第节极限存在准则及两个重要极限PPT学习教案

1、会计学1第节极限存在准则及两个重要极限第节极限存在准则及两个重要极限2,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限第1页/共26页3准则准则 如果当如果当),(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)

2、(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则1 和和准则准则 2称为称为夹逼准则夹逼准则.第2页/共26页4例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第3页/共26页5记住结果：记住结果：11nnnlim)()(lim)(012

3、aannnnnnn43212lim例例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim第4页/共26页6x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.几何解释几何解释:AM第5页/共26页7例例3 3.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证证,1nnxx显然 ;是单调递增的nx, 331x又, 3kx假定kkxx3133, 3 ;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,3

4、21nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA 2131,2131AA解得(舍去舍去).2131limnnx第6页/共26页84例例),()(321211nxaxxnnn设设.lim,nnxax求求001解：解：)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(2121nxa)1 (21aa1nnxx1即即,limAxnn设设存在，存在，nnxlim),(AaAA21由由,aA.limaxnn第7页/共26页9AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位

5、圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 AOB 的面积圆扇形AOB的面积 AOC的面积,tan2121sin21xxx即即第8页/共26页10,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxxxxxcossin11第9页/共26页11例例4 4.cos1lim20 xxx求解解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx说明：说明：）更一般形式：（1, 1)()(sinlim0)(xfxfxf1sinlim330 xxx如）不要混淆：（2sinlim0.xxx例例3 3xx

6、xtanlim0 xxxxcossinlim10111第10页/共26页1220)22sin(lim21xxx2121 .21 5例例.arcsinlimxxx0解解:,arcsin xt 令令,sin tx 则则原式tttsinlim0tttsinlim101第11页/共26页13(2)exxx )11(lim存在：先证nnn)11 (limnnnx)11 ( 设21! 2) 1(1! 11nnnnn).11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnnnnnnnnn1!) 1() 1(第12页/共26页14).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(1

7、11 (!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然 ;是单调递增的nx!1! 2111nxn1212111n1213n, 3 ;是有界的nx.lim存在nnxennn)11 (lim记为)71828. 2(e类似地类似地,第13页/共26页15.)11 (limexxx可证：可证：注：注：exxx1011)(lim）等价形式：）等价形式：（exfxfxf)()()(lim1012）一般形式：）一般形式：（例例6 6xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e第14页/共26页16例例7 7.)(limxxx521求求解解10221)(

8、limxxx原式原式10 e例例8 8xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e第15页/共26页179例例.)cos(sinlimxxxx112211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx222121sinsin)sin(lime第16页/共26页1810例例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第17页/共26页191.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调

9、有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 第18页/共26页20作业作业4361P习题习题3 , 2),9() 1 ( 1A组组B组组3),3)(2)(1 ( 1第19页/共26页21思考思考题题求极限求极限 xxxx193lim 第20页/共26页22思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第21页/共26页23._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc第22页/共26页24xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、第23页/共26页25 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22,2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .第24页