比例线段讲义

1、比例线段一、比例1、四个数 a，b， c，d 成比例定义，比例的项，内、外项的含义。(1) 两个比相等的式子叫比例，记作：(abcd)，称作： a，b，c，d 成比例 (其中 a，b，c，d 均不为 0)。(2) “比”两数相除叫两数的比，记作： (ab)，在此 a 是比的前项， b是比的后项。(3) 中各部分名称 a，d 叫比例的外项 b，c 叫比例的内项 d 叫做 a，b，c 的第四比例项 (a，b，c 顺序不准乱动 )(4) 比例中项 若 abbc，则 b 叫 a， c的比例中项。2、比例的基本性质 (7 种变化形式 )3、应用比例的基本性质判断成比例线段将所给的四条线段长度按大小顺序排

2、列，如： a b cd，若最长 (a)和最短(d)两条线段之积 ad与另两条线 b、c 之积 bc 相等，则说明 线段 a，b，c，d 成比例。4、记住一些常用的结论：合比性质：如果 ，那么 ，等比性质： :如果 (bd n0，) 那么 【典型例题分析】例 1：判断下列每组线段是否成比例： a4，b ，c， d a ，b4，c 3，d a3，b4，c5，d6a3，b5，c6，d10例 2：已知，线段 a cm， b 4cm， ccm，求 a，b，c 的第四比例项。例3 ：已知，a2.4cm，c5.4cm，求a和c的比例中项 b。例4 ：已知，线段 a1，b， c，求证：线段 b 是线段 a，c

3、的比例中项。例5 ：若3x4y，求。例 6：已知，。当 bdf0时，求的值。 当 b 2d3f 0时，求的值。例 7：在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 米，同时，高为 1.5米的测竿的影长为 2.5 米 ，那么古塔的高是多少米？例 8：如图，AD 15，AB40，AC28, 求：AE。例 9 ：(1) 若 3x4y，求 xy、xx y、x2yxy 的值。(2) 若 aba53，求 a2bb 的值。(3) x:y:z 2:3:4，求 xyz2x3yz 的值。(4) 已知 a:b:c3:4:5，且 2a3b4c1，求 2a3b4c 的值。(5) 已知线段 AB 15cm

4、，CD20cm。求 AB:CD 的值。例 10：(1) 已知：x：(x+1)=(1 x) ：3，求 x。(2) 若 2x-3yx+y=12 ，求 yx 。(3) 若 a bb65，求 ab ，abb(4) 若 x2-3xy+2y 2=0,求 yx(5) 已知 x2=y3=z4 求 2x+3y-zz+2y-3x ， x+y+zx(6) 已知 x:y:z=4:5:7, 求 2x 3y z ， x y5z y z(7) a ： b：c=1： 3： 5 且 a+2b c=8 求 a、b、c(8) 已知 x：y=3： 4， x： z=2： 3，求 x：y：Z 的值。(9) 若 a c e 2，求 a c

5、 ， 2a 3c 4eb d f 5 b d 2b 3d 4f (10)y+zx=z+xy=x+yz=k, 求 k 的值(两种情况 )。(11) 已知在 ABC中，D、E分别是 AB、AC上的点，AB12,AE6,EC 4,且 ADDBAEEC求. AD的长黄金分割：1黄金分割点如图，点 C 把线段 AB分成两条线段 AC和 BC(ACBC)，若 AC BC ，则称线段 AB被点 C黄金 AB AC分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点， AC与 AB的比叫做黄金比，即 AC= 5 1 AB.2CAB2. 黄金分割点的画法已知：线段 AB求作：线段 AB 的黄金分割点 C。作法：如图： （1）

6、过 B 点作 BDAB，使 BD AB （2）连结 AD ，在 AD 上截取 DEDB （3）在AB 上截取 AC AE则点 C 就是所求的黄金分割点例 1：已知 P 为线段 AB的黄金分割点，且 APPB，则（ ）A、 AP2 AB PB； B、 AB2 AP PB； C、 PB2 AP AB； D 、 AP2 BP2 AB2例 2：已知 P、 Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB 10cm，则 PQ长为（）A、5( 5 1) B 、5( 5 1) C 、10( 5 2) D 、5(3 5) :例 3：已知线段 AB=a，在线段 AB上有一点 C，若 AC=3 2 5 a，则点 C是

7、线段 AB的黄金分割点吗？ 为什么？ 例 4：如果一个矩形 ABCD（ABBP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB，AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1与 S2的关系是（）A、S1S2B、S1BC，则AC等于（ ）A、cmB、2（ 1）cmC、 4（ 1）cmD、6（ 1）cm3、已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP NP，且 MP=（ 1）cm，则 MN 等于（A、2cmB、 4cmC、6cmD 、无法计算4、（2004?安徽）如图，扇子的圆心角为x，余下的扇形的圆心角为 y，x 与 y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为 0.6，则 x为（

8、） A、 216B、135C、120D、1085、若点 C是线段 AB的黄金分割点且ACBC，则二、填空题6、已知一点 C把AB分成两段 AC和 BC，且ACBC，当就说 C把 AB黄金分割7、把长为 10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是cm 8、（2004?淮安）科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618 时，看起来最美某成年女士身高为 153cm，下肢长为 92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm （精确到 0.1cm）三、解答题9、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比 ,?那么这样的等腰三角形称为黄金三角形 . 请你 设法作出一个黄金三角形 .10、已知线段

9、 AB=1,C为 AB的黄金分割点 , 且 ACBC求, AC-BC的值 .11、如图的五角星中 ,AD=BC,且 C、D两点都是 AB的黄金分割点 ,AB=1, 求 CD的长.B12、已知C、D是线段AB上的两点,且CD=（ 5 -2）AB,AC=BD,不难证明当 AB=1时,C、D是线段AB的 黄金分割点,试探究当 AB任意长时,C、D是否是线段 AB的黄金分割点 ?为什么?练习：1、从下列式子中求 xy。 （x y） y 8 3（xy）y122、已知：。 求： （abc）b。3、已知：，xyz6。求 x，y，z。4、已知：如图，AB8cm，AD2cm，BC7.2cm，E为 BC 中点。求

10、：EF，BF 的长。5、已知，线段 a 2，且线段 a，b的比例中项为。求：线段 b6、已知，点 P在线段 AB 上，且 APPB25。求 AB PB， AP AB 。7、ABC和AB中C，且AB的C周长为 50cm。求： A BC 的周长。8、已知，如图，。求证： （1）(2)练习：一、填空题1已知线段 a=2，b=3， c=5时，若 a，b，c，d 四条线段成比例，则 d=2在线段 AB上取一点 P，使 AP：PB=1：4，则 AP：AB=， AB：PB=3如果 a=15cm， b=10cm，且 b 是 a 和 c 的比例中项，则 c=ab4已知 a：b：c=2：3： 5，则=bc5已知实

11、数 x，y，z 满足 x+y+z=0， 3x-y+2z=0 ，则 x：y：z=6、xy345z，则 x yx zx 2y 3z2x 3y 5z7、已知 b 是 a，c 的比例中项，且 a=3cm，c=9cm，则 b= cm 。8、如果 a:b:c 1:1:3，那么2a 3b c a 5b 3c选择题9、如果 ax bc ，那么将 x作为第四比例项的比例式是（ ）acbxxabc10、三线段 a、b 、 c中， a的一半的长等于 线段的和与 b 的比等于（ ）b 的四分之一长，也等于 c 的六分之一长，那么这三条A 1:6B6:1 C11、已知 a bc d，则下列等式中不成立的是（bdabcdA.B.C.acbdac a b c d1:3 D)D.3:112、下列 a、b、c、d 四条线段，不成比例线段的是（）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cmc=5mm d=3mm9C. a=30mm b=2cm c= cm d=12mm D. a=5cm b=0.