1微分方程方程理论

1、微分方程概论1微分方程的一般理论1.1微分方程的一般形式一阶微分方程(1)芽 f(t，X)X(to) = xo其中f(t,x)是t和x的已知函数，x(t0) =x0为初始条件，又称 定解条件. 一阶的微分方程组知 fi(t，X1，X2，Xm) (T2 ,m)xi(to)(i = 1,2, ,m)方程组(2)又称为一阶正规方程组.如果引入向量T, (0) (0) .(0)、TX -(X1,X2,Xm) , Xo r(X1 ,X2 ,Xm )& dX2 dXm yidt dt dt 丿则方程组(2)可以写为简单的形式9(3)即与方程对于任dCf(t，x)x (to) = Xo(1)的形式相同，当

2、m =1时为方程(1). 高阶(n阶)的微分方程dnxdx厂 f(t；xGdX如果记d2S二yi =0,12，n),则方程为9心=f (t;yo,yi,，ynG，即可化为一阶方dtdt程组的形式因此，下面 主要对正规方程组(3)进行讨论.1.2微分方程解的存在唯一性正规方程组(3)的解存在且唯一的定理。定理1 (Cauchy-Pea no)如果函数f (t, x)在R：tt0 Ea, XX0兰b上连续，则方程(b 组(3)在t t0兰h上存在解x = (t)满足初值条件x0 =%t0)，此处h = min a,i，I M丿M = max(t,x) :-R定理2如果函数f (t,x)在R： t-

3、t兰a, x-x|兰b上连续，且满足李普希兹(Lipschitz) 条件(即存在正常数L使得f(t,x)一 f (t, x(2)兰L xx，其中(t, x),(t,x(2)w R ), 则方程组(3)满足初值条件x0二(t0)的解是唯一的.1.3微分方程的稳定性问题实际中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用从数学上来 看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化在实际问题中，干扰 因素是客观

4、存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的 微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题这里仍以方程组(3)为例讨论.1. 有限区间的稳定性如果f(t,x)在某个有限的区域G Rn 1内连续，且对x满足李普希兹条件，x-(t)(ab)是方程组(3)的一个特解，则当 X。充分接近于(t)(at0乞b)时，方程组(3)在a _t - b上满足初值条件x0 = x(t0)的解x = (t,t0, x0)有xlim(J(t,t0,X0)=屮(t) (a 兰t 兰 b)即对任意给定的名 0,总存在相应的6(名)0,当x0-即(t0) 6 (g)时，对一切

5、atb有Wt,t0,X。)屮(t) 则称方程组(3)的解x=(t)在有限区间a tb上是稳定的.2. 无限区间的稳定性如果X h(t)(t _to)是方程组的一个特解，X二(t,t,X0)(t _t。)是方程组(3)满 足初值条件X。二X(to )的解.对任意给定的；0 ,总存在相应的、；(；) 0 ,当X。一屮(to) (勒)时，对一切t王to有牧t,to,X。)一W(t) 0,总存在恥)0和口(毎)，使得当Xo -即(to) 0(0时有|R(t, x)孑佝则方程组(4 )有满足初值条件Xo (to)的解X = (t,to,Xo)(t 如).且当t to时有*(t, to , X。)-屮(t

6、)|“就说方程组(3)的特解x=(t)在经常扰动下是稳定的.5. 研究稳定性的方法实际中，要研究方程组(3)的解x=-(t)的稳定性问题，可以转化为研究方程的零解(平凡解)的稳定性问题事实上：对于方程组(3)的任一特解 x = (t)，只要令y = x(t)，贝U理 _ dx d- (t) dt 一 dt 一 dt=f (t, y- (t) 一 f (t,*(t)r g(t, y)显然有g（t,0） =0 故方程组（3）变为dy 丄、 g（t, y）（5）dt于是可知方程组（3）的解x =（t）对应于方程组（5）为y二0 （平凡解）因此，要研究方程组（3）的x =（t）的稳定性问题可转化为研究

7、方程组（ 5）的平凡解y = 0的稳定性问题.如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而， 实际中这种情况太少了因此，一般性的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对 具体问题做相应的研究.2微分方程的平衡点及稳定性2.1微分方程的平衡点设有微分方程组（3）,对于x= （Xi,X2,，XnT e Rn,ta,b, f （t, x）在某个区域内连 续，且满足解的存在唯一性条件如果存在某个常数x ，Rn，使得f （t, x 0）=0，则称点x 0为方程组（3）的平衡点（或奇点），且称x = x0为方程组的平凡解（或奇解）.如果对所有可能初值条件，方程组（3）

8、的解x （t）都满足lim-二 x0t则称平衡点x0是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的.实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法3.间接方法：首先求出方程的解 x= （t），然后利用定义im_t （t）二x0来判断. 直接方法：不用求方程的解直接的来研究其稳定性.2.2 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程 = f（x），其相应的平衡点为代数方程f （x） = 0的实根x = X。.其稳定性可以用间接方法判断，下面说明直接方法.dx1ddtdx2.dt(7)记系数矩阵为AxiXifx2gX2且假设其行列式A = 0，则方程组(7)的特征方程为首先，将函数f(x)在Xo点作一阶

9、泰勒(Taylor)展开，即方程可以近似地表示为 密二 f (X)(X -X。)dt显然，Xo也是该方程的一个平衡点，其稳定性主要取决于f (Xo)符号，即有下面结论:若f (x0) : 0，则平衡点Xo是稳定的；若f (x0 ) 0，则平衡点是不稳定的.2.3平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为(6)愕=f(X1,X2)dx2g(xix) .dt则称代数方程组f ( xi , X2 ) = 0、g(Xi,X2)=0的实根xx(0), x2 =x20)为平面方程组 的平衡点，记为P0(x；0), x20).如果对所有可能 的初值条件 方程的解为x1(t), x2(t)满足问一兀“化阿兀二x20)则称平衡点F0(x；0), x20)是稳定的；否则是不稳定的.也可以用直接方法讨论. 将方程组(6)的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组二 fxi(x10),x20)(Xi -xf) fx2 (x10),x20)(X2 -x20)= gXi(Xi(0),x20)(xXi(0) - gx2(Xi?x20)(X2 -x20)2A 丸 I =0 ,即丸 + ph +q =0其中p = -(fx +gX2),q = a，九为特征根.不妨