关于电流回路之间的相互作用

1、 本本科科毕毕业业论论文文 题目：关于电流回路之间的相互作题目：关于电流回路之间的相互作 用用 目目 录录 1.引言.1 2.磁场.1 3. OERSTED 实验的重大发现. .1 4. 弯折载流导线对磁极作用力的实验,BIOT-SAVART-LAPLACE 定律的建立 .2 4.1 ORESTED实验的分析 .2 4.2 BIOT和 SAVART的载流长直导线对磁极作用力的实验 .3 4.3 比奥-萨伐尔定律的建立 .5 5用安培定律来证明“两个任意回路之间的相互作用” 。.8 6. 总结.11 7. 参考文献.12 8.致谢.13 关于电流回路之间的相互作用关于电流回路之间的相互作用 摘要

2、摘要： 在电磁学教学中已谈过载流导线之间的相互作用问题，但对弯折 导线之间的相互作用没有进行深刻的讨论在本文中运用比奥-萨伐尔定律，对弯 折载流导线之间的相互作用，进行较深刻的定量分析，及证明载流导线之间相 互作用力服从牛顿第三定律. 关键词关键词：相互作用；比奥-萨伐尔定律；牛顿定律；弯折载流导线 本科毕业论文 1.1.引言引言 1820 年 7 月 21 日，丹麦物理学家 Hands Christian Oerted(1777-1851 年)向 科学界宣布他发现了电流的磁感应.这一重大发现第一次揭示了电与磁的关系， 突破了长期以来认为电与磁不相干的僵固的观念，开创了电磁学家研究的新纪 元，

3、电磁学作为一个同意的学科从此正式宣告诞生，对科学技术的发展起着难 以估量的巨大作用. 2.2.磁场磁场 如果把铁或磁针放在磁体附近，它们会受到一种力的作用。看来，磁体周 围有一种物质，这种物质看不见，摸不着，我们把它叫做磁场。在物理学中， 许多看不见，摸不着的物质，可以通过它对其他物体的作用来认识。像磁场这 种物质，我们用实验可以感知它，所以它是确确实实存在的。 存在静止电荷的周围存在着电场，如果电荷在运动，那么在它的周围就不 仅有电场，而且还有磁场。不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也称为 “静磁场” 。 随时间变化的磁场叫做交变磁场。稳恒电流激发的磁场就是一种 稳恒磁场。运动的电荷（或电

4、流）要产生磁场，磁场又会对其他的运动电荷 （或电流）有作用力。 磁场对外重要的表现是：（1）磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载流 导体有磁力的作用；（2）载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力将对载流导 体作功，可以说磁场具有能量，下面根据磁场的历史发展，说明载流导线产生 磁场，反过来磁场作用于载流导线的相互作用. 3. Oersted 实验的重大发现. . 早在 18 世纪 30 年代，就有人描述过雷电能使刀，叉，钢针磁化的现象.18 世纪 50 年代 Franklin 发现菜顿瓶放电可使焊条，缝衣针磁化.在这些事实的启 本科毕业论文 示下，有些自然哲学家曾猜想电与磁之间可能有某种关系.但从

5、18 世纪 80 年代 到 19 世纪初，一些著名的物理学家却坚持认为电与磁是截然不同，并无关系的 两回事.发现电力定律和磁力定律的 Coulomb 在 1780 年指出电和磁是两个完全 不同的东西，尽管它们的作用力的规律在数学形式上相同，但它们的本质却完 全不同.1820 年，Ampere 认为，电现象和磁现象是有两种彼此独立的不同流体 产生的.1807 年，T. Young 说，没有任何理由去设想电与磁之间存在任何直接的 关系.在这种思想的支配下，当然不会去寻找电与磁之间的联系. 然而，深受 Kant(康德)哲学影响的 Oersted 却相信电与磁之间存在着联系， 经过努力地寻找，终于获得

6、成功.开始时，Oersted 沿着电流的方向放置磁针， 试图寻找电流对磁针的作用，均以失败告终.于是他猜想电流对磁针的作用是否 可 能是横向的.1820 年 4 月，Oersted 在讲授电，伽伐尼电和磁的课程时，做了一 个实验，他使一个小伽伐尼电池的点流通过一条细铂丝，铂丝放在一个带玻璃 罩的指南针上，结果盒中的磁针被扰动了，尽管效应很弱，看上去也不规则， 并未给听众留下强烈的印象，但却是可贵的新发现.事后，Oersted 使用更大的 电池做了许多同样的实验.Oersted 还在磁针和载流导线之间放入玻璃，金属， 木头，水，树脂，陶器，石头，磁针的偏转并未因此减弱或消失.由此 Oersted

7、 终于证实“电流的磁效应是围绕着电流，呈圆环形的”.1820 年 7 月 21 日， Oersted 撰写了只有 4 页的题为关于点冲击对磁针影响的实验的论文，宣布 了他的这一重大发现.后来 Biot-Savart 发现载流导线周围分布的磁场，下面我们 再一次进行讨论 Biot-Savart 定律的建立过程. 4.4.弯折载流导线对磁极作用力的实验弯折载流导线对磁极作用力的实验,Biot-Savart-,Biot-Savart- LaplaceLaplace 定律的建立定律的建立 4.14.1 OrestedOrested 实验的分析实验的分析 在着手定量的实验之前，Biot 和 savart

8、 对 Oersted 实验作了认真的考察和细 致的分析.前已指出，Oersted 实验的具体结果，载流长直导线使与之平行的磁 本科毕业论文 电流元 r 磁极 针围绕着电流沿横向偏转.对此，Biot 和 Savart 认为，这是磁针的两个磁极分别 受到载流长直导线作用力的结果.由于磁针横向偏转，合理的解释或猜测是，如 图所示，磁极受载流长直导线的作用力应垂直于由磁极和直导线构成的平面 （图中的纸平面）即为横向力.这样两个磁极（北极与南极）受到的作用力大小 相等，方向相反，导致磁针横向偏转.显然，载流长直导线是由许多同方向的电 流元构成的.载流长直导线对磁极的作用力应是构成它的各个同方向电流元对磁

9、 力的作用力之和.因而简单而合理的解释或猜测是，如图（a）所示，电流元对 磁极的作用力应垂直于由磁极与电流元构成的平面（图中的纸平面） （b）,即也 应是横向力. 根据上述分析，电流元对磁极的作用力 是横向力，这表明其方向已经确定.至于作用 力的大小，不难设想，除了与电流元大小 （包括电流大小以及电流源的线度，即为 ） ，磁极强弱有关外，还应与几何因素Idl 有关.对于横向力，如图（b）所示，所谓几何因 素无非是电流元与磁极的距离 ，以及电流r 元的空间方位，即电流方向与该距离之间的夹角. 由此可见，在 Oersted 实验磁针横向偏转特征的 启发，Biot 和 Savart 作出了正确的分析

10、，把发现定 量规律的研究引向了正确的方向.紧接着 Biot 和 Sav （ 图 b） Art 设计了一些特殊的实验，试图寻找电流元对磁极 作用力与上述各量特别是与 和的定量关系.r 4.24.2 BiotBiot 和和 SavartSavart 的载流长直导线对磁极作的载流长直导线对磁极作 用力的实验用力的实验 实验一实验一：（图 2）测量长直载流导线对单位磁极的作用力 电流 磁极 （图 a） 本科毕业论文 Biot 和 Savart 的第一个实验是，利用磁针在载流长直导线附近振荡的方法， 测量载流长直导线对磁极的作用力.为了消除地磁的影响，实验时 先让磁针在地磁作用下振荡，然后，把补偿磁体沿

11、地磁子无线缓缓已近磁针， 直到磁针不振荡为止，这时补偿体便抵消了地磁作用在磁针上的力.再把载流长 直导线竖直的放在磁针附近，通以电流，磁针再度振荡，测出磁针的振荡周期. 改变载流长直导线与磁针之间的距离，测出在不同距离处磁针的振荡周期.实验 得出，磁针振荡周期的平方与磁针到载流长直导线的垂直距离成正比.因为振荡 周期的平方与期间的垂直距离成反比的定量结果. Biot 和 Savart 还做了如图所示的另一实验.在竖直的长直导线上悬挂一个水 平的有孔圆盘，沿盘的某一直径对称地放置一对固定磁棒（放两条一条磁棒时 提高一倍）.当长直导线中通入电流时，若它对磁极的作用力与该磁极到长直导 线的垂直距离成

12、反比，则每根磁棒两极（北极与南极）受到的力矩应大小相等， 方向相反，圆盘可以维持平衡；若磁极所受作用力与它到长直导线的垂直距离 不成反比，则每条磁棒所受非零力矩的方向相同（如图所示竖直向上或竖直向 下） ，于是圆盘就回扭转. Biot 和 Savart 实验的结果是圆盘精确地保持平衡，从 而证明载流长直导线对磁极的作用力与磁极到长直导线的垂直距离 成反比.r 值得注意的是，由以上两个实验得出作用力与垂直距离成反比时，已经利 用了作用力方向垂直于磁极和长直导线构成的平面的结论.应该说，后者并非实 验的直接结果，但也并无矛盾，所以可以认为这两个实验间接地验证了长直载 流导线对磁极作用力是横向力的结

13、论. 根据以上两个实验，Biot 和 Savart 得出的结论是：“从磁极到导线（引者注： 指载流长直导线）作垂线，作用在磁极上的力与这条垂线和导线都垂直，它的 大小与磁极到导线的距离（引者注：指垂直距离）成反比. 实验二实验二： 与 Oersted 实验相比，Biot 和 Savart 的以上两个实验 得出了定量结果，有所进步.然而由于载流长直导线两端 无限延伸，使得电流方位的影响被掩盖了，无法在试验 中反映出来.因此，问题的关键在于，在找到电流对磁极作用力与距离关系的同 时，更要找到作用力与电流方位的关系.这当然也只能通过特殊的实验来寻找， （图 2） （图 3） （图 2） 本科毕业论文

14、 为此，Biot 和 Savart 巧妙地设计了弯折载流导线对磁极作用力的实验，出色地 解决了问题. 如图 3 所示，Biot 和 Savart 把长直载流导线弯折成夹角为的折线，把磁2 极放在折线所在平面内与折线两半对称的点，点与弯折点点之间的距离ppA 为 .显然，当时，弯折导线还原为长直导线， 则是磁极到长直导线的垂r 2 r 直距离.当时，为弯折导线，它们的磁极作用的方向相同（都垂直于由磁 2 极与导线构成的平面）.这样的弯折导线既能确保构成闭合回路，又能将距离 （注意，在时， 是磁极与电流之间的距离，但不再是垂直距离）和方r 2 r 位角两个因素同时凸现出来. Biot 和 Sava

15、rt 的弯折载流导线对磁极作用力的实验得出，作用力的大小除与距 离 成反比外，还与弯折的角度有关.给定 ，当时，为对折导线，作用rr0 力为零；当时，为长直导线，作用力最大；当时，为弯折导线，作 2 4 用力约为最大作用力的 0.414 倍，此值与最为接近，于是得出，弯tantan 28 折载流导线对磁极作用力的定量公式为H 式（4-1）tan 2 I Hk r 式中是比例系数,与电流单位的选择以及磁极的强弱有关.显然， （4-1）式包kI 含了长直载流导线（）对磁极作用力的结果.若取磁极强弱为单位值，则 2 （4-1）式的就是单位磁极所受弯折载流导线的作用力，亦即历史上定义的磁H 场强度.

16、4.34.3 比奥比奥- -萨伐尔定律的建立萨伐尔定律的建立 前已指出，电流元对磁极的作用力,除与电流元大小，磁极强弱有关外，dH 还与（）有关，可表为为了除去磁极强弱的因素，可取单位磁极，, r( , )dH r 则理解为电流元对单位磁极的作用力.由此任意闭合电流对单位磁极的作用dH 力可由对电流积分得出，既有( , )H r( , )dH r （2.1） ( ,)dHdH r 式（4- 2） 本科毕业论文 （2.2） ( ,)HH r 它们的关系可表示为 dH dHdl dl 式（4-3）() H dH dr dl dlr dl 式中的是任意闭合电流中的微元，即电流元. dl Biot 和

17、 Savart 试图（4）寻找的定量规律就是的具体形式，理论分( , )dH r 析的任务即在于此.为此，利用弯折载流导线对单位磁极作用力的特殊实验结果 （4-1）式，求导得 2 1 2cos 2 HI k r 式（4-4） 2 1 tan 2 H k rr 有如图所示有几何关系： sindlrd sind dlr 或 式（4-cosdldr cos dr dl 5） 把（4） ， （5）式代入（3）式，并利用下述三角函数 的公式： 式（4- sin2sincos 22 sintan(1 cos) 2 6） 得 式（4-7） 2 sin Idl dHk r 写成矢量形式，为 （图 4） 本科毕

18、业论文 式（4-8） 3 Idlr dHk r 式中的方向是电流的方向，是从电流元到磁极的径矢，是电流元对dl r dH Idl 在处的单位磁极的作用.Biot 在 1823 年指出，把载流导线分解为许多电流元，r 经过数学分析得出普遍规律（8）式， “这是 Laplace 先生所做的工作.他从我们 的难测推导出载流导线上每一段产生的力元与距离平方成反比的特殊定律.”因 此， （8）式称为 Biot-Savart-Laplace 定律.它是 Biot-Savart 的实验工作与 Laplace 的理论分析相结合的产物. 应该指出，上述（4-1）式以及（4-4）式是根据弯折载流导线对磁极作用 力

19、的特殊实验得出的特殊结果.而上述（4-2）式， （4-3）式以及（4-5）式则是 电流元对磁极作用力的一般公式以及相应的几何关系.当将（4-4）式代入dH （4-3）式得出（4-7）式或（4-8）式是，实际上是将特殊结果（4-4）式推广使 用了，否则得出的（4-7）式或（4-88）式就不能作为普遍规律.显然，这种从特 殊到一般的做法并不严格，但却是建立物理定律的常用手段.任何具体的实验总 是特殊的，由此无法逻辑地得出普遍规律，所以得出物理定律的过程往往并不 严格，物理定律的正确性需由其一系列推论与实验相符才能确保.B. S. L. 定律 为我们提供了一个由特殊实验得出普遍规律的典型例证. 现代

20、，根据近距作用的场观点，上述 B. S. L.定律应理解为电流元产生磁场 的规律，即应将（4-8）式的改为,于是得出电流元在距离 处产生的dH dB Idl r 磁感应强度矢量（元磁场）为 式（4-9） 0 3 4 Idlr dB r 式中采用 MKSA 单位制，比例系数.(4-9)式就是现代 2 7 0 0 ,410 4 N A k 教科书中电流元产生磁场的公式，即现代形式的 Biot-Savart-Laplace 定律. 任意闭合载流回路产生的磁场，是其中各电流元产生的元磁场的矢量和，为 式（4-10） 0 3 4 Idlr B r 本科毕业论文 （10）式是 Biot-Savart-La

21、place 定律的积分形式.（4-10）式是矢量积分，对于 一般的载流回路，积分往往有困难.但如果电流分布具有某种对称性，积分就会 简单得多. B. S. L.定律只适用于恒定电流.对于非恒定电流，例如运动电荷产生的磁场， 由于有推迟效应，其形式比（4-9）式复杂得多.例如，匀速运动点电荷产生的磁 场为： 32 2 0 22 32 2 (1) 4 (1sin) qvrv B vc r c 式中与 是点电荷的电量与速度，是与点电荷相距处的磁场，是与qvB r v 的夹角，c 是真空中的速度. r B. S. L.定律可以看作是关于电流元之间相互作用力的 Ampere 定律的一部 分，即 Ampe

22、re 定律包括了 B. S. L.定律. 由 B. S. L.定律可以证明恒定磁场的 Gauss 定律和 Ampere 环路定理，它们表 明磁场是无源有旋的矢量场. 5 5用安培定律来证明用安培定律来证明“两个任意回路之间的相互作用两个任意回路之间的相互作用”。 前已指出，两个非接触物体之间的相互作用力是否遵循 Newton 第三定律， 关键在于是否存在传递作用力的煤介物-场，以及场的动量是否变化.两个非 恒定的电流元（例如两运动电荷）之间的相互作用力不遵循 Newton 第三定律 的原因即在于场的动量有所变化.不难设想，对于两个任意闭合恒定电流（恒定 电流必定是闭合的） ，由于场的动量没有变

23、化，期间的相互作用力应遵循 Newton 第三定律.为了避免因前者（两恒定闭合电流之间的作用力可以不遵循 Newton 第三定律）而怀疑后者（两恒定闭合电流之间的作用力遵循 Newton 第 三定律） ，现根据 Ampere 定律证明如下. 如图（5）所示两个任意闭合回路和，其中的恒定电流分别为和, 1 L 2 L 1 I 2 I 从回路中任一电流元到回路中任一电流元的距离为.由 B. S. L. 1 L 11 I dl 2 L 22 I dl 12 r 定律，闭合恒定电流回路在处产生的磁场为 1 L 2 I 2 dl 本科毕业论文 1 01112 12 3 12 4 L I dlr B r

24、由 Ampere 力公式， 受的作用力为 22 I dl 12 B 122212 dFI dlB 1 0 1 22112 3 12 () 4 L I Idldlr r 回路受回路的作用力为 2 L 1 L 1 1212 L FdF 12 0 122112 3 12 () 4 LL I Idldlr r 利用矢量公式 ()( . )( . )ABCAC BA B C 得 21 2112 3 12 () LL dldlr r 2121 21221 112 33 1212 (.)(.) LLLL dl rdl dl dlr rr （如图 5） 1 L 2 L 本科毕业论文 1221 21221 11

25、2 33 1212 .(.) LLLL dl rdl dl dlr rr 故 1221 0 1 221221 12112 33 1212 .(.) 4 LLLL I Idl rdl dl Fdlr rr 交换脚标 1 和 2，即可得出回路对回路的作用力为 2 L 1 L 2112 02 112112 21221 33 2121 .(.) 4 LLLL I Idl rdl dl Fdlr rr 因 1221 1221 1221 .dl dldl dl rr rr 故 1221 1221 2112 33 2112 (.)(.) L LLL dl dldl dl rr rr 利用上式，把与相加，得 12 F 21 F + 1221 FF 1221 0 1 221221 112 33 1212 .(.) 4 LLLL I Idl rdl dl dlr rr 2112 0 2 112112 221 33 2121 .(.) 4 LLL L I Idl rdl dl dlr rr 1221 0 1 2212121 11 33 1221 . 4 LLLL I Idl rdl r dldl rr 对于任意闭合回路，有 1 3 . 0 dl r r 本科毕业论文 式中是从任一固定点到的距离，是积分回路中的任一线元.（证明：把r dl dl 按垂直和