解三角形知识点归纳总结(文档).doc

1、解三角形知识点归纳总结(文档)第一章解三角形.正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中,ab接圆的直径即2.变形:sinAsinBsinCa+b+ca各边和它所对角的正弦的比相等并且都等于外-旦=2R（其中R是三角形外接圆的半径）1）=亠丄=亠sinA+sinE+sinCsinAsinEsinC2）化边为角:2）化边为角:asinA.bbsinBca:b:C=sinA:sinB:sinC；sinB;asinA.sinCcsinC）化边为角:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC）化角为边:）化角为边:sinAa;=JsinBbasinA=2RsinBbsinA;sinCcsinCb

2、sinB=,sinC2Ra;Jc_c-2R利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：bsinBbsinB;csinC解法：由A+B+C=18o0,求角A,由正弦定理旦=里2彳bsinB泄;求出b与ccsinC已知两边和其中一边的对角求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a=业求出角B,由A+B+C=18O0求出角C,再使用正bsinB弦定理2=业求出C边CsinCABC中已知锐角A,边b,贝UacbsinA时B无解；a=bsinA或ab时B有一个解;bsinAVacb时B有两个解。如：已知A=60,a=2,b=2J3,求B（有一个解）已知A=60,b=2,a=2U3,求B

3、（有两个解）注意：由正弦定理求角时注意解的个数。1.2.三角形面积111=absinC=bcsinA=acsinB222=丄但+匕+c)r1.2.三角形面积111=absinC=bcsinA=acsinB222=丄但+匕+c)r,其中r是三角形内切圆半径.2SJABC3.4.S/BC=竺,R为外接圆半径4R,1=Jp(p-a)(pb)(p-c),其中p=-(a+b+c).5.S餌C=2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径5.三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍即22=b+c-2bccosAb222=a+c-2accos

4、Bc222=ab222=a+c-2accosBc222=a+b-2abcosC1-2.222.变形：cosA=c2bcca2+c2-b2cosB=2aca2+b2-c2cosC=2ab1注意整体代入如：a2+c2-b2=ac=cosB=一2利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是MBC的角A、E、C的对边贝U:护4广22+护?cosj4=0OH<90若2加所以丄为锐角若c2+b2=a2=A为直角L+方2Ocosj4二<0?90.小卄2bc若2&;,所以/为钝角则胡8C是2bc钝角三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题:1）已知三边求三个角求第三边和其他两个角四、应用题已知

5、两角和一边（如已知两边和夹角（如求第三边和其他两个角四、应用题已知两角和一边（如已知两边和夹角（如A、B、C）由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b.a、b、c）应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角然后利用A+B+C=n求另一角.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理求c边要注意解可能有多种情况.已知三边a、b、c应用余弦定理求A、B再由A+B+C=n求角C.将正北或正南方向作为起始方向方向角一般是指以观测者的位置为中心旋转到目将正北或正南方向作为起始方向标的方向线所成的角（一般指锐角）通常表达成.正北或正南北偏

6、东_度北偏西_度南偏东_度南偏西_度.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的角叫仰角视线在水平线下方的角叫俯角.水平线水平线A+B+C=180；C=180A+B+C=180；C=180(A+B)；1）2）两边之和大于第三边：a+bcc+bla；两边之差小于第三边：Sc-b<a；3)4)3)4)三角形内的诱导公式：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,=sin2A+Bcos=sin2A+Bcos=2sin=sinf)=cos2222A+BHCsin(2即cos(|)5)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(aP)=sinacosPcosasinP.(2)cos(ap=cosocosp?sinainp,tanaanptan(a-P=1?tanaanp6)二倍角的正弦、余弦、正切公式=2sinacosa.2.26)二倍角的正弦、余弦、正切公式=2sinacosa.2.2=2cosa一1=12sina2=cosa-2sina二1一cos2a21+cos2a；cosCt=222tana(1)sin2(2)cos2aasin2Cttan2“.7)三角形的五心：7)垂心一一三角形