【教学随笔】几何概型问题归类解析

1、几何概型问题归类解析几何概型问题主要分为三类：测度为长度的几何概型、测度为面积的几何概型、测度为体积的几何概型.其分类主要由中的确定，当分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因此，解题时只要能准确理解“测度”的意义，将问题归结为相应的类型进行求解，不难使问题得解.类型一：测度为长度的几何概型例1某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.分析：每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是

2、指点落在区间上.解：设上辆车于时刻到达，而下辆车于时刻到达，线段的长度为10，设是线段上的点，且的长度等于7，如图所示.记等车时间不超过7分钟为事件，事件发生即当点落在线段上，即，.所以.答：等车时间不超过7分钟的概率是.评注：我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决. 测度为长度问题时，画线段图，可使问题直观易解.类型二：测度为面积的几何概型例2在线段上任取两点、，在、处折断此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率.分析：对于复杂的实际问题，解题的关键

3、是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概率问题，利用几何概率公式求解.解：设之长为，而、之长度各为，由于、在线段上，因而应有，由此可见，点与正方形中的点是一一对应的，先设，这时，能构成三角形的条件是：，由于，代入上面三式，得：，.符合此条件的点必落在中，如图.同样地，当时，当且仅当点落在中，能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为评注：本题容易忽视对三角形的构成条件的全面讨论，从而造成概率计算上的错误例3甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1h，乙船是2h，求它们中的任何一艘都不需要等

4、待码头空出的概率.分析：设甲乙两艘船到达码头的时刻分别是、，则、均可能取区间内的任一值，即，.而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，也就是要求两船不可能会面.那么必须甲比乙早到1h以上，也即要求.或者乙比甲早到2h以上，即要求.在平面上建立直角坐标系，如图，则的所有可能结果是边长为24的正方形.而两艘船不可能会面的时间由图中阴影部分所表示，这是一个几何概型问题.解：依上述分析，记表示“两艘船都不需要等码头空出”.则，即它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率为.评注：本题的难点是引入两个变量、，分别用来表示两船到达的时刻，并将它们组成有序数组，即点，这是一种构造思维，体现了以形助数.类型三：测度为体积的几何概型例6在正方体中，棱长为1，在正方体内随机取点，求使四棱锥的体积小于的概率.分析：需求四棱锥的高的变化范围.解：设到面的距离为，则，.只要点到面的距离小于.所有满足点到面的距离小于的点组成以为底面，高为的长方体，其体积为，