k52006年高考第一轮复习数学：12.2--离散型随机变量的期望值和方差

1、知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有 仅供参考12.2离散型随机变量的期望值和方差知识梳理1 .期望：若离散型随机变量 e ,当e =xi的概率为p ( e =xi) =pi (i=1 , 2,，n,), 则称e e =汇xi pi为己的数学期望，反映了 e的平均值.2 .方差：称de=!2 (xiee) 2pi为随机变量e的均方差，简称方差.村 叫标准差, 反映了乙的离散程度.3 .性质：(1) e(ae+b) =aee+b, d ( a e+b) =a2d e (a、b 为常数) (2)若己b (n, p),则 e 己=np, d e =npq (q=1 p).点击双基1.设投掷1颗骰子的

2、点数为则a.ee =3.5, d 七=3.52c.ee =3.5, d e =3.5解析：士可以取1, 2, 3, 4, 5, 6.b.ee =3.5, dd.ee =3.5, d35123516p (己=1) =p (己=2) =p (己=3) =p ( e =4) =p ( e =5) =p ( e =6)=-, 6, e =1 x +2 x+3 x+4 x+5 x+6 x =3.5,666666de= (1 3.5) 2+ (23.5) 2+ (33.5) 2+ (43.5) 2+ (53.5) 2+ (63.5)勺7 117.535x =.6612答案：b4 .设导弹发射的事故率为0.

3、01,若发射10次，其出事故的次数为 e ,则下列结论正确的是b.d 己=0.1a.ee =0.1c.p ( e =k) =0.01k- 0.9910 kd.p (己=k) =c：0 0.99* 0.0110 k解析：答案：3.已知a.17b (n,p) , e e =10x 0.01=0.1.p),且 ee=7, de =6,b.16则p等于c.- 5d.-解析：e=np=7, d e =np (1 p) =6 ,所以 p=-.7答案：a0.02.设发5 .一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 病的牛的头数为 己，则d己等于a.0.2b.0.8c.0.196d.

4、0.804解析：d 己=10 x 0.02 x 0.98=0.196.答案：c6 .有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量己2,已知eei=e2, deide 2,则自动包装机 的质量较好.解析：eei=e2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.deid2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.，乙机质量好.答案：乙典例剖析【例1】 设e是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求e e、d。-101p121 -2qq2剖析：应先按分布列的性质，求出 q的值后，再计算出 e己、d己.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1,所1 21 2q q 1,2 2以

5、0 1 2 p 1, 解得 q=1 j .212q 1,是，己的分布列为-101p12亚1-3-72 2所以 e 二 (-1) x 工+0x(42-1) +1x ( 22. ) =1 - 2 , 22de=1 (1 霹) 2x 1+ (1尤)2x (v21) + 1 (12)2x (旦 22-u 2 ) = 2 2 1.评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解： ee =(-1) x 1+0x (1 2q) +1 x q2=q2 1.22拓展提高既要会由分布列求 e己、de,也要会由e己、d己求分布列，进行逆向思维.如：若己是离散型随机变量，p (七=x1)=3 ,

6、 p (己=x2)=2 ,且x1x2,又知e =- , d =.55525求e的分布列.解：依题意 七只取2个值x1与x2,于是有e e = x1+ x2=, 555duxa e2. 5525从而得方程组3x1 2x2 7, 2295453x12x211.x1x1解之得1,或x22x2而 x130000p1+10000p2.评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值思考讨论本题中d己有什么实际意义？【例3】 把4个球随机地投入 4个盒子中去，设 e表示空盒子的个数，求 e己、d j剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为 44,空盒子的个数可能为0个，此时投球方法

7、数为 a4=4!, p (己=0) =w = _6 ;空盒子的个数为1时，4464此时投球方法数为 c4 c 2 a 3，p( e =1)= 3664同样可分析p ( e =2), p (己=3). 解：己的所有可能取值为0, 1, 2, 3.a46p (己=0)=-=,4464p ( ”1)_ 1 _ 23c4c2a336：=一4464_2_2_2_22c4c4 c4c4a221：=一44644464的分布列为0123p63621164646464，e-81, d=1695.64642评述：本题的关键是正确理解己的意义，写出己的分布列.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的北=2时

8、，此时有两种情况：有 2个空盒子，每个盒子投 2个球；1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.闯关训练夯实基础1 .设服从二项分布b (n, p)的随机变量e的期望和方差分别是 2.4与1.44,则二项分布的参数n、p的值为a. n=4, p=0.6b. n=6, p=0.4c.n=8, p=0.3d.n=24, p=0.1解析：由 e =2.4= np, de =1.44= np (1p),可得x 1.442.4 八1 p=0.6 , p=0.4 , n=6.2.40.4答案：b2 .一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目己的期望为a.2.

9、44b.3.376c.2.376d.2.4解析：己=0, 1, 2, 3,此时 p ( e =0) =0.43, p (己=1) =0.6x0.42, p (己=2) =0.6 x0.4, p ( e =3) =0.6, ee =2.376.答案：c3 .设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当 p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 .解析：d 己=npqw n ( _p_q) 2=-n ,等号在 p=q=1 时成立，此时，d 己=25, o- = =5.242答案：1524 .甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的， 并且概率都是2

10、,则甲回家途中遇红灯次数的期望为 .5解析：设甲在途中遇红灯次数为己，则eb (3, 2),所以 e 己=3x 2 =1.2.5答案：1.25 .一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中恰有 1个是正确答 案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为 0.8, 求他在这次测试中成绩的期望和标准差 .解：设学生甲答对题数为七,成绩为刀，则己b (50, 0.8), =2 u故成绩的期望为 e 刀=e (2 )=2e 己=2 x 50 x 0.8=80 (分)；成绩的标准差为 (tt=，d = yd(2 )= j4d =2j50 0.8 0

11、.2 =4 72=5.7 (分).6 .袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出 一只黑球得1分，试求得分e的概率分布和数学期望.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球.设取到一只红球得 2分，取到4只球颜色的分布情况:c2c218c435p ( e =7) =c=%, c435c4c0p y =8) = c4135ee=5x*+6x3+7x 生+8*=当=出35353535357培养能力7.一台设备由三大部件组成， 和0.30.假设各部件的状态相互独立, e七和方差d七.解：设ai=部件i需要调整 由题意，e有四个可能值0,在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为以e表示同

12、时需要调整的部件数，试求e0.10, 0.20的数学期望(i=1, 2, 3),则 p (a1) =0.1 , p (a2) =0.2, p (a3) =0.3.1, 2, 3.由于a1, a2, a3相互独立，可见p ( e =0) =p ( a a2 a3 ) =0.9x 0.8x 0.7=0.504;p ( e =1) =p (aia2a3) +p (aia2a3) +p (aia2a3)=0.1 x 0.8 x 0.7+0.9 x 0.2 x0.7+0.9x 0.8x 0.3=0.398;p ( e =2) =p (a1a2 a3 ) +p (a1 a2 a3)+p ( a1 a2a3

13、)=0.1 x0.2x 0.7+0.1 x 0.8x0.3+0.9x 0.2x 0.3=0.092;p ( e =3) =p (a1a2a3) =0.1 x 0.2x 0.3=0.006.e e =1 x 0.398+2 x 0.092+3 x 0.006=0.6 ,d e =e ”一(ee) 2=1 x 0.398+4 x 0.092+9 x 0.006 0.62=0.82 0.36=0.46.8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过证明：设事件在一次试验中发生的次数为e ,次试验中发生的概率为 p,则p ( e =0) =1 -p, pde= (1 p) (0p) 2+p (1p)

14、 2=p (1 p) 14 .e的可能取值为 0或1,又设事件在一(e =1 ) =p, ee=0x (1 p) +1xp=p,(2.244红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故p( e =5)=所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过探究创新k恰好出现在第k个位置上，则称之为9.将数字1, 2, 3, 4任意排成一列，如果数字 一个巧合，求巧合数的数学期望 .-12解：设己为巧合数，则 p(己=0) =2 =2，p( =1) =- =- , p( e=2) = v=，a 424a43a44o. c41p n =3 =0, p 己=4 =f= , a 424所以 e 己

15、=0 x _9_ +1 x 1 +2 x 1 +3 x 0+4 x =1.243424所以巧合数的期望为 1.思悟小结1 .离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度2 .求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差3 .离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：(x e 己)2pi, e (a e +b) =ae e +b, d (a e + b) =a2d e .4 .二项分布的期望与方差：若eb (n, p)

16、,则ee=np, d己=np (1 p).5 .对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布 不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率教师下载中心教学点睛1 .期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.e e由e的分布列唯一确定.2 .d e表示e对e e的平均偏离程度，d e越大表示平均偏离程度越大，说明 e的取值 越分散.3 .要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力拓展题例【例1】 若随机变量 a在一次试验中发生的概率为p (0p1),用随机变量e表示a在1次试验中

17、发生的次数.(1)求方差d己的最大值；(2)求2d1的最大值. e剖析：要求d己、2d一1的最大值，需求 d己、e己关于p的函数式，故需先求 己的 e分布列.解：随机变量 己的所有可能取值为 0, 1,并且有p ( e =1 ) =p, p ( e =0) =1 - p,从 而 ee=0x (1 p) +1xp=p, de = (0p) 2x (1 p) + (1 p) 2x p=p p2.(1) d=pp2=( p1 ) 2+,240p1,当p=1时，d己取得最大值为 二.242、.(2p+-)，p(2) 2d-=2(p p) 1=2-0p1,2p+ ln2m.p当且仅当2p=2，即p=l时，2d一1取得最大值2 272.p