拉氏变换定义及性质

1、当 Re(s)0，则lim est02.5拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方 法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运 算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一 种较为简便的工程数学方法。拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是t 0 ,，那么ft 的的拉普拉斯变换定义为F s L f t f t e stdt0 (2.10)sts是复变数，s j (c、3均为实数)，0 e称为拉普拉斯积分；F(s)是 函数f(t)的拉普拉斯变换，

2、它是一个复变函数，通常也称F(s)为f(t)的象函数，而称f(t)为F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。式(2.10)表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实 变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F (s)。1. 单位阶跃函数1 (t)的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能 的标准输入，这一函数定义为(t 0)(t 0)单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在t 0时刻突然作用于系统一个幅值为 1的 不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为F(s) L1(t)0 1(t)e stdt所以:4kc=-L1(t)1e

3、sts1 1。0 ( S)s(2.11 )2.指数函数 的拉氏变换指数函数 也是控制理论中经常用到的函数，其中-Q g-=lim fl eSI) = lim Jo5。a-lim 丄z es21(2.15)拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定 理，则对一般的函数可以使运算简化。1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的 齐次性和叠加性。（1）齐次性 设八 7 ，则(2.18)式中；常数。（2）叠加性 设f 叮丄一 ，则(2.19)两者结合起来，就有；（）十城勺耳何十迅何这说明拉氏变换是线性变换o2. 微分定理二胡/（o）式中丿、函数在：时刻的值

4、，即初始值。同样，可得-二.的各阶导数的拉氏变换是二品列 q -广(0)二#d-7（0）-严/ fco）/M）（o）(2.20 )式中丿,原函数各阶导数在：-时刻的值。如果函数丿T及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则-；各阶导 数的拉氏变换为卜F何卜（2.21 ）E严卜片（j3. 复微分定理若-可以进行拉氏变换，则除了在厂的极点以外，-JL tf t F sds(2.22)式中，厂-0同样有Lt2f tds一般地，有n -n dnL t f t1Sn 123,川(2.23)4. 积分定理设仍卜死），则4pQ）水二s+】严(2.24 )式中丿 积分 ；，?，； 在:-:时刻的值 当初

5、始条件为零时，(2.25 )对多重积分是=2刀十2广乜）+】厂SS_(2.26)当初始条件为零时，则J-J =5. 延迟定理设7 .，且 X时，八，则(2.27)(2.28)函数为原函数J沿时间轴延迟了 7,如图2.11所示。6. 位移定理在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的 象函数只需把 用. | 代替即可，这相当 于在复数2坐标中，有一位移 左。设77 ，则的象函数A C=OS加卜m的象函数为(2.29)例如 I：；:fit7. 初值定理它表明原函数在：时的数值。(2.30)lim /()= lim sFs)It 0即原函数的初值等于f乘以象函数的终值8. 终值定理设T- -1 ,并且叫

6、 存在，则卿y=/（8）=除曲（2.31）即原函数的终值等于匸乘以象函数的初值。这一定理对于求 瞬态响应的稳态值是很 有用的。9. 卷积定理设右仙二陀），屯二郭），则有(2.32)即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。式（2.32 ）中为卷积分的数学表示，定义为10. 时间比例尺的改变L /（-） = cF（cs）L 卞（2.33）式中-比例系数 _r e! = fff） = 例如严戶皂的象函数21,贝的象函数为11. 拉氏变换的积分下限在某些情况下 ，:-在：=- 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下 限是厂 还是，因为对于这两种下限，丄 的拉氏变换是不同的。为此，可采用如 下符号予以区分：:氐归匸兀尸趣乂加）十J：九屮山若在 一处包含一个脉冲函数，贝u仃九）北）因为在这种情况下显然，如果在:处没有脉冲函数，贝U有拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为11 C jst(2.36)式中L1表示拉普拉斯反变换的符号t L F(s)需jjF(s)eds通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表 一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f（t）。1.部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是三的有理