浅谈提高初中数学例题教学有效性的实施策略

1、浅谈提高初中数学例题教学有效性的实施策略佘山学校 万利益摘要：例题，在初中数学教学中至关重要，通过例题教学，如何来落实“双基”、促进理解、发展思维，这也是很多教师都在思考的问题。本文从数学例题教学角度入手，探索了例题的含义，分类及其教学意义，并结合自身在例题教学中的一些实践经验,阐述了明确目标、重视分析、学生主体、活学巧设、反思总结这几条提高初中数学例题教学有效性的实施策略。 关键词：例题教学 有效 实施策略一、例题的含义和分类 （一）例题的含义在数学教育教学实践中,我们经常会听到数学例题、数学习题等表述方式。问题、例题、习题,是数学学科中三个相关的概念,很多时候,这三个概念是混着使用的。为能

2、更简单的理解，在此,对问题、习题、例题做一些简单区分：问题,泛指数学领域内需要解决的对象,它是一个包含了例题、习题的上位概念。习题,包括数学教科书中正文中的练习题、正文后的练习题及课后的作业题。 例题,通常指数学教科书中具有像“例1、例2”这样标志的数学题目,也有以“问题”为标示的题目,设置在正文中,起到对一节课的数学知识引入、引导或运用的示范性的作用，还包括因教学需要，教师补充或修改或变式的题目。 （二）例题的分类数学问题按照不同的分类标准有不同的分类方法：根据数学问题要求解答的形式,分为求解题、求证题、求作题；按所属数学领域,分为代数题、平面几何题、三角题等；按题目综合程度,分为单一型题与

3、综合型题,综合题目又分横向综合与纵向综合；按评价的客观性,分为主观题与客观题；根据题目要素,分为标准型题、训练型题、探索型题、问题型题；根据题目条件与答案的确定性,分为开放型题与封闭型题；根据应用范畴,分为纯数学题与应用题。就现行的教科书来看,数学例题从功能上大体可分为下列几类:1.引导概念型例题:即在引入某一新概念之前,以实例的形式进行引导,从而得出新的概念,如两条笔直的铁轨无限伸展引出平行线的概念；时钟的分针与时针引出角的概念；为了引出二次函数的概念，常常会给出一组引例，如：问题1： 若圆的半径为x厘米，圆的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式；问题2： 甲、乙两数的和为20，设甲

4、数为x，甲、乙两数的积为y，试写出y关于x的函数解析式；问题3： 矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将它的长与宽都增加x厘米，记现在的矩形面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式；问题4： 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加. 据统计，2009年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到y万辆. 若该品牌汽车年产量的年增长率从2009年开始五年内保持不变，均为x，试写出y关于x的函数解析式；问题5： 把一根长40厘米的铁丝剪成两段，再分别把每一段弯折成一个正方形（不计接头处的损耗）设其中一段铁丝长x厘米，两个正方形的面积和等于y平方厘米，求y关于

5、x的函数解析式。2.推导公式（公式、定理、法则、性质）型例题:即通过一系列例题推导出某些公式法则、性质等。 例如在学习反比例函数的图像和性质时，常常通过“画出函数，的图像，观察它们的特征”得到一般反比例函数的图像和性质：（1）当k0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。（2）当k0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。3.巩固知识型例题:教材中每一章节内容后都安排了一系列较简单的运用所学过的知识进行练习的例题

6、,其目的是加深理解和掌握刚学的内容。如17.2（3）学习一元二次方程求根公式后，立刻举例：用公式法解下列方程：（1）；（2）4.综合应用性例题:既要运用到刚学过的定理、公式,又要联系到以前学过的知识,并需利用一定的解题技巧。例如（分组分解法因式分解），这里不仅需要学生能够合理的分组，而且还能够熟练掌握平方差公式、完全平方公式。在学习18.3反比例函数的图像和性质时，教材安排了这样一道例题（例题3）：已知函数，且与成正比例，与（）成反比例，当=-2时，=-7，当=-7时，=13. （1）求y关于x的函数解析式；（2）求当=5时的值. 5.隐含公式型例题:这种虽以例题的形式出现,但实际上可当公式用

7、的例题在教材中也屡见不鲜，对于教材给出的教学内容,如何适时适度采取合理方式进行例题教学,是每个数学教师都必须了解和掌握的。例如9.12学完完全平方公式后，计算；又如：24.5相似三角形的性质中的例题4：如图，在ABC中，ACB=90，CD是边AB上的高。求证：（1）AC2=ADAB；（2）CD2=ADBD 二、例题教学的目的和意义关于解题目的，我国教学大纲早有精辟论述。例如，2000年颁布九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试验修订版）明确指出：练习的目的是使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生的基本技能和能力，能够及时发现和弥补教和学中的遗漏或不足，培养学生良好的学习习

8、惯和品质。所以，解题有四大目的：加深理解和掌握双基；培养和发展能力；查漏补缺；培养学习习惯，学会思考。例题教学是解题教学的重要组成部分。例题是所学概念、公式、法则、定理的深入巩固与应用，是数学思想、解题方法的巧妙体现与渗透，是学生平时作业、考试解题的良好示范，是学生获取知识、掌握解题技能技巧的重要途径。同时课本例题作为教材的有机组成部分，是我们教学中不可忽视的一项重要内容和不可欠缺的重要环节，它们都是经过数学教学专家精心筛选而得的问题之精华，具有很好的基础性、典型性、启发性、综合性、应用性、创新性。 因此课本例题的有效利用可以让学生更好地掌握基础的数学知识技能，领会重要的数学思想方法，培养良好

9、的数学思维品质，提升解决问题的能力。三、提高初中数学例题教学有效性的实施策略 (一）明确目标策略 研读课程标准和教学基本要求，制定教学目标。明确例题的教学目的，是提高例题题教学效果的关键。每位教师都必须依照课程标准和教学基本要求，制定合理的教学目标。就某个阶段，某节课来说，每个问题的目标都必须明确，并且围绕核心目标展开。例如，在初三专题复习课图形的平移与旋转一课中，我认真研读了教学要求“发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状、大小不变的共性；学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识；展示图形的运动和变化；初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图

10、形的意识。”围绕这个目标，我设计了这样一道例题：如图，已知四边形ABCD是正方形，AEF是等边三角形， E、F分别位于DC边和BC边上（1）求的度数；（2）将AEF绕着点E逆时针旋转m(0m180)度，使得点A落在正方形ABCD的边上，求m的值并进一步明确了本题的教学目标和教学设想。教学目标：在具体问题情境中能识别旋转中心，辨别旋转方向，计算旋转角，巩固旋转的概念；解决动态问题时，养成画“草图”的习惯，为分析、解决问题提供思路；发现题目结论的多种可能，掌握数学分类讨论思想。教学设想：关注学生思维发展。教学中，教师应引发学生主动思考，培养学生的识图能力、观察能力、动手操作能力、信息迁移能力以及相

11、关几何知识运用。 指导学生解决图形运动问题时养成画“草图”的习惯。由于本题结论存在多种可能，如果学生思维不够严密，就会导致“失解”，一个有效的方法就是让学生用圆规画图，这样不仅可以帮助学生理解题意，克服思维的定势，而且可以化抽象为形象，弥补“看”的不足。及时归纳和提升。例题分析时，教师应有意识引导学生巩固图形旋转的概念（包括旋转中心、旋转方向、旋转角）；例题求解时，应揭示“发现”（发现等腰三角形）的关键是认识到图形“变中不变”的性质，求解的关键是是将角度计算问题转化为等腰三角形内角计算问题；例题反思时，将三角形的的旋转、线段的选旋转、点的旋转进行比较，从而体会图形旋转的本质是点的旋转。（二）重

12、视分析策略重视解题思路的分析，呈现思维过程。对例题的讲解，教师不能将解法和盘托出，因为对学生后续学习真正有帮助的是知道题目的关键条件是什么？为什么要这样解？这个方法怎么想到的？所以教师必须从解题手转变成解题的组织者，引导学生积极思考，将整个思维分析过程暴露出来，探索解题思路。 比如：19.2（4）例8：如图，ABD中，ACBD,垂足为点C，AC=BC.点E在AC上，且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.求证：BFAD 我是这样引导学生这样进行思路分析：先让学生从已知条件AC=BC,ACBD，CE=CD看到BCEACD,再从待证结论分析，要证BFAD，只需证明BFD=90，由三角形内角和等于

13、180，可知EBC+D+BFD=180，DAC+D+ACD=180，又ACD=90，因此只需证明EBC=DAC，而这两个角相等刚好可由BCEACD得到。 又如19.2（6）例题11：如图，D是BC上一点，BD=CD，BAD=CAD ，求证：AB=AC 我引导学生这样分析： 证明线段相等常用方法有哪些？学生做出回答后特别针对三角形全等得线段相等，对于此题不适用，在ABD和ACD中，虽然有BAD=CAD ，BD=CD，AD=AD三个条件但不能推出三角形全等，在这一点上，可以说此题打破了思维定势，需另辟途径，再对题目条件各个分析注意到D是中点，根据中心对称可将ABD旋转180，作出图形后，发现实质就

14、是将AD延长一倍，进而得到本题的辅助线就是将中线AD延长至点E，使DE=AD,因此可得ABDECD使AB=EC。于是要证明AB=AC，只要证明EC=AC，也就是要证明E=CAD，至此，该题的思路已经明朗化。在上述两个例题中，我着重思路分析，让学生体会几何证明题中三种常用的分析方法即：由因导果，从“已知”看“可知”，推向“未知”；执果索因，即从“未知”看“需知”靠拢“已知”；两头凑，从“未知”看“需知”，又从“已知”看“可知”，使“需知”与“可知”相衔接。（三）学生主体策略 教师引导为主，学生是学习的主体。数学课程标准明确指出“教学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程，学生是学习的主体，

15、教师是学习的组织者，引导者与合作者。”所以在例题教学中，我们尽量放手学生，让学生自己分析解题思路，自己板演解题过程，自己反思提炼方法等等；在形式上可以灵活采取分工合作，个别讲解，集体更正等方式；老师作为合作者只是适当点拨，或遇到特殊情况进行调控。下面就是我在一道例题教学时的课堂实录。 求证：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。 已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC,AB=DC 求证：B=C, A=D 师：我们要解决的问题是证明两组角相等？（我话刚说完，就有学生举起手） 生：因为ADBC，所以只要证明其中一对角，另一对角就迎刃而解（其他学生纷纷点头表示同意该学生的说法） 师：那我们就证B=C，我

16、们学过的哪些方法可以证明两个角相等呢？生：有的说证全等，有的说等边对等角，有的说三线八角(学生基本总结出常用证明角相等的方法:两全等三角形的对应角相等；同一三角形中等边对等角；等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角；平行线条件下的同位角、内错角或平行四边形的对角相等;同角（或等角）的余角（或补角）相等; 等于同一角的两个角相等。)师：你们都说的非常好，但是仅仅利用现有条件能不能直接证明呢？不能的话？那该怎么办？对于研究新问题（未知的，复杂的问题），通常采用什么数学思想解决？(“转化”的思想,也就是将未知的转化为已知的，将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究)生：可以添加辅助线。师：说到点

17、上了，请大家相互讨论一下，该如何添加辅助线呢？可以将问题转化为大家熟悉的图形，并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究? (这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题中所提到的添加辅助线后能将梯形问题转化为问题中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系。并利用已知图形的性质及已知条件进行证明)经过几分钟的热烈讨论，同学们各抒己见。生1：（如图2）过梯形的顶点D作DEAB,可得四边形ABED是一个平行四边形，所以 B=DEC,又AB=DE,AB=DC ,得DE=DC ,得DEC=C,从而得出结论。图3图2

18、 生2：(如图3)过上底的端点A,D作下底的垂线AE,DF，将梯形转化成为一个矩形AEFD,得AE=DF,从而得到两个直角三角形全等得出结论. 师：第一位同学通过平移一腰，先证B=DEC，再利用等边对等角证DEC=C ，这一方法将等腰梯形的问题转化为平行四边形和等腰三角形来解决，是我们解决梯形问题中的常用辅助线的添加方法。第二位同学作双高，通过证明B=C所在的两个直角三角形全等，这一方法将等腰梯形问题转化为一个矩形和两个全等直角三角形来解决，也是我们解决等腰梯形问题的常用的辅助线的添加方法。所有同学都是用以上两种方法吗？有没有同学尝试其他方法但没有成功的？ 生3：(如图4）我是延长DA,CD交

19、于点E，想证EBC是等腰三角形，从而证 B=C，但没有成功。图5图4 生4：（如图5）我联结AC,BD，想通过证明ABC和DCB 全等从而证B=C，也没用成功。师：其实你们的想法都很好，你们想到的方法也是解决等腰梯形问题中常用辅助线的添加方法，但在本题中，由于受已知条件的限制，并不可行。所以大家在做题时要勇于尝试，失败之后不要气馁，继续尝试不同的方法。苏霍姆林斯基说过：“人的内心里有一种根深蒂固的需要总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。”在这道例题教学中，我充分相信学生，大胆放手让学生自己发现问题、探索问题、自己经历知识建构，老师只是引导学生学会数学的思考和将解决问题的方式方法进行概括小结。

20、（四）活用善变策略根据学生实际，适当改编例题。 我国著名教育家叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教学的依据，要教学好，使学生受益，还得靠老师善于运用”，虽然教材上提供了可直接引用的例题，但是更多时候我们要针对学生实际，在尊重教材的基础上，创造性地使用教材。有的时候例题原来的情境不符合学生的具体情况，或者原本设计的问题学生理解有难度，或者原来的例题不能满足学生掌握知识的需要，或者可以找到比原来例题更具有针对性的例题等情况，这就要求我们可以将例题的条件或结论进行改编再设计或者对例题进行扩充拓展，努力做到一“题”多用，一“题”多变，一“题”多效，实现教学增值。 例如：如图，ADC=ABC=90, M,N

21、分别是AC ，BD的中点, 求证：MNBD 分析：本题原本只有一问，可对条件结论进行适当设计， 可增加两问：(2)若AC=10.BD=8,求MN的长； (3)若BCA=15,AC=10，OB=OM时，求MN的长。 通过适当添加条件，不仅对“直角三角形斜边中线等于斜边一半”，“等腰三角形三线合一”知识点进行巩固，而且还将“勾股定理”，“三角形外角定理”，“直角三角形30所对直角边等于斜边一半”进行了分层递进的应用，发展学生思维，提高学生解决综合问题的能力。又如：八年级下学期关于等腰梯形的判定，判定定理提供的是在梯形的基础上证等腰梯形，但是在练习时往往要求证明一个四边形是等腰梯形，而证明一个四边形

22、是等腰梯形，则先要证明这个四边形是梯形，而课本上对于证梯形没有相应的例题，所以在上这堂课时我补充了这样一个例题:如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在对角线AC,BD上，且AE=DF求证：四边形ADEF是等腰梯形该题中四边形ADEF对角线AE=DF已经相等，所以该题关键是证明四边形ADEF是梯形。通过该题既熟悉了等腰梯形的证明过程，更重要的是填补了课本上证明梯形的空白。（五）反思总结策略 重视题后反思与总结，促进学生数学思考。反思是对所学过知识的再认识，对经验的提升。学生反思能力的培养，往往同时伴有概括、比较、推理等思维能力的发展，以及对解题方法的提炼。总结可以是总结数学思想方法，比如化归思想

23、、分类讨论方法等，也可以对解题的一般方法进行总结；可以是对一道题总结，也可以是对一类题总结。例如：已知直线y=x+3的图像与x轴，y轴交于A,B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分成2：1两部分，求直线l的解析式。 方法一：设直线l的解析式为y=kx(k0) 设点C坐标（x,kx）点C在第二象限，x0 SAOC=3kx=kx SBOC=3x=-x由SAOC：SBOC=2:1 得k=-2由SBOC：SAOC=2:1 得k=-直线l的解析式为y=-2x或y=-x方法二：SAOB=33= 设点C坐标为（a,b）(a0)若SAOC=SAOB=3则SBOC=SAOB= 即3b=3 3(-a)= 得b=2 a=-1C(-1,2) 设直线l的解析式为y=kx(k0)将C(-1,2)代入得k=-2直线l的解析式为y=-2x若SBOC=SAOB=3则SAOC=SAOB=方法同上，可得直线l的解析式为y=-x本题在教学时，通常