量子力学教程第四讲精编版

1、Wave function and The Schrdinger equation21.掌握一般求解定态 Schrdinger方程方法。 2.掌握无限深势井和线性谐振子的基本性质。2.6 一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator学 习 内 容学 习 内 容重点重点难点Wave function and The Schrdinger equation3 Wave function and The Schrdinger equation42-6 一维无限深势阱一维无限深势阱 是

2、量子力学非常重要的一类问题。是量子力学非常重要的一类问题。通过定态方程求一个微观体系能量的可能值和通过定态方程求一个微观体系能量的可能值和定态波函数是量子力学的重要任务之一定态波函数是量子力学的重要任务之一 . .一维一维无限深势阱是典型的定态问题。此外，量子力无限深势阱是典型的定态问题。此外，量子力学中能够精确求解的问题屈指可数，大多数量学中能够精确求解的问题屈指可数，大多数量子问题不能精确求解。子问题不能精确求解。一维无限深势阱问题是一维无限深势阱问题是几个能够精确求解的量子问题之一。几个能够精确求解的量子问题之一。 若质量为若质量为的粒子，在保守力场的作用下，被限的粒子，在保守力场的作用

3、下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。无限深势阱。Wave function and The Schrdinger equation5一、一维无限深势阱体系的一、一维无限深势阱体系的Hamiltonian |x| |x|0( )aU xa 势 能 ：a xo-aU(x)222( )2dHU xdx 二、定态薛氏方程二、定态薛氏方程HE 一般情况下定态薛定谔方程：U(x)U(x)不显含时间，不显含时间，所以是定态问题。所以是定态问题。Wave function and The Sc

4、hrdinger equation622d|2dxaEx 2 1)时：（2202( )|( )( )2dxxaUxExdx 2)时，（三、方程的求解（三、方程的求解（求解波函数与体系能级求解波函数与体系能级）方程方程(2)求解求解：(2)式左边第一项是有限项，（式左边第一项是有限项，（2）式）式右边也是有限的。因此，右边也是有限的。因此， (2)(2)式左边第二项也应该式左边第二项也应该是有限项。因为是有限项。因为U U0 0，要使该项保持有限，必须，要使该项保持有限，必须要求要求 0. 结论结论：|x|a时，时， 0. Wave function and The Schrdinger equ

5、ation71) 22220dEdx 方程（可以变为：方程方程(1)求解求解 222 E 令： 220ddx 则： 1i 该方程特征根为：( )sincosxAxBx 方程的解为：Wave function and The Schrdinger equation8 ( )0()0aa 由波函数连续性条：件sincos0sincos0AaBaAaBa sin0cos0AaBa 由上式得到： A A与与B B不能同时为零，否则波函数为零。在量子力学中不能同时为零，否则波函数为零。在量子力学中 零波函数是没有意义的。因此上式有下列两种情况。零波函数是没有意义的。因此上式有下列两种情况。 （1)A1)

6、A0,B0, cos0,B0, cosa=0 n,2na 是奇数。 （2)A2)A0, B B0, sin0, sina=0 n,2na 是偶数。Wave function and The Schrdinger equation9 n,1,2,3.2nan 这表明：时，所给的波函数才有意义。 是体系的量子数。Question： n n为什么不能为为什么不能为0 0和负数？（请同学回答）和负数？（请同学回答）keyskeys： n n为为0 0时，波函数为零，零波函数在量子力学中没时，波函数为零，零波函数在量子力学中没有意义。有意义。n n为负数时不能给出新的波函数。例如：为负数时不能给出新的波

7、函数。例如：n n1 1与与n n1 1给出的波函数相同。给出的波函数相同。 体系能级为：体系能级为： 222E ,1,2,3.2nan 22221, 2, 3.8nnEna 由 上 面 两 式 我 们 得 到 ：；Wave function and The Schrdinger equation10 体系的波函数：体系的波函数：1)n.2na （当 为偶数时，(B=0), sin2( )0nAxxaaxxa 波函数为：2)nA.2na （当 为奇数时，( =0), cos2()0nBxxaaxxa 波函数为： sin()2( )0nAxaxaaxxa 上面两个式子合并得：Wave funct

8、ion and The Schrdinger equation11sin()sin()222nnnAxaAxaa 事实上，但事实上，但n n为偶数时，上式即（为偶数时，上式即（1)1)情况；当情况；当 n n为奇数时，上式即（为奇数时，上式即（2)2)情况。情况。 归一化常数计算归一化常数计算2221sin()12aadxnAxa dxa 1 a221sin()2aaAnxa dxa 21( sin(1cos)2xdxx dx 1Aa 1sin()20nnxaxaaaxa Wave function and The Schrdinger equation12(1)(1)一维无限深势阱的能级是量

9、子化的，不连续的。一维无限深势阱的能级是量子化的，不连续的。讨论讨论：（：（discussion)discussion)能量取分立值（能级），能量量子化是能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。粒子处于束缚态的所具有的性质。（2 2）粒子的最小能量不等于零）粒子的最小能量不等于零最小能量最小能量 也称为基态能或零点能。也称为基态能或零点能。2228nEa 在量子力学中，静止的粒子是没有意义的。在量子力学中，静止的粒子是没有意义的。Wave function and The Schrdinger equation13(3)(3)粒子在势阱内出现概率密度分布粒子在势阱内出现

10、概率密度分布不受外力的粒子在不受外力的粒子在a a 到到 a a 范围内范围内出现概率处处相等。出现概率处处相等。经典观点经典观点：221|sin()|2| |nxaaa 量子观点：量子观点：Wave function and The Schrdinger equation14几率幅与几率密度曲线图几率幅与几率密度曲线图Wave function and The Schrdinger equation15当当 n n 很大时，很大时， 量子概率分量子概率分布就接近经典分布布就接近经典分布Wave function and The Schrdinger equation16(4) (4) (x,

11、t)(x,t)是两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波是两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波 ( , )( )niE tnnx tx e sin()2niE tnAxa ea sin2iieei ()()2212(, )nninnixEtxEthaanx tC eC e (5) |x|a(5) |x|a时，时，0. 0. 我们将无限远处我们将无限远处0 0的波函数的波函数 所描述的状态叫束缚态。束缚态的能级是离散谱。所描述的状态叫束缚态。束缚态的能级是离散谱。Wave function and The Schrdinger equation17222(21)(6)8nnEa 能 级 间

12、隔 为 ：n n2210nnEnEn 当时 ，所 以 当很 大 时 ， 可 以 认 为 能 量 是 连 续 的 。Wave function and The Schrdinger equation18由定态薛定谔方程求能量本征函数和本由定态薛定谔方程求能量本征函数和本 征征值的值的步骤步骤： A A）写出势能及）写出势能及Hamiltonian.Hamiltonian. B B）建立定态薛定谔方程，引入参量简化，）建立定态薛定谔方程，引入参量简化， 求通解。求通解。 C C）由波函数的标准条件求出本征函数和本）由波函数的标准条件求出本征函数和本征值。征值。 D D）根据归一化条件，求归一化常数

13、。）根据归一化条件，求归一化常数。Wave function and The Schrdinger equation19 Homework 2.1 2.2 2.4 2.5Wave function and The Schrdinger equation20能量本征函数能量本征函数概率密度分别概率密度分别Wave function and The Schrdinger equation215.5.宇称宇称( , )(, )rrr tr t 空间反射：空间矢量反向的操作。空间反射：空间矢量反向的操作。称波函数具有称波函数具有正宇称正宇称（或偶宇称）（或偶宇称）(, )( , )r tr t称波函数

14、具有称波函数具有负宇称负宇称（或奇宇称）（或奇宇称）(, )( , )r tr t（3 3）在空间反射下，如果）在空间反射下，如果(, )( , )r tr t则则称称波函数没有确定的宇称。波函数没有确定的宇称。（1 1）在空间反射下，如果有：）在空间反射下，如果有： (, )( , )r tr t 则称波函数有则称波函数有确定的宇称。确定的宇称。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续8 8）Wave function and The Schrdinger equation22讨论讨论22128Ea基态基态能量能量（3 3） 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状

15、态。 n2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续9 9）（1 1）能量）能量 取分离谱，即能量是量子取分离谱，即能量是量子化的。化的。22228nnEa(2)(2)粒子能量最低的态粒子能量最低的态 称为基态称为基态1与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为表现，因为“静止的波静止的波”是没有意义的，亦即是没有意义的，亦即 的态不存在，无意义。的态不存在，无意义。0,0,0nEWave function and The Schrdinger equation23本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：本征函数具有确定宇称是由势能

16、对原点对称： 而导致的。而导致的。)()(xUxU（5 5）束缚态束缚态通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱（续续1010）（4 4）当）当 为偶数时，为偶数时， ，即，即 具有具有负宇称负宇称（奇宇称）。（奇宇称）。 当当 为奇数时，为奇数时， ，即，即 具有具有正宇称正宇称（偶宇称（偶宇称) )。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xnWave function and The Schrdinger equation242-9 线性谐振子线性谐振子 一、引例一、引例 无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的

17、模无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。体系在稳定平衡点附近的运动一般可以近似地看作一维谐振子，型。体系在稳定平衡点附近的运动一般可以近似地看作一维谐振子，如双原子分子的振动、晶体结构中原子和离子的振动、核振动等等，如双原子分子的振动、晶体结构中原子和离子的振动、核振动等等，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。辐射场也可以看作线性谐振子的集合。 比如，双原子分子中两原子间的势能是比如，双原子分子中两原子间的势能是两原子间距离的函数，其形状如图所示。两原子间距离的函数，其形状如图所示。 在稳定平衡点附近在稳定平衡点附近221( )( )( )()2!1( )()2U xU aU

18、a xaU ak xa0 x aUx令令 0)(aUaxx221)(kxxU有有 Wave function and The Schrdinger equation25物理中线性谐振子都是物理中线性谐振子都是很有用的模型很有用的模型Wave function and The Schrdinger equation26 量子力学中的线性谐振子是指在势场量子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为中运动的质量为 的粒子的粒子 2221)(xxV2.2.量子谐振子量子谐振子 双原子分子，两原子间的势双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离是二者相对距离 的函数，的函数，如图所示。如图所示。Vx

19、自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。x221212122pHkxm mmm2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续1 1）Wave

20、 function and The Schrdinger equation2722211( )( )()()1!2!x ax aVVV xV ax ax axx201()2Vk xa在在 处，有一极小处，有一极小值值 。在。在 附近，附近，势可以展开成泰勒级数：势可以展开成泰勒级数：x a0Vx aaxV(x)0V022x aVkx记记若取若取 ，即平衡位置处于势即平衡位置处于势 点；并记点；并记 ，则，则00V 00V 2k 2212V xx2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续2 2）0( )V aV0 x aVxWave function and The Schrdinger equ

21、ation28Hamilton operator 22222212xdxdH定态定态SchrSchrdingerdinger方程：方程： )()(21222222xExxdxd1. 1. SchrdingerSchrdinger方程方程（1） 改写成改写成0)(21222xxEdxd令令 E2（ 为待定常数） （2） x,（3） 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续3 3）Wave function and The Schrdinger equation29于是方程（于是方程（2 2）可写成）可写成0)(222dd（4 4） 2. 2. 方程的求解方程的求解当当 时，方程（时，方程（4

22、4）的渐近形式为）的渐近形式为 222dd（5 5） 方程（方程（5 5）在）在 处的有限解为处的有限解为 221)(e令方程（令方程（4 4）的解）的解 212( )( )He （6 6） 代入方程（代入方程（4 4）可得）可得 满足的微分方程满足的微分方程 )(HWave function and The Schrdinger equation30本征函数本征函数: :2222!( )(2 )(1)(2 )( 1)(2 )!2nnnnnnnHn nn 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7 7）满）满足有限性条件（足有限性条件（8 8）的有限解，可得厄密

23、方程本征）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：值问题的本征值：( )H有限值, (- (8)(8)0)() 1()(2)(22HddHdHd（称为厄密方程）（称为厄密方程）(7)(7)21nn(0,1,2,3,)n(9)(9)称为称为厄密多项式厄密多项式2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续5 5）Wave function and The Schrdinger equation3122) 1()(eddeHnnnn厄密多项式的微分形式厄密多项式的微分形式!2)(22ndHenn积分公式积分公式 (10) (10)012233424535124281216481232160120HH

24、HHHH几个几个厄密多项式：厄密多项式：2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续6 6）Wave function and The Schrdinger equation32212( )( )nnnNeH 由归一化条件由归一化条件1)()(*dxxxnn2212( )()xnnnxN eHx(11)(11)并运用积分公式：并运用积分公式： !2)(22ndHenn求得归一化常数求得归一化常数21!2nNnn(12)(12)x3. 3. 线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的能量本征函数)(!2)(222121xHenxnxnn (13) (13)归一化的本征函数归一化的本征函数2.7 2.7

25、线性谐振子线性谐振子（续续7 7）Wave function and The Schrdinger equation33本征波函数本征波函数( , )( )niE tnnx tx e(14)(14)2 21122()2 !nixE tnneHxn4. 4. 线性谐振子的本征能线性谐振子的本征能量量(0,1, 2,3,)n 由由(2)(2)和和(9)(9)式式, ,即由即由 和和21nnE221nEn得本征能量得本征能量: : (15)(15)Wave function and The Schrdinger equation34（1 1）解）解的意义的意义a) a) 线性谐振子能量只能取分立值线

26、性谐振子能量只能取分立值 22012Ea 而经典振子的能量可以取连续值（）b)1nnEE 能 级 间 隔 为 等 间 隔 ： 01)20.cE 量子振子的基态能量即零点能量为为经典振子在量子力学中静止的粒子是没的最低能量为有意义的。Wave function and The Schrdinger equation35（2 2）厄米多项式）厄米多项式a)a)递推公式递推公式 1112( )( )2( )2( )0nnnnndHnHdHHnH 记忆b)b)几个常用厄密多项式几个常用厄密多项式01H 12H 2242H 33812H 424164812H 53532160120H 结论结论：n n是

27、奇数时，厄米多项式为奇函数，且是奇数时，厄米多项式为奇函数，且H Hn n(0)=0(0)=0；n n是偶数时，则厄米多项式是偶函数。是偶数时，则厄米多项式是偶函数。Wave function and The Schrdinger equation36)()(221xHeNxnxnn1)()(*dxxxnn12()2!nnNn （3 3）波函数归一化）波函数归一化五、线性谐振子波函数的图像及几率密度等图像五、线性谐振子波函数的图像及几率密度等图像 Wave function and The Schrdinger equation370( )x1( ) x2021Wave function an

28、d The Schrdinger equation382( ) x3( ) x22232.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续1313）Wave function and The Schrdinger equation394( ) x24n=10n=10时谐振子的几率密度时谐振子的几率密度2102.7 2.7 线性谐振子线性谐振子（续续1414）Wave function and The Schrdinger equation40（1)1)经典振子与量子振子出现的区域不完全相同。量子经典振子与量子振子出现的区域不完全相同。量子振子可以出现在经典振子不能到达的区域。（看图）振子可以出现在经典振

29、子不能到达的区域。（看图）（2 2）当线性谐振子在前几个量子态时（）当线性谐振子在前几个量子态时（n=0,1, 2, n=0,1, 2, 3, 3, ）时，经典几率密度与量子差别很大（）时，经典几率密度与量子差别很大（n n较小），较小），当当n n增大时（例增大时（例n=10n=10）, ,经典与量子在平均上已相当符合，经典与量子在平均上已相当符合，差别在于量子几率密度差别在于量子几率密度 | | |2 2迅速振荡而已迅速振荡而已. . （3) 从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数的谐振子波函数n有有 n 个节点，在节点处找到粒子的几个节点，在节点处找到粒子的几率为零