高等数学第9章试题

1、高等数学第9章试题高等数学院系_学号_班级_姓名_得分_题号选择题填空题计算题证明题其它题型总分题分2020202020核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、 设 是由z及x2+y2+z21所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A. I1I2I3; B. I1I3I2; C. I2I1I3; D. I3I2I1. 答 ( )2、 设f(x,y)为连续函数，则积分 可交换积分次序为 答 ( )3、 设是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在上连续，则等于(A) (B) (C) (D) 答 ( )4、 设

2、u=f(t)是(,+)上严格单调减少的奇函数，是立方体：|x|1;|y|1;|z|1.I= a,b,c为常数，则(A) I0 (B) I0 (B) I0(C) I=0 (D) I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv 答 ( )20、 设为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理而V为的体积，则：(A) 若f(x,y,z)分别关于x,y,z为奇函数时f(,)=0(B) 必f(,)0(C) 若为球体x2+y2+z21时f(,)=f(0,0,0)(D) f(,)的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系 答 ( )二、填空题（共 20 小题，20 分）1、 根据二重积分的

3、几何意义 =_. 其中D：x2+y21.2、 设是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。则质量的三重积分公式为_.3、 设D：x2+y22x,由二重积分的几何意义知=_.4、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)0,则的几何意义是_.5、 二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为_.6、 设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_.7、 根据二重积分的几何意义 其中D：x2+y2a2,y0,a0.8、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域i(i=1,2,n)，在每一个小区域i上任取

4、一点(i,i),如果极限存在(其中入是_)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作9、 设积分区域D的面积为S，则 10、 设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=f(xy)2所围立体的体积可用二重积分表示为_.11、 设f(x,y,z)在有界闭区域上可积，=12,，则I=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+_ _。12、 设为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。则关于直线 的转动惯量的三重积分公式为_.13、 设D：x2+y24,y0,则二重积分 14、 设1:x2+y2+z2R2,2:x2+y2+z2R

5、2;x0;y0;z0.u=f(t)是(,+)上的偶函数，且在(0，+)上严格单调增加，则(A) xf(x)dv=4xf(x)dv (B) f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C) f(x+y)dv=4f(x+y)dv (D) f(xyz)dv=4f(xyz)dv 答（ ）15、 二次积分f(x,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为_.16、 =_。17、 设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为(x,y)，如果(x,y)在D上连续，则薄片的质量m=_.18、 设区域D是x2+y21与x2+y22x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_.19、 设为一有界闭区

6、域，其上各点的体密度为(x,y,z).设M为其质量，而 ( , )为其重心，关于xoy平面的静矩定义为：Mxy = M, Mxy的三重积分计算式为_.20、 设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域i(i=1,2,n),在每一个小区域i任意选取一点(i,i),如果极限 (其中入是i(i=1,2,n)的最大直径)存在，则称此极限值为_的二重积分。三、计算题（共 20 小题，20 分）1、 计算二重积分其中2、 设是由x=0,y=0,z=0,x=1y2及所围的有界闭区域。计算I=.3、 设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=x,y=x所围的有界闭区域(0ab;0b0)所确定

7、的闭区域。试计算7、 计算二重积分 其中D：0ysinx, .8、 计算二重积分 其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p(p0)所围成的区域。9、 设是由曲面z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所围位于x0及y0部分的闭区域。试计算I=10、 计算三重积分I=，其中是由所围位于部分的立体11、 设是由a2x2+y22a2 (a0)，y0，z0以及所确定的闭区域。试计算12、 计算二重积分 其中D：x2+y21.13、 由二重积分的几何意义，求14、 计算二重积分 其中积分区域D是x2+y2a2 (a0).15、 设是由以及0zsin(x+y)所确定的立

8、体。试计算16、 计算二次积分 17、 计算二重积分其中18、 计算二重积分 其中D：xy,0x1.19、 设是由,y=0,z=0及所围的有界闭区域。试计算.20、 计算二重积分 其中D是由直线x=2,y=0,y=2及左半圆x= 所围成的区域。四、证明题（共 20 小题，20 分）1、 试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。2、 设f(t)是连续函数，证明 3、 锥面x2+y2z2=0将闭区域x2+y2+z22az (a0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.4、 设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和

9、D2，证明 5、 设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明 6、 设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明： 其中是D的面积。7、 设为单位球体x2+y2+z21,试证可选择适当的坐标变换，使得 (a2+b2+c2=1)8、 设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证9、 设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明： 10、 设f(x)是a,b上的连续正值函数，试证不等式： 其中D：axb,ayb.11、 设f(u)为连续函数，试证 12、 设是上半单位球体x2+y2=z21,

10、z0,f(x,y,z)在上连续，试利用球面坐标积分方法证明(，)使得13、 设p(x)是a,b上的非负连续函数，f(x),g(x)是a,b上的连续单增函数，证明 14、 设f(x)是0,1上的连续单增函数，求证： 15、 设为由1所确定的立体(0abc)，其密度函数=(z)为关于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2(z)dvI(0,0,c).16、 设是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,

11、z)在上连续，试证：(，)满足17、 证明： 其中n为大于1的自然数。18、 设f(x,y,z)在有界闭区域上连续，若f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)V,V为的体积，试证：当f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在必是一个常数。19、 设为区域x2+y2+z21,P0(x0,y0,z0)为外的一点，试证：。20、 设f(x)是0,1上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式： 五、其它题型（共 20 小题，20 分）1、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。2、 按照三重积分的定义：.试问这里的,(i,i,i)分别代表什么

12、?3、 设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。4、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。5、 是由x2+y2+z22Rz (R0)所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式。6、 在形状为z=x2+y2的容器内注入k立方单位的水，问此时水平面高度为多少，并求出高度对k的变化率。7、 设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。8、 试求由封闭曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a0)所围立体的体积。9、 设是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I=分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。10、 将积分化为在极坐标系中先对r积分的累次积分。11、 是边长分别为a,b,c的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求是质量。12、 F(t)=,其中f(u)为连续的偶函数，区域t:由|x+y+z|t,|xy+z|t,|x+yz|t来确定。求。13、 设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。14、 平面薄片由曲线,x=0及所围成，其面密度函数为(x,y)=x.试求薄片质量。15、 将积分化为在极坐标系中的累次积分，其中D是由直线y=x,y=x及