数学建模中的预测方法：时间序列分析模型

1、数学建模中的预测方法数学建模中的预测方法 应用案例：应用案例： （1 1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题；血管的三维重建问题； （2）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；的传播问题； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。艾滋病疗法的评价与预测。 1. 插值与拟合方法：小样本内部预测插值与拟合方法：小样本内部预测 应用案例：应用案例： （1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；奥运临时超市网点设计； （2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；电力市场的输电阻塞管

2、理； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。高校学费标准探讨问题。 2.回归模型方法：大样本的内部预测回归模型方法：大样本的内部预测 3.灰预测灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测：小样本的未来预测 应用案例应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；的传播问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；艾滋病疗法的评价

3、与预测； （4）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。高校学费标准探讨问题。 应用案例应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；的传播问题； （2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。艾滋病疗法的评价与预测。 5.神经网络方法：大样本的未来预测神经网络方法：大样本的未来预测 4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的 未来预测；未来预测； ARMA ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种

4、 精度较高的时间序列短期预测方法精度较高的时间序列短期预测方法. . 通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序 列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. . 三种基本类型：自回归（三种基本类型：自回归（ARAR：Auto-regressiveAuto-regressive）模型；）模型； 移动平均（移动平均（MAMA：Moving AverageMoving Average）模型；自回归移动平均）模型；自回归移动平均 （ARMAARMA：Auto-regressive Moving Average

5、Auto-regressive Moving Average）模型）模型 自回归序列：自回归序列： 1122tttptpt XXXXu 【1】 p p 【1 1】式称为】式称为 阶自回归模型，记为阶自回归模型，记为ARAR（ ） 注注1 1：实参数：实参数 称为自回归系数，是待估参称为自回归系数，是待估参 数数. .随机项随机项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为是相互独立的白噪声序列，且服从均值为 0 0、方差为、方差为 的正态分布的正态分布. . 随机项与滞后变量不相关。随机项与滞后变量不相关。 12 , p t u 2 注注2 2：一般假定：一般假定 均值为均值为0 0，否则令，否则令

6、 t X tt XX k Bk k tt k B XX 2 12 p tttptt XBXB XB Xu 记记 为为 步滞后算子，即步滞后算子，即 ，则模型，则模型 【1 1】可表示为】可表示为 2 12 ( )1 p p BBBB 令令 ，模型可简写为，模型可简写为 ( ) tt B Xu ARAR（ ）过程平稳的条件是滞后多项式）过程平稳的条件是滞后多项式 的根均在单位圆外的根均在单位圆外 p ( )B 【2】 1122ttttqt q Xuuuu 【3】 q q 式【式【3 3】称为】称为阶移动平均模型，记为阶移动平均模型，记为MAMA（ ） 注：实参数注：实参数 12 , q 为移动平

7、均系数，是待估参数为移动平均系数，是待估参数 引入滞后算子，并令引入滞后算子，并令 2 12 ( )1 q q BBBB 则模型【则模型【3 3】可简写为】可简写为 ( ) tt XB u 注注1 1：移动平均过程无条件平稳：移动平均过程无条件平稳 注注2 2：滞后多项式的根都在单位圆外时，：滞后多项式的根都在单位圆外时，ARAR过程与过程与MAMA过程过程 能相互表出，即过程可逆，能相互表出，即过程可逆， 【4】 2 12 0 1 i titt i w Bw BXwBXu 注注3 3：【：【2 2】满足平稳条件时，】满足平稳条件时，ARAR过程等价于无穷阶的过程等价于无穷阶的MAMA过过 程

8、，即程，即 2 12 0 1 j ttjt j Xv Bv Buv Bu 自回归移动平均序列：自回归移动平均序列： 11221122tttpt ptttq t q XXXXuuuu 【5】 ( , )p q【5 5】称为】称为 阶的自回归移动平均模型，记为阶的自回归移动平均模型，记为ARMAARMA( , )p q 12 , p 12 , q 注注1 1：自回归系数：自回归系数移动平均系数移动平均系数 注注2 2：【：【1 1】和【】和【3 3】是【】是【5 5】的特殊情形】的特殊情形 注注3 3：引入滞后算子，模型【：引入滞后算子，模型【5 5】可简记为】可简记为 ( )( ) tt B X

9、B u【6】 注注4 4：ARMAARMA过程的平稳条件是过程的平稳条件是( )B的根均在单位圆外的根均在单位圆外 可逆条件是可逆条件是 ( )B 的根都在单位圆外的根都在单位圆外 k k 构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为 自相关。自相关。 1 2 1 ()() () n k tt k t kn t t XXXX XX 自相关程度由自相关系数自相关程度由自相关系数 度量，表示时间序列度量，表示时间序列 中相隔中相隔 期的观测值之间的相关程度。期的观测值之间的相关程度。 t X 121 , , ttt k XXX t X t k X 偏

10、自相关是指对于时间序列偏自相关是指对于时间序列 ，在给定，在给定 的条件下，的条件下， 与与 之间的条件相关关系。其相关程度之间的条件相关关系。其相关程度 用偏自相关系数用偏自相关系数 度量，有度量，有 kk 11 kk 1 1 1, 1 1 1, 1 1 2,3, 1 k kkjkj jkk k kjj j k k k k 其中其中 是滞后是滞后 期的自相关系数，期的自相关系数， 1,1, ,1,2,1 kjkjkkkkj jk 如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间 不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该不存在相关，即序列是白噪声

11、序列，其自相关系数应该 与与0 0没有显著差异。没有显著差异。 若时间序列满足若时间序列满足 1 1）对任意时间）对任意时间 ，其均值恒为常数；，其均值恒为常数； t 2 2）对任意时间）对任意时间 和和 ，其自相关系数只与时间间，其自相关系数只与时间间 隔隔 有关，而与有关，而与 和和 的起始点无关。那么，的起始点无关。那么， 这个时间序列就称为平稳时间序列这个时间序列就称为平稳时间序列 。 t s ts s t 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上， 序列重复出现某种特性序列重复出现某种特性. .比如地区降雨量、旅游收入和空比如地区降雨量、

12、旅游收入和空 调销售额等时间序列都具有明显的季节变化调销售额等时间序列都具有明显的季节变化. . 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为1212个个 月；季度资料的时间序列，季节周期为月；季度资料的时间序列，季节周期为4 4个季个季. . 判断时间序列季节性的标准为：自相关系数是否与判断时间序列季节性的标准为：自相关系数是否与0 0 有显著差异。有显著差异。 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的 情况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别情况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别 序列的季

13、节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至序列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至 判断错误判断错误. . 包含季节性的时间序列也不能直接建立包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMAARMA模型，模型， 需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节 周期一致周期一致. . 在运用在运用B-JB-J方法建模时，应运用序列的自相关与偏方法建模时，应运用序列的自相关与偏 自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶 数！数！ 1 1）MAMA（ ）的自相关与偏自相关函数）的自相关与偏自相关

14、函数 q 自协方差函数自协方差函数 222 1 2 11 1,0 ,1 0, q kkkq kq k kq kq 2 t Du是白噪声序列的方差是白噪声序列的方差 样本自相关函数样本自相关函数 11 22 01 1,0 ,1 1 0, kkq kq k k q k kq kq q k kq q MAMA（ ）序列的自相关函数）序列的自相关函数 在在 以后全都是以后全都是0 0， 这种性质称为自相关函数的这种性质称为自相关函数的 步截尾性；步截尾性； k 偏自相关函数随着滞后期偏自相关函数随着滞后期 的增加，呈现指数或者正弦的增加，呈现指数或者正弦 波衰减，趋向于波衰减，趋向于0 0，这种特性称

15、为偏自相关函数的拖尾性，这种特性称为偏自相关函数的拖尾性 2 2）ARAR（ ）序列的自相关与偏自相关函数）序列的自相关与偏自相关函数p 偏自相关函数偏自相关函数 ,1 0, k kk kp kp 是是 步截尾的步截尾的 ； p 自协方差函数自协方差函数 k 满足满足 ( )0 k B 自相关函数自相关函数 k 满足满足 ( )0 k B 它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性 3 3）ARMAARMA（ ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的, p q 自相关函数与偏自相关函数是识别自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA

16、ARMA模型的最主模型的最主 要工具，要工具，B-JB-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. . 若样本自协方差函数若样本自协方差函数 在在 步截尾，则步截尾，则 是是MAMA（ ）序列）序列 k q t Xq kk p t Xp 若若 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步 认为认为 是是ARMAARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步 增加，再通过检验来确定增加，再通过检验来确定. . k kk t X 若样本偏自相关函数若样本偏自相关函数 在在 步截尾，则步截尾，则 是是AR

17、AR（ ）序列）序列 1 1） 的截尾性判断的截尾性判断 k q1, , qq M 对于每一个对于每一个，计算，计算 考察其中满足考察其中满足 22 0 1 1 |2 q kl lN 22 0 1 2 |2 q kl lN 或或 的个数是否为的个数是否为 的的68.3%68.3%或或95.5%95.5%。 M 0 1kq k 00 1, , qqM 如果当如果当 时，时， 明显地异于明显地异于0 0，而，而 近似为近似为0 0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例， 则可近似地认为则可近似地认为 在在 步截尾步截尾 k 0 q 2 2） 的截尾性判断的

18、截尾性判断 kk 作如下假设检验：作如下假设检验： 0, :0,1, p k p k HkM MN 1 :Hk 0 kk pkMp 存在某个存在某个 ，使，使 ，且，且 统计量统计量 222 1 p M kkM kp N 2 ( ) M M 2 表示自由度为表示自由度为 的的 分布的上侧分布的上侧 分位数点分位数点 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 0 22 ( ) M 则认为样本不是来自则认为样本不是来自ARAR（ ）模型）模型 ； p 22 ( ) M 可认为样本来自可认为样本来自ARAR（ ）模型）模型 。 p 3 3）AICAIC准则确定模型的阶数准则确定模型的阶数 AICAI

19、C定阶准则：定阶准则： S 2 N 是模型的未知参数的总数是模型的未知参数的总数 是用某种方法得到的方差的估计是用某种方法得到的方差的估计 为样本大小，则定义为样本大小，则定义AICAIC准则函数准则函数 2 2 ( )ln S AIC S N 用用AICAIC准则定阶是指在准则定阶是指在 的一定变化范围内，寻求使的一定变化范围内，寻求使 得得 最小的点最小的点 作为作为 的估计。的估计。 , p q ( )AIC S ( , )p q ( , )p q ARAR（ ）模型）模型 ： p 2 2 ln p AIC N ARMA ARMA 模型模型 ：( , )p q 2 2() ln pq A

20、IC N 在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本 方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法， 这里仅介绍矩估计法这里仅介绍矩估计法 1 1）ARAR（ ）模型）模型 p 1 1111 2122 12 1 1 1 p p pppp 白噪声序列白噪声序列 的方差的矩估计为的方差的矩估计为 t u 2 0 1 p jj j 2 2）MAMA（ ）模型）模型 q 222 10 2 11 1 ,1, q kkq kqk kq 3 3）ARMA ARMA 模型的参数矩估计分三步：模型的参数矩估计分三步： ( ,

21、 )p q i i） 12 , p 的估计的估计 1 1111 2122 12 qqqpq qqqpq qpqpqqpp 11 tttptp YXXX t Yiiii）令）令，则，则 的自协方差函数的矩估计为的自协方差函数的矩估计为 ( ) 0 00 ,1 pp Y kijkj i ij t Y q iiiiii）把）把 近似看作近似看作MAMA（ ）序列，利用）序列，利用 2 2） 对对MAMA（ ）序列的参数估计方法即可）序列的参数估计方法即可 q 通过相关分析法和通过相关分析法和AICAIC准则确定了模型的类型和阶准则确定了模型的类型和阶 数，用矩估计法确定了模型中的参数，从而建立了一个

22、数，用矩估计法确定了模型中的参数，从而建立了一个 ARMAARMA模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优劣模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优劣 程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过 数学方法来检验。数学方法来检验。 对对ARMAARMA模型，应逐步由模型，应逐步由ARMAARMA（1 1，1 1），），ARMAARMA（2 2，1 1），）， ARMAARMA（1 1，2 2），），ARMAARMA（2 2，2 2），），依次求出参数估计依次求出参数估计 一般地，对一般地，对ARMAARMA模型模型 11 pq ttit

23、ijtj ij uXXu 011 , q u uu 011 , p XXX 12 , N u uu 取初值取初值 可递推得到残量估计可递推得到残量估计 现作假设检验：现作假设检验： 0 :H 12 , N u uu是来自白噪声的样本是来自白噪声的样本 ( ) 1 1 Nj u jtjt t uu N 0,1,jk ( ) ( ) ( ) 0 u ju j u 1, ,jk k 10 N 其中其中 取取 左右。左右。 0 H k Qk 2 当当 成立时，成立时， 服从自由度为服从自由度为 的的 分布。分布。 2 ( ) kk Q 0 H 2 ( ) kk Q 对给定的显著性水平对给定的显著性水平

24、 则拒绝则拒绝 则拟合较好，模型检验通过则拟合较好，模型检验通过 需重新考虑建模需重新考虑建模 22 ( )( ) 11 kk uu kjj jj QNN B-J B-J方法采用方法采用L L步预测，线性最小方差预测是常用的步预测，线性最小方差预测是常用的 一种方法一种方法. .其主要思想是使预测误差的方差达到最小其主要思想是使预测误差的方差达到最小. .若若 用用 表示模型做的表示模型做的L L步平稳线性最小方差预测，那步平稳线性最小方差预测，那 么，预测误差么，预测误差 ( ) n ZL ( )( ) nn Ln e LXZL 22 ( )( ) nn Ln E e LE XZL 并使并使

25、 达到最小达到最小. . 1 1）ARAR（ ）序列预测）序列预测p 模型（模型（1 1）：）： 1122tttptpt XXXXu 的的L L步预测值为步预测值为 12 ( )(1)(2)() nnnpn ZLZLZLZLp () nnj ZjX 0j 其中其中 2 2）MAMA（ ）的预测）的预测q 对模型（对模型（3 3）：）： 1122ttttqt q Xuuuu Lq 1122n Ln Ln Ln Lqn L q Xuuuu n ( )0 n ZL 当当时，由于时，由于 可见所有白噪声的时刻都大于可见所有白噪声的时刻都大于 ，故与历史取值无关，故与历史取值无关， ； 从而从而 1 1

26、1 2 2 1 1 1 1 100 (1)(1) 010 (2)(2) 001 ( )( ) 000 nn nn n q q nn q ZZ ZZ X ZqZq 递推时，初值递推时，初值 000 (1),(2),( )ZZZL均取为均取为0 0。 当当Lq 时，各步预测值可写成矩阵形式：时，各步预测值可写成矩阵形式： 题中给出了题中给出了“1995199520042004年长江流域水质报告年长江流域水质报告”中中 的主要统计数据和关于的主要统计数据和关于地表水环境质量标准地表水环境质量标准的的 国标（国标（GB3838-2002GB3838-2002）中）中4 4个主要项目标准限值（见个主要项

27、目标准限值（见 附录附录1 1），其中），其中I I、IIII、IIIIII类为可饮用水类为可饮用水. .假如不采假如不采 取更为有效的治理措施，根据过去取更为有效的治理措施，根据过去1010年的主要统计年的主要统计 数据（见数据（见附录附录2 2），对长江未来水质污染的发展趋），对长江未来水质污染的发展趋 势做出预测分析，比如研究未来势做出预测分析，比如研究未来1010年的情况年的情况. . 对未来对未来1010年全流域、支流、干流中三类水所占的比例年全流域、支流、干流中三类水所占的比例 做出预测做出预测. . 若仅用若仅用1010年水文年的观测数据来预测后年水文年的观测数据来预测后1010

28、年的年的 数据，可利用的数据量太少，所以我们将充分利用枯水期、数据，可利用的数据量太少，所以我们将充分利用枯水期、 丰水期和水文年的数据丰水期和水文年的数据. . 我们将一年分为三段，我们将一年分为三段，1-41-4月、月、 5-85-8月、月、9-129-12月月. 1-4. 1-4月的平均数据可直接取为枯水期的数月的平均数据可直接取为枯水期的数 据，据，5-85-8月的平均数据可直接取为丰水期的数据，而月的平均数据可直接取为丰水期的数据，而9-129-12 月的数据可用【（水文年月的数据可用【（水文年* *12-12-枯水期枯水期* *4-4-丰水期丰水期* *4 4）/4=/4=水水 文

29、年文年* *3-3-枯水期枯水期- -丰水期】来估计（具体数据见丰水期】来估计（具体数据见附录附录3 3）. .我我 们分别对全流域、干流、支流来建立时间序列模型，并将们分别对全流域、干流、支流来建立时间序列模型，并将 水质分为饮用水（水质分为饮用水（I I、IIII、IIIIII类）、污水（类）、污水（IVIV、V V类）和类）和 劣劣V V类水三类类水三类. . （2 2）假设枯水期、丰水期和水文年中，每个月各类水）假设枯水期、丰水期和水文年中，每个月各类水 质的百分比不变质的百分比不变. . （1 1）问题中所给出的数据能客观反映现实情况；）问题中所给出的数据能客观反映现实情况； 对于各

30、类水在各个时期所占的比例通过适当差分建立对于各类水在各个时期所占的比例通过适当差分建立 自回归移动平均模型自回归移动平均模型ARIMA.ARIMA. 在实际建模中，考虑到一期的数据应该与前期的数据在实际建模中，考虑到一期的数据应该与前期的数据 有关，所以对差分后的平稳序列我们建立有关，所以对差分后的平稳序列我们建立ARMAARMA模型模型. . 在这里，我们不考虑随机干扰项建立在这里，我们不考虑随机干扰项建立 仅以预测干流中劣仅以预测干流中劣类水所占比例的类水所占比例的 ARIMA ARIMA 模型模型 为例，详细叙述一下为例，详细叙述一下 ARIMA ARIMA 建模过程。建模过程。 根据需

31、要，我们将数据筛选并处理得到干流中劣根据需要，我们将数据筛选并处理得到干流中劣类水所占类水所占 比例的时间序列：比例的时间序列： t X 1,2,30t =0，4，-4，0，1.5，-1.5，0，0，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，6.9，5.1，5.4，7.9， 4.8，13.4，0，0，0，14.2，9.3，3.5， 观察序列时序图，发现序列有递增趋势观察序列时序图，发现序列有递增趋势 1ttt XXX 进行一阶差分进行一阶差分 tt YX 0，4，-8，4，1.5，-3，1.5，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，0，6.9，-1.8，0.3， 2.5，-3.1，8.6，

32、-13.4，0，0，14.2， -4.9，-5.8 30 1 30 2 1 ()() () k tt k t k t t YYYY YY 利用公式利用公式 计算自相关系数计算自相关系数 | k 明显异于明显异于0 0 可初步认为经可初步认为经1 1阶差分后的序列平稳，即阶差分后的序列平稳，即 1d 1 1阶差分后的白噪声检验结果如下：阶差分后的白噪声检验结果如下： 2 延迟阶数延迟阶数 统计量统计量P P值值 6 610.7610.760.09600.0960 在检验的显著性水平取为在检验的显著性水平取为0.050.05的条件下，的条件下，P P值大于值大于0.050.05， 故该差分后序列可

33、视为白噪声序列故该差分后序列可视为白噪声序列 对序列对序列 进行零均值化，得到新序列进行零均值化，得到新序列 t Y t Z =-0.11667，3.88333，-8.11667，3.88333， 1.38333，-3.11667，1.38333，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，6.78333，-1.91667， 0.18333，2.38333，-3.21667，8.48333， -13.51667，-0.11667，-0.

34、11667，14.08333， -5.01667，-5.91667 30 1 1 30 k ktt k t Z Z 0,1,2,29k 0 k k 计算样本自相关函数计算样本自相关函数 0,1,2,29k 1 11 0 11 1 1,1 0 1 1,1,1,1 k kkjkj j kkk kjj j kjkjkkk kj 样本自协方差函数估计样本自协方差函数估计 估计样本偏自相关函数估计样本偏自相关函数 3k kk 具有截尾性，具有截尾性， 用用ARAR（3 3）模型拟合序列）模型拟合序列 t Z 即用即用ARIMAARIMA（3 3，1 1，0 0）模型拟合原序列。进行残差检验，得到）模型拟

35、合原序列。进行残差检验，得到 2 拟合检验统计量的概率拟合检验统计量的概率P P值都显著大于显著性检验水平值都显著大于显著性检验水平 0.050.05，可认为该残差序列为白噪声序列，可认为该残差序列为白噪声序列， 系数显著性检验系数显著性检验 显示三个参数均显著。从而显示三个参数均显著。从而ARIMAARIMA（3 3，1 1，0 0）模型对该序列）模型对该序列 建模成功。建模成功。 1 1121 2112 2133 1 1 1 得到与上述参数显著性检验一样的结果：得到与上述参数显著性检验一样的结果： 1 2 3 = -3.16= -3.16，= -2.75= -2.75， = -3.30=

36、-3.30， 因此因此ARIMAARIMA（3 3，1 1，0 0）模型即为：）模型即为： 123 3.162.753.30 tttt XXXX 注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、注：利用同样的方法可以建立预测干流中其他两类水、 全流域和支流中的三类水所占比例的时间序列分析模型。全流域和支流中的三类水所占比例的时间序列分析模型。 利用上述模型，预测干流中劣利用上述模型，预测干流中劣类水未来类水未来1010年所占比例，得到：年所占比例，得到： 年份年份月份月份劣劣V V类水类水年份年份月份月份劣劣V V类水类水 20052005 1-41-40.21110.2111 2006200

37、6 1-41-40.22920.2292 5-85-80.27790.27795-85-80.29300.2930 9-129-120.27660.27669-129-120.29230.2923 20072007 1-41-40.24450.2445 20082008 1-41-40.25990.2599 5-85-80.30840.30845-85-80.32380.3238 9-129-120.30780.30789-129-120.32320.3232 20092009 1-41-40.27530.2753 20102010 1-41-40.29070.2907 5-85-80.339

38、20.33925-85-80.35460.3546 9-129-120.33590.33599-129-120.35400.3540 20112011 1-41-40.30610.3061 20122012 1-41-40.32140.3214 5-85-80.37000.37005-85-80.38540.3854 9-129-120.36910.36919-129-120.38460.3846 20132013 1-41-40.33680.3368 20142014 1-41-40.35220.3522 5-85-80.40070.40075-85-80.41610.4161 9-129-

39、120.40010.40019-129-120.41550.4155 从预测结果中可以看出，干流中污水和劣从预测结果中可以看出，干流中污水和劣V V类水所占的比类水所占的比 例只有微小的增长，支流中劣例只有微小的增长，支流中劣V V类水的比例增长速度较快。全类水的比例增长速度较快。全 流域中劣流域中劣V V类水所占比例增长速度也较快。尽管干流中和全流类水所占比例增长速度也较快。尽管干流中和全流 域中污水所占比例增长并不大，但长期发展下去，全流域和域中污水所占比例增长并不大，但长期发展下去，全流域和 支流中可饮用水的比例将低于支流中可饮用水的比例将低于50%50%，而在干流中可饮用水比例，而在干

40、流中可饮用水比例 也仅仅是略高于也仅仅是略高于50%50%，若不采取措施防污治污，后果不堪设想！，若不采取措施防污治污，后果不堪设想！ 在上述模型预测结果中，我们得到的数据为枯水期、在上述模型预测结果中，我们得到的数据为枯水期、 丰水期和丰水期和8-128-12月的平均值，并不包含水文年的数据，故还月的平均值，并不包含水文年的数据，故还 需要还原水文年的数据，可以通过公式：需要还原水文年的数据，可以通过公式： 水文年水文年= =（枯水期（枯水期+ +丰水期丰水期+8-12+8-12月平均值）月平均值）/3/3 对于三类水所占的比例满足：饮用水对于三类水所占的比例满足：饮用水+ +污水污水+ +

41、劣劣V V类水类水=100%.=100%. 具体预测结果见具体预测结果见附录附录4 4。 在题目中仅仅给出了在题目中仅仅给出了1010年水文年的观测数据，要用年水文年的观测数据，要用 来预测后来预测后1010年的数据，数据量太小。虽经数据处理，将年的数据，数据量太小。虽经数据处理，将 数据合理地增加到数据合理地增加到3030个，但是对于利用时间序列分析模个，但是对于利用时间序列分析模 型进行短期的预测，数据量仍显得太少，这样难免导致型进行短期的预测，数据量仍显得太少，这样难免导致 数据的预测误差较大。但就本题目而言，我们还是得到数据的预测误差较大。但就本题目而言，我们还是得到 了较为满意的结果

42、。了较为满意的结果。 事实上，我们还可对数据进一步进行处理，以增加事实上，我们还可对数据进一步进行处理，以增加 数据量，提高预测的精度。对上述的原始序列数据量，提高预测的精度。对上述的原始序列 ，我，我 们可在保证序列的平稳性的条件下，进行平滑技术处理：们可在保证序列的平稳性的条件下，进行平滑技术处理： t X 1 1 2 2 tt t XX X 然后与原始序列融合得到一个新的时间序列，新序列的然后与原始序列融合得到一个新的时间序列，新序列的 时期长度将接近于原始序列的两倍，数据个数大大增多，时期长度将接近于原始序列的两倍，数据个数大大增多， 关键是可以降低预测的误差。关键是可以降低预测的误差。 附录附录1 1： 附表附表: : 地表水环境质量标准地表水环境质量标准（GB3838GB383820022002） 中中4 4个主要项目标准限值个主要项目标准限值 单位：单位：mg/Lmg/L 序序 号号 分分 类类