傅里叶年级数课程及习题讲解

1、、傅里叶级数第15章傅里叶级数 15.1傅里叶级数基本内容f (x)=迟 anXn在幕级数讨论中n，可视为线性表出而得不妨称1，x，x2，川,xn,|)|为基，则不同的基就有不同的级数今用三角函数系 作为基，就得到傅里叶级数1三角函数系函数列1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,山,cosnx, sin nx,山称为三角函数系.其有下面两个 重要性质.(1) 周期性 每一个函数都是以2二为周期的周期函数；(2) 正交性 任意两个不同函数的积在-二，二上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在【-；二可积的函数系Un(x): X a, b, n ,2川，

2、定义两个函数的内积为b.Un(X),Um(X)； =Un(x) Um(X)d Xa1=0 m = nU(x),Um(x)=2j-r山 1如果I 0 m加，则称函数系g(x): xa, b, n T2| 为正交系.1, sinnxf(X)经函数系由于1 sin nxdx 二sinmx, sinnx . -sinmx sin nxd x 二71cosmx, cos nx = cosmx cos nxd x =* -JIn1 cos nxd x = 0T；i：；. m = n0 m = n .： m = n10 m 冷.sinmx, cosnxsinmx cosnxdx=0F y；.1, 1, .

3、.12dx=2二,所以三角函数系在Y，二】上具有正交性，故称为 正交系.利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中*0,印4川,an ,bn川为常数2以2二为周期的傅里叶级数定义1设函数f(X)在 r 】上可积,11 二akf(x),coskxf (x)coskxdxn一 “1 f 、 1 “df (x),sin kx =f (x)sin kxdx江 一31k=0,1,2ll ;JIt、 k = 1,2,川称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数1称为f(x)的傅里叶级数，记作a 一亠 一 i an cosnx bn sinnx f (X)兀1. nxcosnxd xxd(sin nx) -4

4、一* n 丄.这里之所以不用等号，是因为函数f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其 是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2二为周期的函数f(x)在-二,二上按段光滑，则a oO0 _ .an cosnx bn sin nx =2 n丄 其中可血为f (X)的傅里叶系数.定义2如果f (x) Ca, b，则称f (x)在a,b上光滑.若-x a,b), f (x 0), f (x 0)存在； V(a,b, f(x0)， f (x0)存在， 且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在a,b上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至

5、多有有限个 第一类间断点与角点.角点f (x 0) f (x 0)J y 推论 如果f(x)是以2兀为周期的连续函数，且在x【叫呵上按 段光滑，则X R，a0 J0f(x) = 一 ancosnx bnsinnx 有2 n 土定义3设f(x)在(F上有定义，函数称f(x)为的周期延拓.二习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1) f(x)二 x, (i)-二：x ：二，(ii) 0：x ：2二；解：(i)、f(x)=x，X (-二匚)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.r兀卄0由系数公式得1 二a当n -1时，aof (x)d x 二丄 xsinnx-丄 nn

6、 二一 1xcos nx n 二1 兀|cos nxdx = (T)sin n xdx = 0-n 1 _2n匚n二f(X)=2艺(_1)n 十沁所以“耳n ， x (-,)为所求.(ii)、f(x)=x，X0,2二)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1 .a。f (x)d x =0 :12 xdx=2二-0当n _1时，12二 1xsin nx|n0n二2 -0 sinn xdx1 xcos nx|2二丄n0 n 二2-2cos nxdx =0n所以sin nx f (x)-二 -2、n 42f (x)= x ,(i)2(i)、f(x)= x(2)解：其按

7、段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得ao 1 f(x)dx 二31当n _1时，2 .2 xcos nx| n n , x (，2 二)为所求.-n x n (ii) 0 x 2 n；X(-二，二)作周期延拓的图象如下.c 2二 2 * 2 二x dx 二3JI2-JI2n .-7：JI22n :in nxdx = 0 xsinnx| n -n 4X=(-)22 n sinnx4、(-1)n-n吕n2f (x)=所以3解：(ii)、f(x)=x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得a。=丄 Jx(-二，二)为所求.X，(0,2二)作周期延拓的图象如下.x)d x =-O-2

8、二2 二2 020当n -1时，22- 2= xcos nx|n0x o- fon2 二所以2284 二 2., 2-2xsin nx| n n202 二cos nxdx = 20n24 二n2 :2 二si nn xdx = 0nf(x)= 3cos nx二 sin nxn2, x (0,2 二)为所求.-二：x _0兀axf (x) =_bx0 c xx (-二，二(a =b,a = 0,b = 0)(3)解：函数f(x)，x (-二匚)作周期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得11 - 1 , a。f (x)d xaxd x 亠IT 5当n _1时，-：(b

9、-a) 2(ba)J.：1 cos(2n 1)xf (x) =+工cos(2 n1)x所以4- n 4 (2n _1)a+b)h(1严沁)n4n ，Xj(_7T,7r)为所求.2设f是以2二为周期的可积函数，证明对任何实数c ,有1an :JIc1f (x)cos nxdx = c.f (x)cos nxd x, n = 0,1,2,川 江7，1 二B =f (x)si nn xdxf (x)s inn xdx ,n = 1,2,|c 1 2 * 二二 c证：因为f(x)，sinnx，cosnx都是以2二为周期的可积函数，所以令t = x 2二有 1c+2 -1f (t)cos ntdtf (

10、x)cos nxdx兀兀_c+2 二JI JIc 2 二f (x)cos n xdx1从而1 二 二一 f (x)cos nxdx同理可得bn1 兀f (x)s inn xdxf (x)s inn xdxJI T-3lf(x)二3兀1143把函数15一7川0 乞 x :二展开成傅里叶级数，并由它推出ji1336一丄1113 17十1丄丄丄山57111317.X，(-二，二)作周期延拓的图象如下.(3) 解： 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得1 二 二一_ f (x)dJl T函数f (x)，a0-JI0 -二d x +丄二 ：4二.TtJl0严01n -1 时,1ann =2k

11、 1n =2k故 f(x)$1sin(2n _1)x, x (-二,0)U(0,二) n2n -1为所求.(1)n n11 1x1 -取 2，则43 57 .川+IH7 “ 得JT于是134121 + 5 7111317JI 卄X二一 取 3 ,m丄丄山则 42571113 17所以3亠1一657111317当n -1时,4设函数f(x)满足条件f(xy) = -f(x)，问此函数在-二，二内的傅里叶级数具有什么 特性.解：因为f(x)满足条件f(x 二)H-f(x)，所以f (xHf(xf (x)，即f(x)是以2二为周期的函数.于是由系数公式得1 二1 二0 f (t 二)dt f(x)d

12、 x=0：, 0：, 0f (x)cosnxdx当n _1时，-7： 00二 2 二f (x)sin nxdx-： 0.0故当 f (x 二)二-f (x)时n =2k -1n =2kn =2k -1n =2k函数f(X)在-二，二内的傅里叶级数的特性是a2k=0，b2k=0.5设函数f(x)满足条件：f(x*)二f(x)，问此函数在-二；内的傅里叶级数具有什么 特性.解：因为f(x)满足条件f(x二)(X)，所以f(x 二)=f(x *)二f(x)，即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1 二 1 . 2二一 f (t 二)dt f(x)d x= f(x)dx二0 二0 二 0JI

13、f (x)cosnxdx 00n 二 2kn =2k -12-f (x)s inn xdx7：00n 二2kn =2k-1函数f(x)在-二,二内的傅里叶级数的特性是故当 f (x 二)二 f(x)时，6试证函数系cosnx n= 0,1,2,111和sinnx, n =1,2,川都是0,兀上的正交函数系, 起来的却不是【,二上的正交函数系.证：就函数系1, cosx, cos2xJH, cosnxJIQ，1,1 d x =因为-n， 0a2k=0，b2k 1 二 0但他们合cos nx,cos nxjif 兀 21. nJ0 cos nxdx =? J0 (cos2nx +1)d x又 1,

14、cosnx；二Vm, n，m 知时，1 二1 二cos( m n )xdxcos(m - n) xdx=02 02 0.所以1, cosx, cos2x, |H, cosnx, HD 在0,二上是正交系.就函数系sin x, sin2x, |H, sinnx,川，因为-n，0 cosnxdx=0.7I, cosnx,sinnx,sin nx =sin2nxdx= (1 -cos2nx)d x =0 2 0又-m, n，m = n 时,12所以sin但1,si-1 二 1 二=- o cos(m n)xdx ? o cos(m -n)xdx=0x, sin2x, I, sinnxj|在0, :上

15、是正交系.sinx, cosx, sin2x, cos2x, |丨),sinnx, cosnxJH不是 0,二上的正交系.3T,sin x sin xdx =10/ J0实因：7求下列函数的傅里叶级数展开式 xf (x), 0 : x : 2:2 ;(1)xf (x) =,0 vx 2- n 二(2 n-1)21习题3得由贝塞尔等式得二 -16 二2 1oO=52即 8 n 1 (2 n -1).(2)取 f(x)二x, x (-二，二)由 1习题1 (1)得sin nx,x (-二，二)nf(x)=2(-1)n1n=1由贝塞尔等式得兀2 二S 1TT0f x2 d x =ZJ1)“2Sni

16、n丿1:1故 6 nn . 取f（X）二2x , X -二，二，由 1习题1 (2)得2 :x 2 :广(-1)n 1 二 4 门1x d x =一由贝塞尔等式得二2丄4n .若f,g均为-二，二上可积函数,+Zn=1n COSX丿-,X (-二，二) nM)n4 2故904证明：于f和g,则且他们的傅里叶级数在，刁上分别一致收敛1 二T. _.f(x)g(x)dxJt lr T证：a0f (x) - 0 +瓦(an cosnx+bnsinnx) 由题设知2 nJ，otg(x) 0 二C n cos nx l nsin nx)2n 二其中N,bn为f的傅里叶系数，宀，7为g的傅里叶系数.JI1

17、 - f(x)g(x)dx 于疋=f (x),g(x)而:叫oaan cos nx bnsin nx, 0 n J21所以-f(x)g(x)dx=5证明若f及其导函数f均在-二上可积，匸f(x)dx=0 ff(二)，且成立贝塞尔等式，贝uQ(x)2dx2dx证：因为f(x)、f(x)在- - 1上可积,：f(x)匚f(x)dx=0f 3) = f 伍)?L?=ancosnx,: n cosnx =an：n，= .bncos nx, -n cos nx 二 bn：nao(aj n bn n)2n4a00f (x)0、(an cosnx bn sinnx)设2 n 士，a” 比f (x)0 亠二(

18、an cosnx bn sin nx)2 n 二由系数公式得1a=丄二 f31(x)d x1f (二)-f (-二)=0JT当n _1时,1an31f n f (x)cos nxdxf(x)cosnx|f (x)sin nxd x = nbnJI T于是由贝塞尔等式得=Jjf(x/dx总练习题151试求三角多项式 的傅里叶级数展开式.A nTn(x) = +E (Ak coskx + B sin kx)解：因为2 k1是以2二为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得na。=(Tn(x),1)=(牛吃 Gcoskx + BkSinkx),) =A当k _1时，A0n. A(A cos

19、kx Bksin kx),coskx :2 y0=(A coskx+ Bk sin kx),sinkx = !Bk270k n k . nk乞n k . nA n Tn(x)0、(Acoskx Bksin kx)故在(：),27的傅里叶级数就是其本身.2 设f为-儿兀上可积函数，a,ak,bk(k =1,2,川,n)为f的 傅里叶系数，试证明，当 A0 =a0，A = ak，Bk = bk (k =1,2J H，n)时，畀2积分.Jf(X)Tn(X)d21 x取最小值，且最小值为兀2丨f (x) I dx -7：汀(a2 b2) IL2 y上述Tn(x)是第1题中的三角多项式，A0,人,Bk为

20、它的傅里叶系数.oOf (x)0 亠i an cosnx bn sin nx证：设2 n4，A nTn (x)0 亠二(Akcoskx Bk sinkx)2 k 土.且 A0 - a0 , A - ak , Bk - bk (k =1,2,lll, n)2f(x)-Tn(x) dx因为a。 2 1 2 = f (x)d x -2f(x)Tn(x)d xTnanf f (x)Tn(x)d(Aak 乜心)而=2 y，二 Tn2(x)dx V 企 A2 Bk2 2 TI2所以.Jf(X)-Tn(X)1 dx故当 A0 =a0,A - ak, Bk =bk(k =1,2,|H,n)时，2-Jf(x)

21、-Tn(x)ldx取最小值，且最小值为-T2f (x) dx -二 -51(x)dx积分汀(a2 b2)-2心3设f为以2二周期，且具有二阶连续可微的函数，bn 二丄f(x)sinnxdx, bn 二丄nJIJI-Hf (x)sin nxdx若级数绝对收敛，则n丄证：因为f(x)为以2二周期，且具有二阶连续可微的函数,711 “bnf (x)sin nxdx= f (x)cos nxTtJI1即- n-1,bn 所以_2 -f (x)sinnxdx 二 n2bn的刃，+ bn“ | ，从而2门n2收敛，H 4又 bn绝对收敛，oO所以n4所以nJ 收敛，且1 ( ) 访 2、bn2n.故结论成立.4设周期为2二的可积函数(x)与(X)满足以下关系式(1)：(x)r(x) ；(2)(x)