n =1)sn -snA(n

3、之2)例：已知数列an的前n项和为Sn=n2+n+1,求数列an的通项公式2、累加法：适用于 an由=an + f (n)广义上的等差数列求解过程：若an 1 = an - f (n)则 a2 一a1 = f (1)a3 -a2 = f (2)an -an4 = f (n -1)n-1则 an = af (k)kdn -1所有等式两边分别相加得：an -a1 = f (k)k 1例：已知数列an满足递推式an =an1+2n+1(n之2), a1 =1,求an 勺通项公式3、累乘法：适用于 an中=f (n)an 广义上的等比数列.一一 .a求解过程：右 an41 = f(n)an,则=f(n

4、)an则匹=f ,a3 = f (2)/n- = f (n -1)aia2annn Ja.所有等式两边分别相乘得：,=口 f(k) 则an = a1n f(k)a1kzik 1例：已知数列an满足递推式an =2nan/(n之2),其中a1 =3,求Qn酌通项公式4、待定系数法：适用于 an4 = pan + f(n)形如an+ = pan +b( p, b为常数；p,b #0, p 0 1)型(还可用逐差法)求解过程：构造数列an由+k = p(an +k),展开得an* = pan+pk k ,因为系数相等，所bbb 以解万程 pk-k=b得k=，所以有：an+= p(an+)，这样就构造

5、出了p-1p1p -1一个以a1 +一b一为首项，公比为 p的等比数列,an +b。从而求得an的通项公式为p-1L p-1j/ b nJ=（ai） PP -1bP -1例：已知数列Ln 满足递推式an =2an+1（n之2）,其中a1=2，求/ 酌通项公式形如 an+ = pan +bn +c（p,b,c为常数；p,b #Q p #1）型形如 an+ = pan +bn2 +cn +d（p,b,c,d为常数；p,b #0, p#1）型形如 an+ = pan +m qn +d（m, p, q,d为常数；m, p,q =0; p, q 01）型形如 an-2 = pan由 +qan（p,q为常

6、数；p,q =0； p, q 01）型5、逐差法：形如an+ = pan +b（p,b为常数，p,b。0, p =1）,可以把n换成n 1有an = pan+ b ,两式相减得an书-an = p（an -an），这样就构造出了一个以 a?-4为首项，公比为p的等比 数列 A书-an ,再运用累加法求出 Q 的通项公式例：已知数列 右/满足递推式an =2an_1 +1（n 2）,其中a1=2，求Qn为勺通项公式q6、对数变换法：适用于 an+ = pan (q 01)型qq求解过程：当 p=1时，an.=an (q01),等式两边取对数有：ln(an中)=ln(an ),根据对数的运算法则有

7、：ln(an41) = q ln(an ),这样就构造了一个以ln(a1)为首项，公比为qn 1的等比数列ln(an)。从而求得 Gn的通项公式为an =a1一例：已知数列n卜荫足递推式an4=an2, a1 = 2,求数列心口的通项公式qq当p#1时，an = pan (q =1),等式两边取对数有：ln(an由)=ln( pan ),根据对数的运算法则有：ln(an书)=ln p+qln(an ),再运用待定系数法求出通项。例：已知数列&n满足递推式an+=2an3, 4=2,求数列n的通项公式7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a., ,例：已知数列an卜荫足递推式

8、为卡二-,a1=2,求数列an的通项公式an 48、换元法：适用于含根式的递推公式例：已知数列an满足递推式an 1= 1an +1 +an ,2a1 = 2,求数列an的通项公式9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明例：已知数列aj满足递推式an噌 = an+吗口，a1 = 8 ,求数列an的通项公 (2n 1)2(2n 3)9综合练习：1、已知数列 配满足递推式an =2an+1(n A2),其中a4=15求“，a2, a3;(2)求数列除的通项公式；(3)求数列 G的前n项和Sn；2变式：右 an =2an +n（n 之2） ? 右 an =2an-+n （n 之2） ?若 an =2an1+2 3n +2(n 之2) ?思考：若 an = 2an,+ n3(n 2 2) ?2、设在数列中，a=2, an不a2 22an,求数列Gn 的通项公式;3、数列an 的前n项和为Sn ,ai=1 ，an 1= 2Sn(n N )(1)求数列On的通项公式;求数列an 的前n项和Tn ；已知Sn是数列前 n 项和a2 = 2Sn+3& +2&+1=0(n 之 2,nw N*)。(1)求证an -1加等比数歹U；(2)求数列 以的前n项和Sn；n项和Sn5、已