一类高考导数压轴题的统一解法

1、精品好资料学习推荐一类高考导数压轴题的统一解法163316 黑龙江省大庆实验中学姜本超导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 2011年全国新课标卷理科数学21题就是一道典型的以导数为背景，通过求最值分类讨论解决恒成立问题。学生在思考的过程中会产生两种常见的想法，但并不是每一种方法都能达到预期的效果，下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法。原题：（2011年高考试题全国新课标卷理科数学21

2、题）已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求的值；（II）如果当且时，求的取值范围解：（I）略（II）由（）知考虑函数，则(i)设，由知，当时，而，故当时，可得；当时，从而当时，恒成立（ii）设由于当故而时，与题设矛盾（iii）设故当可得出矛盾综合可得的取值范围是评析：该题在解决的过程中是通过构造一个新的函数，通过讨论该函数的单调性和零点，找出恒成立的范围，再举出反例将其它范围舍去。在解决该类问题时还有一个常见的办法，就是分离变量，下面我们试一试。解：分离变量得由于在时没有意义，故变形为，令则，易知当时取到最小值所以，所以所以恒成立，故的取值范围是评析：采用分离变量方法使计算过程变得简单明了，

3、但仔细观察不难发现，这样的分离变量是有问题的，因为在时原函数是没有意义的，我们并不知道在时的极限，并且要证明函数的连续性，这些知识超出了高中的学习范围，是大学知识。事实证明，采用分离变量是存在问题的。对于这样的类型题有两个常见的方法可以选择，方法一：利用导数性质判断函数的单调性，研究函数的值域，分类讨论得出结果。方法二：大学知识辅助分离变量法。在高中阶段适合学生的是方法一，下面再举一例：案例1：（2010年高考试题全国新课标卷理科数学21题）设函数（I）若求的单调区间.（）若时求的取值范围.解：（I）略（）解：，若，则由（I）知所以，所以即若，由（I）知，则，即，当时，由于所以，所以当时不成立

4、，故这道题的第二问是否也可以采取分离变量的方法呢？我们可以尝试一下：由已知得，令,由图像知时取到极小值，且，由罗必塔法则可求得极限为，再根据函数的连续性可知.在高中阶段我们并没有学习求极限的方法，所以这道题不可以分离变量。那么2011年的高考题也有这样的情况吗？令，由函数图像知时取得极小值，可对求极限，由罗必塔法则得，所以。还有其它的高考题具有同样的特点吗？案例2：（2007年高考试题全国卷理科数学22题）设函数（I）证明：的导数（）若对所有都有求的取值范围。解：（）略（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题

5、设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是该题若进行分离变量即，令，由图像可知时取到极小值，但，由罗必塔法则可求得极限，所以，该题仍然可以用相同的方法解决。评析：以上三道高考题具有相同的特点，即第二问都可以通过讨论的方式，一部分范围是恒成立的，而另一部分范围则需要举出反例，舍去。在解决的过程中，通常还得用到恒等变形，适当放缩，所以难度都很大，在考场上想利用高中知识迅速准确的做对，都非常困难。在近五年高考中，全国卷共考了五次，不得不让我们对它给予高度的重视和研究。探究一下这类问题的本质，他们都不是连续函数，在无意义的点是不连续的，该点是函数的间断点，而且是函数的可去间断点，在间断点的两侧，该函数是单调函数，而且都是左减右增。利用大学知识，罗必塔法则可以求出该点的极限值，这三题的答案都是小于等于号，说明该极限值是一个极小值，这个极限值就是临界值。此类问题以大学数学中的函数连续为背景，存在着一个可去间断点，这个点就是讨论的重点。在高中阶段，无法求出极限值，极小值，只能通过分类讨论等办法，探求参数的取值范围。由上面的几道例题不难得出解决该类问题的统一方法，分两步走：一、通过分类讨论，探求使结论成立的参数范围，证明其恒成立。二、通过举出反例，将不符合要求的部分舍去。下面给出两个练习题，供大家思考：练习1：（2010年全国理数22题）