古代的数学迷宫——图形数

1、编号：时间：2021年x月x日学海无涯页码：第8页 共8页古代的数学迷宫图形数古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。 若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图11。然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图12那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角

2、形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图13）。设以tn来表示第n个三角数，则tn就等于1、2、3n个自然数的和，把它列成数学式就是：tn=123n能排列出正方形的数叫做四角数（如图14），四角数构成了平方数。若以sn表示第n个四角数，则数学式就是：sn=n2但是我们从图1-5可以看出，四角数

3、是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：sn=135（2n-1）=n2与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图16），长方数也叫矩形数。以rn表示第n个长方数，它的数学式就是：rn=242n=n（n1）在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。在三角数tn、四角数sn、长方数rn之间存在着各种各样的关系。如图17所示，两个三角数的和就等于一个长方数。2tn=n（n1）从而，下式是可以成立的。假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和

4、是等于一个四角数的。这种关系，如图18，用数学式表示，则可为：tn-1tn=sn=n2让我们再看看图19，图中用符号表示的数是s5；用表示的数是s6，由图可以看出4t51=s5s6从而，一般可以认为下式是成立的。4tn1=snsn1如果把含有符号的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。8tn1=s2n1希腊人还研究过如图110所示的五角数及图111所示的六角数。他们把五角数排列成1、5、12、22、35把六角数排列成1、6、15、28、45设pn表示第n个五角数；hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。pn=sntn-1，hn=2sn-n假

5、如你观察不出来，你可以把五角数中的那部分看成是sn，把那部分看成是tn-1，两者相加不就是pn了吗；另外，可以把六角数中的部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的部分不就成了hn了吗。下面让我们看看求三角数t1、t2tn之和的情况吧。为了醒目起见，我们把t1、t2、t3tn先各乘上3，然后把3t1、3t2、3t33tn排列成如图112所示的样子，使之成为左右横向是tn行；上下纵向是n2列的长方形。于是由3（t1+t2+tn）=（n+2）tn可以得到下边比较易看的关系式：然后，我们还可以看看求四角数s1、s2sn之和的情况。因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的

6、和表示的，所以s1、s2sn的和就可以排列出如图113所示的摩天楼样形状。图中表示奇数编号的四角数s1、s3、s5表示偶数编号的四角数s2、s4 若在摩天楼的两侧各加上s1、s2sn的话，那么，从上到下的tn行与从左到右的2n1列所形成的长方形就可以表示3s1、3s23sn之和。因而3（s1s2sn）=（2n1）tn故可将上式变成也就是可以得到下述的公式：13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个n2个小立方体堆积成a、b、c三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块，如图115所示，在c上就会凸出来tn个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放

7、在a上，就可以形成一个底面是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：现在看看关于13、23n3的求和公式。让我们首先参看图116左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为12=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是222=23。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为123=6的正方形。于是，添加

8、的磬折形数就是33（3个32）。进一步，相邻两边再延长4个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。这样作出的正方形，因为每边都是1234单位长度，所以就成为：13233343=（1234）2其一般通式，可以证明为：1323n3=（123n）2希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图117所示。其第n个三角锥数是再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n个四角锥数应是：古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有

9、心多角形。其有心三角形，如图119所示是：1、4、10、19、31、46图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n个有心三角数的通式应为：有心四角数如图120所示为：1、5、13、25、41同理，第n个有心四角数，可以用下式表示：4tn-11=2n（n-1）1前边的图19也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么，第n个有心五角数应该是由5tn-11给出，而第n个有心六角数则是由6tn-11给出。如果在第n个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图122所示），其第n个星形六角数，可以由12tn-11给出。我们从卡道纳所编的数学游戏中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如，若令第n个星形六角数6n（n-1）1等于一个平方数m2，即：m2=6n（n-1）1然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：3m22=（m-1）2m2（m1）2=（3n-2）2（3n-1）2不过不是所有的星