随机过程2(2.1)

1、第二章第二章 Brown运动运动本章主要内容本章主要内容Brown运动的定义及性质运动的定义及性质Brown运动有关的随机过程运动有关的随机过程Brown运动的仿真运动的仿真 Brown 运动的背景介绍运动的背景介绍l1827年英国植物学家发现布朗运动年英国植物学家发现布朗运动l1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述现象的数学描述.l相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难学描述这个模型非常困难.l1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些

2、结果朗运动的一些结果l1918年年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式理论简明的数学公式l此后该课题得到了巨大的发展此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的被一些列的物理学家完善物理学家完善l 布朗运动解释为布朗运动解释为随机游动的极限随机游动的极限l W (t)表示质点在表示质点在时刻时刻t的位置的位置，则，则W (t) 也表示也表示质点直到质点直到t所作的位移，因此在时间所作的位移，因此在时间(s, t)内，它所内，它所做的位移是做的位移是W (t)-W (s),由于在时间由于在时间(s, t)内质点受内质点受到周围分子的大量碰撞，每

3、次碰撞都产生一个小到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故的位移，故W (t)-W (s)是大量小位移的和，由是大量小位移的和，由中中心极限定理它服从正态分布心极限定理它服从正态分布l 介质处于介质处于平衡状态平衡状态，因此质点在一小区间上，因此质点在一小区间上位移的位移的统计规律只与区间长度有关统计规律只与区间长度有关，而与开始，而与开始观察的时刻无关观察的时刻无关l由于分子运动的由于分子运动的独立性和无规则性独立性和无规则性，认为质点，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的位移也是独立的（Brown motio

4、n）称称实实S.P.W(t),t0是是Wiener过程过程,如果如果(1)(0)WxR-1211001( )-(),(3)2, 0= ( )-( ),( )-( ) ,nnnW tW tW tntW tW tttW t 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量(2)0,( )( ) (0,()W tWssNtst (0)0W的也称为的也称为标准标准运动运动（）随机过程具有连续的样本轨道（）随机过程具有连续的样本轨道二二. 布朗运动的定义布朗运动的定义Wiener过程过程称称实实S.P.W(t),t0是参数为是参数为2 2的的Wiener过程过程,如果如果(1)(0)0W(2)( ),0W t

5、t 是平稳的独立增量过程是平稳的独立增量过程2(3)0,( )( ) (0,()st W tW sNts 一、直线上的随机游动一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔t 时时间，等概率地向左或向右移动间，等概率地向左或向右移动x的距离。以的距离。以X(t)表表示时刻示时刻t粒子的位置，则粒子的位置，则1( )()ttX tx XX 其中其中1,1,iX如果步长为如果步长为x的第的第i步向右步向右如果步长为如果步长为x的第的第i步向左步向左且且Xi相互独立。相互独立。布朗运动定义的来源布朗运动定义的来源1112iiP XP X 因为因为0,(

6、)1iiEXVar X所以所以2( )0,( )() E X tVar X txtt 当当 时，应有时，应有0t 0 x 令令xt 则当则当 时，有时，有0t 2( )0,( )E X tVar X tt注：若注：若 当当 时时，()xt 1 2( )0,Var X t当当 时时，1 2( ).Var X t 一维一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限动的极限.三三 Brown运动的数字特征运动的数字特征定理定理设设 W(t),t0是参数为是参数为2的的Wiener过程过程.则则2(1)0,( ) (0,)tW tNt 22(2)( )0,(

7、 ),0,( , )( , )min( , ), , ,0WWWWmtDtttRs tCs ts t s t证明证明(1) 由定义由定义,显然成立显然成立.(2) 由由(1)易知有易知有0,)(, 0)(2tttDtmWW对对s0, 0, t 0,0,不妨设不妨设 st,t,则则)()(E),(tWsWtsRW),min()(E()()(E0)(E)()()(0()(E)()()()(0()(E22222tsssWsWDsWsWsWtWWsWsWsWtWWsW独立性),min(t)(),(),(2tsmsmtsRtsCWWWW例例1 SBM是正态过程是正态过程证明证明 设设 W(t),t0是参

8、数为是参数为1的的Wiener过程过程. 则对任意的则对任意的n1,1,以及任意的以及任意的nttt210W(t1), W(t2), , W(tn)是是n维随机变量维随机变量由由Wiener过程的定义知过程的定义知)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW相互独立相互独立11( )()(0 ()kkkkW tW tNtt服从，分布所以所以）（)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW是是n维正态随机变量维正态随机变量.又由于又由于)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW)(,),(),(21ntWtWtW100100110111所以所以)(,)

9、,(),(21ntWtWtW是是n维正态变量维正态变量.所以所以W(t),t0是正态过程是正态过程. 1,nW tW t的联合密度函数为的联合密度函数为1211121211,()()()nnntttttnnf x xxfxfxxfxx其中其中 2212xttfxet这是因为在这是因为在W(t1)=x1的条件下，的条件下，W(t2)的条件密度的条件密度函数为函数为 221212121()2()21212112 ()xxttW tW tttfx xettfxx由此可以看出由此可以看出 服从服从n维正态分布维正态分布。 1,nW tW t例例2: 求布朗运动求布朗运动W(t)的联合概率密度的联合概率

10、密度解：设解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的是标准布朗运动，对任意的t1t2tn，有，有22121221121211121211121212()21( )( )( )( )( )( )( )( )( )12 ()yxxttP W tx W txP W txxx W txP W tW txx W txP W tW txxedyttW(t2)-W(t1)与W(t1)独立即即112121( )( )( ,)W txW tN x tt 210021021E W tW txxVar W tW txtt所以所以 2112121E W tW tW tVar W tW ttt121321111213211

11、21112( )121321()( )()(),( )11()(),( )( )121321()( )()()()()121,()()(,)(,)()()()()()()(nnnnnnnW tW tW tW tW tW tnnW tW tW tW tnnW tW tW tW tW tW ttttttnf x xxfxfx xfx x xfx xxfxfx xfx xfx xfxfxxfx1)nx例例3： 写出写出SBM的的n维特征函数维特征函数解：不是一般性解：不是一般性 ，假设假设0120= 0和固定的时间和固定的时间指标指标t0,有有W (at)=a1/2W(t)3.时间可逆性时间可逆性

12、B (t)=W (T)-W (T-t)则则B=B (t), 0tT也是一个标准也是一个标准Brown运运动动对称性的证明对称性的证明：显然显然 -W(0)=0( )( ) (0,)0()W tWtsNtss 1002111-( )-( ),( )-( ), ( )2, 0= 0，布朗运动在，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性称性。布朗运动布朗运动W(t)的对称性的对称性在在W(t0)=x0的条件下，的条件下，W(t0+t)的条件密度函数为的条件密度函数为() (0,)W atNa

13、t12=( )X a W t令令221-2-22-11()=22yzxaxattP W atxedyedzatt21-212-2-1()= ( )=2yaxtP XxP a W txedytyaz自相似性证明自相似性证明要证要证X服从正态分布服从正态分布时间可逆性证明：时间可逆性证明： 显然显然 B(0)=W(T)-W(T-0)=0( )( )( )()( )() (0,()0), B tB sW TW TtW TW TsNtsts1021-101( )- ( )2, 0, ( )- (= 0,t对于固定的时刻对于固定的时刻t0,定义增量定义增量( )=( +)-( ),W tW tt W t

14、那么对于任意固定的那么对于任意固定的0,x和时刻和时刻0,t有有+0( )( lim )=1tW tPxt +00( )( )( lim )= lim( )ttW tW tPxPxtt +0= lim( ) )tPW tx t +2+02= limexp(-)22x ttydytt +2+02= limexp(-)2xttzdz 2+02=exp(-)=12zdz 例例6 设设W(t)是布朗运动，求是布朗运动，求W(1)+ W(2)+W(3)+ W(4)的分布。的分布。 解解 令令(1),(2),(3),(4)TXWWWW则则X是多元正态分布是多元正态分布,具有零均值具有零均值,协方差矩阵为协

15、方差矩阵为1111122212331234 令令(1,1,1,1),A 则则(1)(2)(3)(4)(0,)TWWWWAXNA A30,TA A而而所以所以,(0,30)AXN补充：布朗运动的首达时与最大值补充：布朗运动的首达时与最大值0( ),0inf ,0,( ),.0,( )max( )0( )( )au taaW t tTt tW taatM tW uaTtM taP TtP M ta 设为标准的布朗运动.定义：则称其为首次击中 的时间定义：对表示0,t上的最大值.当时，显然存在下述事件的等价关系因此，有最大值与首中时的分布特性最大值与首中时的分布特性222( )0,)3220,( )

16、2( )( )( ),02aaatM tatTaM tTfaeIataftett定理：对任意的和 的分布函数分别为关键的结论关键的结论一、首中时及其分布一、首中时及其分布设设B(t),t0为标准布朗运动，为标准布朗运动，B(0)=0，令令Ta=inft;t0,B(t)=a，则，则Ta表示首次击中表示首次击中a的时刻的时刻（首中时）。（首中时）。下面求下面求Ta的分布函数的分布函数P(Tat).由全概公式有由全概公式有 aaaaP B taP B taTt P TtP B taTt P Tt三三. 首中时、最大值变量及反正弦律首中时、最大值变量及反正弦律显然显然 0aP B ta Tt又由布朗运

17、动的对称性知，在又由布朗运动的对称性知，在Tat的条件下，的条件下，即即B(Ta) =a时，时，B(t) a与与B(t) a是等可能的，是等可能的，即即 122aaaP B ta TtP B ta TtP TtP B ta于是当于是当a 0时，有时，有 2222232222222(1(),020,0aaaTauxtaatatTTFtP TtP B taeduedxtatatetftFtt推论推论1：P(Ta)=1 （布朗运动的常返性布朗运动的常返性）2222022limlim122uuaaatttP TP Tteduedu 推论推论2：ETa=+ 布朗运动的零常返性布朗运动的零常返性22222

18、220002002220212201221202222212212212autaaauuuuETP Tt dtedudtdteduaeduuaeduua eduu 推论推论3：由布朗运动的对称性，有由布朗运动的对称性，有T-a与与Ta有相同的有相同的分布，即分布，即 P(T-at)= P(Tat). 所以，对任意的所以，对任意的a有有 222322222(1(),020,0aaaxaTatatTTFtP TtedxatatetftFtt 由推论由推论1和推论和推论2知，布朗运动以概率知，布朗运动以概率1迟早会击迟早会击中中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动，但它的平均时间却是无穷的。并

19、且布朗运动从任何一点出发击中从任何一点出发击中a的概率都是的概率都是1。性质。性质P(Ta)=1称为布朗运动的常返性。称为布朗运动的常返性。二、最大值及其分布二、最大值及其分布 0maxs tM tB s 称为布朗运动在称为布朗运动在0,t中的最大值。中的最大值。 taMaTt利用利用可得可得2222(1()2yatataP MaP Ttedyt2222( ),(0), ()2txtMttfxexE Mt类似地可得到布朗运动在类似地可得到布朗运动在0,t中的最小值中的最小值 0mints tmB s 的分布。的分布。三、反正弦律三、反正弦律 对任意的对任意的t1t2，记事件，记事件0(t1,t2)=至少有一个至少有一个t (t1,t2), 使得使得B(t)=0 =在在(t1,t2)内，内， B(t)=0至少有一个零点至少有一个零点，由，由全概公式有全概公式有 2121