过程设备设计第二章【压力容器应力分析】22【厚壁圆筒应力分析】

1、 2.3.1 弹性应力弹性应力 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施提高屈服承载能力的措施 2.3 厚壁圆筒应力分析 2 . 11 . 1/ io DD 径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力仅仅 是半径的函数。是半径的函数。 8个未知数，只有个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。 2.3 厚壁圆筒应力分析 周向位移为零，只有径向位移和轴向位移周向位移为零，只有径向位移和轴

2、向位移 径向应变、轴向应变和周向应变径向应变、轴向应变和周向应变 b. c.d. pi a. po pi m n m1 n1 Ri Ro m1 n1 m n r r+ dr dr dr r dr po pi p0 图2-15 厚壁圆筒中的应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 研究在内压、研究在内压、 外压作用下，外压作用下， 厚壁圆筒中的厚壁圆筒中的 应力。应力。 一、压力载荷引起的弹性应力一、压力载荷引起的弹性应力 二、温度变化引起的弹性热应力二、温度变化引起的弹性热应力 有一两端封闭的厚壁圆筒（图有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压），受到内压和外压 的作用，圆筒的内半径和外半径

3、分别为的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半，任意点的半 径为径为r。以轴线为。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中 的三向应力。的三向应力。 2.3 厚壁圆筒应力分析 1、轴向（经向）应力、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得： 22 0 2 00 2 22 0 0 2 0 2 i ii i ii z RR RpRp RR pRpR （2-25） 2.3 厚壁圆筒应力分析 A

4、2、周向应力与径向应力、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体微元体 b. 平衡方程平衡方程 c. 几何方程几何方程 (位移应变）位移应变） d. 物理方程（应变应力）物理方程（应变应力） e. 平衡、几何和物理方程综合平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）（求解微分方程，积分，边界条件定常数） 2.3 厚壁圆筒应力分析 应应 力力 a. 微元体

5、 如图如图2-15(c)2-15(c)、(d)(d)所示，由圆柱面所示，由圆柱面mnmn、m m1 1n n1 1和纵截面和纵截面mmmm1 1、nnnn1 1组组 成，微元在轴线方向的长度为成，微元在轴线方向的长度为1 1单位。单位。 b. 平衡方程平衡方程 0 2 sin2 dr rdddrrd rrr dr d r r r （2-26） 2.3 厚壁圆筒应力分析 mm nn 1 11 1 m m n n m mn n drdr mmnn w+d+dw w 1 11 1 r r d d 图图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移厚壁圆筒中微元体的位移 c. 几何方程几何方程 (应力应变）应力应变

6、） 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析 c. 几何方程（续）几何方程（续） 径向应变径向应变 周向应变周向应变 变形协调方程变形协调方程 dr dw dr wdww r r w rd rddwr r rdr d1 （2-27） （2-28） 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析 d. 物理方程物理方程 zr zrr E E 1 1 （2-29） 2.3 厚壁圆筒应力分析 e. 平衡、几何和物理方程综合平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程求解应力的微分方程 将式（将式（2-28）中的应变换成应力）中的应变换成应力 并整理得到：并整理得到： 03 2 2 dr d dr d r r

7、r ; 2 r B A r 2 r B A 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析 解该微分方程，可得解该微分方程，可得 的通解。将的通解。将 再代入式（再代入式（2-26） 得得 。 r r （233） 边界条件为：当 时， ； 当 时， 。 i Rr ir p 0 Rr 0 p r 由此得积分常数由此得积分常数A和和B为：为： 22 0 2 00 2 i ii RR RpRp A 22 0 2 0 2 0 i ii RR RRpp B 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析 周向应力周向应力 径向应力径向应力 轴向应力轴向应力 222 0 2 0 2 0 22 0 2 00 2 1 r

8、RR RRpp RR RpRp i ii i ii 222 0 2 0 2 0 22 0 2 00 2 1 rRR RRpp RR RpRp i ii i ii r 22 0 2 00 2 i ii z RR RpRp （2-34） 称Lam（拉美）公式 2.3 厚壁圆筒应力分析 仅受内压 po=0 仅受外压 pi=0 任意半径r 处 内壁处 r=Ri 外壁处 r=Ro 任意半径r 处 内壁处 r=Ri 外壁处 r=Ro r 2 2 2 1 1r R K p oi i p 0 2 2 2 2 1 1r R K Kp io 0 o p 2 2 2 1 1r R K p oi 1 1 2 2 K

9、K Pi 1 2 2 K pi 2 2 2 2 1 1r R K Kp io 1 2 2 2 K K po 1 1 2 2 K K po z 1 1 2 K pi 1 2 2 K K po 受力 情况 位 置 应 力 分 析 2.3 厚壁圆筒应力分析 r z r z 1 2 K i p z 0 min r i p r max 1 2 1 max 2 K K pi 1 2 2 min K pi 0 min r 0max p r 1 2 2 0 K K p z 1 2 1 min 2 0 K K p 1 2 2 max 2 0 K K p 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布 (a)仅受内压 (b

10、)仅受外压 2.3 厚壁圆筒应力分析 从图从图2-172-17中可见，中可见， 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： 周向应力周向应力 及轴向应力及轴向应力 均为拉应力（正值），均为拉应力（正值）， 径向应力径向应力 为压应力（负值）。为压应力（负值）。 z r 2.3 厚壁圆筒应力分析 在数值上有如下规律：在数值上有如下规律： 内壁周向应力内壁周向应力 有最大值，其值为：有最大值，其值为： 外壁处减至最小，其值为：外壁处减至最小，其值为： 内外壁内外壁 之差为之差为 ； 径向应力内壁处为径向应力内壁处为 ，随着，随着 增加，增加， 径向应力绝对值径向应

11、力绝对值 逐渐减小，在外壁处逐渐减小，在外壁处 =0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半，即和的一半，即 1 1 2 2 max K K pi 1 2 2 min K pi i p i pr r rz 2 1 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析 除除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。值有关。 以以 为例，外壁与内壁处的为例，外壁与内壁处的 周向应力周向应力 之比为：之比为： K值愈大不均匀程度愈严重，值愈大不均匀程度愈严重， 当内壁材料开始出现屈服时

12、，当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，外壁材料则没有达到屈服， 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。因此筒体材料强度不能得到充分的利用。 z 1 2 2 0 K i Rr Rr 2.3 厚壁圆筒应力分析 1、热应力概念、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点、热应力的特点 2.3 厚壁圆筒应力分析 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内 所引起的应力，称为热应力。所引起的应力，称为热应力。 单向约束：单向约束： 双向

13、约束：双向约束： 三向约束：三向约束： tE t y 1 tE t y t x 21 tE t z t y t x 2.3 厚壁圆筒应力分析 （235） （236） （237） 厚壁圆筒中的热应力由厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程平衡方程、几何方程和物理方程，结合结合 边界条件边界条件求解。求解。 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态 传热状态下，三向热应力的表达式为：传热状态下，三向热应力的表达式为： （详细推导见文献11附录） 2.3 厚壁圆筒应力分析 1 2 ln ln21 12 1 1 ln ln

14、12 1 1 ln ln1 12 2 2 2 2 2 KK KtE K K K KtE K K K KtE rt z rrt r rrt 轴向热应力 径向热应力 周向热应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 t筒体内外壁的温差， 0 ttt i K 筒体的外半径与内半径之比 i R R K 0 Kr筒体的外半径与任意半径之比， r R Kr 0 厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， 表中 12 tE P t 厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。 2.3 厚壁圆筒应力分析 热应 力 任意半径r处圆筒内壁 KKr处圆筒外壁1 r K处 t r 1 1 ln ln 2 2 K K K K t rr p00 t

15、 1 1 ln ln1 2 2 K K K K t rr P 1 2 ln 1 2 2 K K Kt P 1 2 ln 1 2 K Kt P t z 1 2 ln ln21 2 K K K t r P 1 2 ln 1 2 2 K K Kt P 1 2 ln 1 2 K Kt P 表表2-2 厚壁圆筒中的热应力厚壁圆筒中的热应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 O Ro Ri r Ro Ri O r r z t t t t z t t r 图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布 （a）内部加热 (b)外部加热 2.3 厚壁圆筒应力分析 厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为：厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为：

16、 热应力大小与内外壁温差成正比热应力大小与内外壁温差成正比 取决于壁厚，径比取决于壁厚，径比K值愈大值愈大 值也愈大，表值也愈大，表2-2中的中的 值也愈大。值也愈大。 tt t P 热应力沿壁厚方向是变化的热应力沿壁厚方向是变化的 2.3 厚壁圆筒应力分析 , t rrr , t t zzz （2-39） 具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。 2.3 厚壁圆筒应力分析 总 应 力筒 体 内 壁 处 i Rr筒 体 外 壁 处 o Rr r p 0 K K P K K Pp tt ln ln1 1 1 2 2 K P K Pp tt ln 1 1 2 2 z K K P K Pp t

17、t ln ln21 1 1 2 2 K P K Pp tt ln 1 1 1 2 表表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力 2.3 厚壁圆筒应力分析 a.内加热情况 Ro Ri O r b.外加热情况 r O Ri Ro z r r z 图2-21 厚壁筒内的综合应力 （a）内加热情况；(b)外加热情况 2.3 厚壁圆筒应力分析 由图可见由图可见 内加热内加热内壁应力叠加后得到改善，内壁应力叠加后得到改善， 外壁应力有所恶化外壁应力有所恶化。 外加热外加热则相反，内壁应力恶化，则相反，内壁应力恶化， 外壁应力得到很大改善外壁应力得到很大改善。 2.3 厚

18、壁圆筒应力分析 a. 热应力随约束程度的增大而增大热应力随约束程度的增大而增大 b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力热应力与零外载相平衡，是自平衡应力 （Self- balancing stress） c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变 可使热应力降低可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的热应力在构件内是变化的 2.3 厚壁圆筒应力分析 讨论讨论 1、如果厚壁圆筒是多层结构，且各层的材料不相同，、如果厚壁圆筒是多层结构，且各层的材料不相同， 其应力分布与单层结构有什么不同？其应力分布与单层结构有什么不同？ 2、为防止热应力过大，工程上可采取

19、哪些对策措施？、为防止热应力过大，工程上可采取哪些对策措施？ 3、如圆筒受到脉冲载荷的作用，平衡方程是否会改、如圆筒受到脉冲载荷的作用，平衡方程是否会改 变？变？ 2.3.1 弹性应力弹性应力 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 图2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒 Rc 弹性区 塑性区 塑性区 Rc 弹性区 R0 Ri R0 内压塑性区弹性区 描述弹塑性厚壁圆筒的 几何与载荷参数： ooccii PRPRPR,;,;, 本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力 材料假设： 理想弹塑性理想弹塑性 图2-23 理想弹-塑性材料的 应力-应变关系 O 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 sr 3 2 s

20、r max 1、塑性区应力、塑性区应力 平衡方程： dr d r r r Mises屈服 失效判据： sr 3 2 联立 积分 Ar sr ln 3 2 iri pRr: 内壁边界条件，求 出A后带回上试 i i sr p R r ln 3 2 （2-26） （2-40） （2-42） （2-41） 带入 （2-40） i i s p R r ln1 3 2 （2-43） i i sr z p R r ln21 32 （2-44） crc pRr: i i c sc p R R pln 3 2 （2-45） 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 弹性区内壁处于屈服状态: sRrrRr cc 3 2

21、 Kc=Ro/Rc 表2-1拉美公式 2 0 22 0 3R RR p cs c （2-46） 与2-45联立 导出弹性区与塑性区交 界面的pi与Rc的关系 )ln21 ( 3 2 0 2 i ccs i R R R R p （2-47） （2-34） 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 3 1 3 1 3 R R r R R R r R R R cs z cs cs r 若按 屈雷 斯卡 （H. Tresca）屈 服失 效判 据， 也 可导 出类 似的 上 述 各表达式。各种应力表达式列于表 2-4 中 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除

22、内压力当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力pi 残余应力残余应力 思考：残余应力是如何产生的？思考：残余应力是如何产生的？ 卸载定理：卸载定理：卸载时应力改变量卸载时应力改变量 和应变的改变量和应变的改变量 之间之间 存在着弹性关系存在着弹性关系 。图。图2-24。 E o 图图2-24 卸载过程的应力和应变卸载过程的应力和应变 思考：残余应力该如何计算？思考：残余应力该如何计算？ 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 基于基于Mises屈服准则的塑性区（屈服准则的塑性区（RirrRc）中的残余应力为）中的残余应力为 i cc i i c cs R R R R r R RR R R r R R l

23、n211ln21 3 2 0 2 0 22 0 2 2 0 i cc i i c cs r R R R R r R RR R R r R R ln211ln21 3 2 0 2 0 22 0 2 2 0 i cc i i c cs z R R R R RR R R r R R ln21ln2 3 2 0 22 0 2 2 0 （2-49） 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 弹性区（弹性区（Rcr rR0）中的残余应力为）中的残余应力为 50)-(2 ln211 3 2 0 22 0 2 2 0 2 0 i cc i ics r R R R R RR R R R r R i cc i ics R

24、 R R R RR R R R r R ln211 3 2 0 22 0 2 2 0 2 0 ici ics z R R R R RR R R R 0 2 0 22 0 2 2 0 ln21 3 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 200 150 100 -100 -150 -200 0 011.753.0 r z RiRcRo 105 75 35 0 -35 -70 -105 -140 -175 -210 -245 -280 r z 0 Ri 1 Rc 1.75 Ro 3.0 塑性区弹性区 a.加载时的应力分布b.卸载后的残余应力 筒壁应力,MPa 筒壁应力,MPa 图2-25 弹-塑性区的应力分布 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力 爆破过程爆破过程 OAOA：弹性变形阶段：弹性变形阶段 AC：弹塑性变形阶段（：弹塑性变形阶段（ 壁厚减薄壁厚减薄+材料强化）材料强化） C: 塑性垮塌压力（塑性垮塌压力（Plastic Collapse Pressure）容器所能承受的最大压力容器所能承受的最大压力 D: 爆破压力（爆破压力（Bursti