《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析汇报

1、实用标准文案二次根式及一元二次方程一、选择题1估算的值（）A在 1和2之间B在 2和 3之间C在 3和4之间D在 4和 5之间2要使+有意义，则 x 应满足（）A x3Bx3 且 xCx3Dx33已知方程 x2+bx+a=0有一个根是 a（ a 0），则下列代数式的值恒为常数的是 （）AabBCa+b Dab4已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（）A没有实数根 B 可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根5武汉市 2016 年国内生产总值（ GDP）比 2015 年增长了 12%，由于受到国际金融危机的影响，

2、预计今年比 2016 年增长 7%，若这两年 GDP年平均增长率为 x%，则 x%满足的关系是（）A12%+7%=x%B（ 1+12%）（ 1+7%）=2（1+x%）C12%+7%=2? x%D（ 1+12%）（ 1+7%） =（ 1+x%） 26下列各式计算正确的是（）AB（a1）CD7关于 x 的方程（ a5）x2 4x1=0 有实数根，则 a 满足（）Aa1Ba1 且 a 5C a1 且 a5Da58设 a， b 是方程 x2+x 2016=0的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（）A2014B2017C2015D 2016文档实用标准文案9方程（ x3）（ x+1） =x3 的解是（

3、）Ax=0 B x=3 Cx=3 或 x=1D x=3 或 x=010方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰， 则这个三角形的周长为 （）A12 B12 或 15 C15D不能确定11定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知 ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）Aa=c B a=b Cb=c Da=b=c12如图，已知双曲线 y=（k0）经过直角三角形 OAB斜边 OA的中点 D，且与直角边 AB相交于点 C若点 A 的坐标为（ 6， 4），则 AOC的面积

4、为（）A12B9C6D4二、填空题13化简=14计算的结果是15计算：+ =16如果方程 ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是222的值为17设 x1， x2 是一元二次方程 x 3x2=0 的两个实数根，则 x1+3x1x2+x218已知 x=1 是一元二次方程222x+mx+n=0的一个根，则 m+2mn+n的值为19请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程：（答案不唯一）20关于 x 的一元二次方程 x2 mx+2m1=0 的两个实数根分别是x1、x2，且 x12+x22=7，则（ x1x2）2 的值是21若把代数式 x2 2x 3 化为（ xm）2 +k 的形式，

5、其中 m， k 为常数，则 m+k=22将根号外面的因式移进根号后等于文档实用标准文案23若正方形 OABC的顶点 B 和正方形 ADEF的顶点 E 都在函数的图象上若正方形 OABC的面积为 1，则 k 的值为；点 E 的坐标为三、解答题24计算：25用配方法解方程： 2x2+1=3x26已知 关于 x 的一元二次方程x2 （ 2k+1）x+4k3=0（ 1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（ 2）当 Rt ABC的斜边长 a= ，且两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，求 ABC的周长27已知一元二次方程x2 2x+m=0（ 1）若方程有两个实数根，

6、求 m的范围；（ 2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m的值2228已知关于 x 的一元二次方程x =2（1m）xm 的两实数根为 x1 ，x2（ 1）求 m的取值范围；（ 2）设 y=x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值文档实用标准文案二次根式及一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1估算的值（）A在 1和2之间B在 2和 3之间C在 3和4之间D在 4和 5之间【考点】估算无理数的大小【专题】应用题【分析】首先利用平方根的定义估算31 前后的两个完全平方数25 和 36，从而判断的范围，再估算的范围即可【解答】解： 5634故选 C【

7、点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分2要使+有意义，则 x 应满足（）A x3Bx3 且 xCx 3Dx3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，解不等式得， x3，解不等式的， x，所以，x3故选： D【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数文档实用标准文案3已知方程 x2+bx+a=0有一个根是 a（ a 0），则下列代数式的值恒为常数的是 （）AabBCa+b Dab【考点】一元二次方程的解【分析】本题根据

8、一元二次方程的根的定义，把x= a 代入方程，即可求解【解答】解：方程x2+bx+a=0有一个根是 a（a0），2（ a） +b（ a）+a=0，等式的两边同除以a，得 ab+1=0，故 a b=1故本题选 D【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论4已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（）A没有实数根 B 可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况能

9、够根据三角形的三边关系，得到关于a， b， c 的式子的符号【解答】解： =（ 2c）24（a+b）2=4c 2（ a+b）2 =4 （a+b+c）（ c a b），根据三角形三边关系，得cab0， a+b+c0 0该方程没有实数根故选 A【点评】本题是方程与几何的综合题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点重点是对（2c） 2 4（a+b）（ a+b）进行因式分解文档实用标准文案5武汉市 2016 年国内生产总值（ GDP）比 2015 年增长了 12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比 2016 年增长 7%，若这两年 GDP年平均增长率为 x%，则 x%满足的关

10、系是（）A12%+7%=x%B（ 1+12%）（ 1+7%）=2（1+x%）C12%+7%=2? x% D（ 1+12%）（ 1+7%） =（ 1+x%） 2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（ 1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程， 即 x%满足的关系式【解答】解：若设2015 年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010 年和今年的国内生产总值分别为：2016 年国内生产总值： y（ 1+x%）或 y（1+12%），所以 1+x%=1+12%，今年

11、的国内生产总值： y（1+x%）2 或 y（1+12%）（ 1+7%），2所以（ 1+x%） =（1+12%）（ 1+7%）【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程6下列各式计算正确的是（）AB（a1）CD【考点】二次根式的混合运算；立方根【分析】 A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；文档实用标准文案C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了【解答】解： A、，本答案错误；B、（a1），本答案正确；C、，本

12、答案错误；D、=4 2，本答案错误故选 B【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键7关于 x 的方程（ a5）x2 4x1=0 有实数根，则 a 满足（）Aa1Ba1 且 a 5C a1 且 a5Da5【考点】根的判别式【专题】判别式法【分析】由于 x 的方程（ a 5） x2 4x 1=0 有实数根，那么分两种情况：（1）当 a5=0 时，方程一定有实数根； （2）当 a50 时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出 a 的取值范围【解答】解：分类讨论：当 a5=0 即 a=5 时，方程变为 4x1=0，此时方

13、程一定有实数根；当 a50 即 a 5 时，关于 x 的方程（ a 5） x24x 1=0 有实数根 16+4（a5） 0， a1 a 的取值范围为 a 1故选： A【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0）的根的判别式 =b24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件文档实用标准文案8设 a， b 是方程 x2+x 2016=0的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（）A2014B2017C2015D 2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【专题】压轴题

14、【分析】由于 a2+2a+b=（ a2 +a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解【解答】解： a 是方程 x2+x2016=0 的根， a2+a=2016；由根与系数的关系得： a+b=1， a2+2a+b=（ a2 +a）+（a+b） =20161=2015故选： C【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形9方程（ x3）（ x+1） =x3 的解是（）Ax=0 B x=3 Cx=3 或 x=1D x=3 或 x=0【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】计算题；

15、压轴题【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x3），提公因式，降次即可求得【解答】解：（ x 3）（ x+1）=x3（ x 3）（ x+1）（ x3）=0（ x 3）（ x+11）=0 x1=0，x2=3故选 D【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x3 当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果10方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 （）文档实用标准文案A12B 12 或 15 C 15D不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系【专题】分类讨论【分析】先解一元二次方程，

16、由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长【解答】解：解方程x2 9x+18=0，得 x1=6， x2=3当底为 6，腰为 3 时，由于 3+3=6，不符合三角形三边关系等腰三角形的腰为6，底为 3周长为 6+6+3=15故选 C【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论11定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知 ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）Aa=c B a=b Cb=c Da=b=c【考点】根的判别式【专题】压轴题；

17、新定义【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式=b24ac=0，又 a+b+c=0，即 b=ac，代入 b2 4ac=0 得（ ac）2 4ac=0，化简即可得到 a 与 c 的关系【解答】解：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根， =b2 4ac=0，又 a+b+c=0，即 b=ac，代入 b24ac=0 得（ ac）2 4ac=0，即（ a+c）2 4ac=a2+2ac+c24ac=a2 2ac+c2=（ac）2 =0， a=c故选 A【点评】一元二次方程根的情况与判别式的关系：（ 1） 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0? 方程有两个相等的实

18、数根；文档实用标准文案（ 3） 0? 方程没有实数根12如图，已知双曲线 y= （k0）经过直角三角形 OAB斜边 OA的中点 D，且与直角边AB相交于点 C若点 A 的坐标为（ 6，4），则 AOC的面积为（）A12B9C6D4【考点】反比例函数系数k 的几何意义【专题】压轴题【分析】 AOC的面积 =AOB的面积 BOC的面积，由点 A 的坐标为（ 6，4），根据三角形的面积公式，可知 AOB的面积 =12，由反比例函数的比例系数 k 的几何意义，可知 BOC的面积 = |k| 只需根据 OA的中点 D 的坐标，求出 k 值即可【解答】解： OA的中点是 D，点 A 的坐标为（ 6，4），

19、 D（ 3， 2），双曲线 y= 经过点 D， k=32= 6， BOC的面积 = |k|=3 又 AOB的面积 = 64=12， AOC的面积 =AOB的面积 BOC的面积 =123=9故选 B【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即S= |k| 二、填空题13化简=0文档实用标准文案【考点】二次根式有意义的条件【分析】由 1x0，x10，得出 x 1=0，从而得出结果【解答】解： 1x0，x10， x1=0，=0【点评】二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：

20、二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义14计算的结果是4【考点】算术平方根【专题】常规题型【分析】根据算术平方根的定义解答即可【解答】解：=4故答案为： 4【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理15计算：+=3【考点】二次根式的加减法【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式【解答】解：原式 =2+=3【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不

21、变16如果方程 ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是a 1 且 a0【考点】根的判别式【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：文档实用标准文案（ 1）二次项系数不为零；（ 2）在有不相等的实数根下必须满足 =b24ac0【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得 a1 且 a0故答案为： a 1 且 a0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件17设 x1，x2 是一元二次方程2的两个实数根，则22的值为 7x 3x2=0x1+3x1x2 +x2【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系，可

22、求出 x1+x2 以及 x1x2 的值，然后根据 x12 +3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2 进一步代值求解【解答】解：由题意，得：x1+x2 =3，x1x2=2；原式 =（ x1+x2） 2+x1 x2=92=7故答案为： 7【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键2+mx+n=0的一个根，则2218已知 x=1 是一元二次方程 xm+2mn+n的值为 1【考点】一元二次方程的解；完全平方公式222【分析】首先把 x=1 代入一元二次方程 x+mx+n=0中得到 m+n+1=0，然后把 m+2mn+n利用完全平方公式分解因式即可求出结果【解答】解： x=1 是一

23、元二次方程x2+mx+n=0的一个根， m+n+1=0， m+n=1，2222=1 m+2mn+n=（ m+n） =（ 1）故答案为： 1【点评】此题主要考查了方程的解的定义， 利用方程的解和完全平方公式即可解决问题19请你写出一个有一根为1 的一元二次方程：x2=1（答案不唯一）文档实用标准文案【考点】一元二次方程的解【专题】开放型【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可【解答】解：根据题意x=1 得方程式 x2=1故本题答案不唯一，如x2 =1 等【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（ y

24、 1）（ y+2）=0，后化为一般形式为 y2+y2=020关于 x 的一元二次方程 x2 mx+2m1=0 的两个实数根分别是 x1、x2，且 x12+x22=7，则（ x1x2）2 的值是13【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2 和 x1x2 的值，然后根据 x12+x22 的值求出 m（需注意 m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解【解答】解：由题意，得：x1+x2 =m，x1x2=2m1；则：（ x1+x2 ）2=x12+x22+2x1 x2，2即 m=7+2（ 2m1），解得 m= 1， m=5；2当 m=5时， =m4（2m 1

25、） =254 9 0，不合题意；故 m=1，x1+x2=1，x1x2=3；（ x1x2）2=（ x1 +x2） 24x1x2=1+12=13【点评】此题用到的知识点有： 根与系数的关系、 根的判别式、完全平方公式等知识 本题需注意的是在求出 m值后，一定要用根的判别式来判断所求的 m是否符合题意，以免造成多解、错解21若把代数式 x2 2x3 化为（xm）2+k 的形式，其中 m，k 为常数，则 m+k= 3【考点】完全平方公式【专题】配方法【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x22x3=x2 2x+1 4=（x1）2 4，可知 m=1k=4，则 m+k= 3【解答】解： x2 2x3=x

26、2 2x+14=（x1）24，文档实用标准文案 m=1， k=4， m+k=3故答案为： 3【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键完全平方公式：（ ab）2=a22ab+b222将根号外面的因式移进根号后等于【考点】二次根式的性质与化简【专题】计算题【分析】先根据二次根式定义得到a0，然后根据二次根式的性质把a 转化为，再利用乘法公式运算即可【解答】解：0， a0，原式 =（ a） ?=故答案为【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a0）为二次根式；=|a| ；= ?（ a 0， b 0）等23若正方形 OABC的顶点 B 和正方形 ADEF的顶点 E 都在函数的

27、图象上若正方形 OABC的面积为 1，则 k 的值为1；点 E 的坐标为（+，）【考点】反比例函数系数k 的几何意义【分析】（ 1）根据正方形 OABC和正方形 AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC的边长为 1，得出 B 点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（ 2）由于 D点在反比例函数图象上，用a 和正方形 OABC的边长表示出来E 点坐标，代文档实用标准文案入 y=（x0）求得 a 的值，即可得出D点坐标【解答】解：正方形 OABC和正方形 AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC的边长为 1 B点坐标为：（ 1，1），设反比例函数的解析式为 y

28、= ； xy=k=1，设正方形 ADEF的边长为 a，则 E（1+a，a），代入反比例函数y=（x0）得： 1=（1+a） a，又 a0，解得： a=点 E 的坐标为：（+，）【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用 xy=k 得出是解题关键三、解答题24计算：【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】原式 =3+42 2+=52+22=3【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决

29、此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算225用配方法解方程： 2x +1=3x文档实用标准文案【专题】计算题【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式， 右边是常数的形式， 再利用直接开平方的方法即可求解【解答】解：移项，得2x2 3x=1，二次项系数化为1，得，配方，由此可得， x1=1，【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（ a 0）的形式

30、，然后再配方求解26已知 关于 x 的一元二次方程x2 （ 2k+1）x+4k3=0（ 1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（ 2）当 Rt ABC的斜边长 a= ，且两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，求 ABC的周长【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理【专题】计算题【分析】（1）根据 0 即可证明无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（ 2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于 b，c 的方程，解出 b，c 即可得出答案【解答】解：（ 1）关于 x 的一元二次方程 x2 （ 2k+1）x+4k3=0， =（2k+1）24（4k 3） =4k212k+13=4+40 恒成立，故无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（ 2）根据勾股定理得： b2+c2 =a2=31因为两条直角边 b 和 c 恰好是这个方程的两个根，文档实用标准文案则 b+c=2k+1， bc=4k3，222因为（ b+c） 2bc=b +c =