现代控制第四章ppt课件

1、哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学Harbin Institute of TechnologyHarbin Institute of TechnologyStability Theory of Lyapunov 任课教师：杨庆俊任课教师：杨庆俊 4.1 李雅普诺夫稳定性概念李雅普诺夫稳定性概念4.2 李雅普诺夫第一法间接法李雅普诺夫第一法间接法4.3 李雅普诺夫第二法直接法李雅普诺夫第二法直接法4.4 线性系统的李雅谱诺夫分析线性系统的李雅谱诺夫分析本章目录本章目录 第一法的缺乏：第一法的缺乏：4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法 平衡形状处进展线性化，具有近似性。平衡形状处进展线性化，具有近似

2、性。 不能给出稳定性的范围。不能给出稳定性的范围。ex),(txfx Axx 一个振动例子：一个振动例子：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法0 xex假设存在能量衰减，最终会停在平衡位置，假设存在能量衰减，最终会停在平衡位置，此时能量最小。此时能量最小。弹性棒弹性棒 k小球小球 m 给我们的启示：给我们的启示：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法可否根据能量函数及其变化，来判别系统的可否根据能量函数及其变化，来判别系统的稳定性？稳定性？例如用一个标量函数例如用一个标量函数V(x,t)表示系统能量。表示系统能量。)(xV),(tV x表示系统能量的变化。表示系统能量的变化。),(tV

3、x0)(xV0)(xV0)(xV()0eVx能量大能量大能否根据能量函数及导数的能否根据能量函数及导数的定号性，来判别系统的稳定定号性，来判别系统的稳定性？性？ 例例 4.3.1 4.3.1 判别一下函数的正定性。判别一下函数的正定性。4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 221)()(xxxV 2221)(xxxV 2221)(xxxV正定正定负半定负半定负定负定1x2x0V0V1x2x0V0V1x2x0V0V21xx 李雅普诺夫函数：李雅普诺夫函数：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫函数比能量函数更为普通，运用李雅普诺夫函数比能量函数更为普通，运用也更广泛，但该函数构造

4、并非易事。也更广泛，但该函数构造并非易事。目前没有一个通用的构造方法，通常可选二次型。目前没有一个通用的构造方法，通常可选二次型。PxxxT)(V正定对称矩阵正定对称矩阵2221)(xxxV例如例如1001P 正定函数与二次型正定函数与二次型4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法假设标量函数假设标量函数( ),TV xx Px正定正定1121112212221212nnnnnnnnpppxxpppxxxxpppTPP称称P正定正定 正定函数与二次型正定函数与二次型4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法P正定的断定：正定的断定：1顺序主子式均大于顺序主子式均大于01111,1kkkkkppP

5、knpp0kP 正定函数与二次型正定函数与二次型4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法P正定的断定：正定的断定：2全部特征值全部特征值01TnGPGPTTTX PXX G PGX2TiiX PXx XGXTGGI 下面给出李雅普诺夫稳定性定理，下面给出李雅普诺夫稳定性定理，每个定理前，首先给出根本思绪。每个定理前，首先给出根本思绪。4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 第二法稳定性定理的根本思绪：第二法稳定性定理的根本思绪：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法2221)(xxxV1V5 . 0V 1 . 0V1x2x0 x0V0V 定理定理 4.3.1a 4.3.1a：4.3 李雅普

6、诺夫第二法李雅普诺夫第二法 是正定的；是正定的； 是负定的。是负定的。),(txfx 00f),(tt假设系统的形状方程为假设系统的形状方程为),(tV x),(tV x那么系统在原点处的平衡形状是一致渐近稳定的。那么系统在原点处的平衡形状是一致渐近稳定的。假设存在一个具有延续偏导数的标量函数假设存在一个具有延续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：),(tV x 定理定理 4.3.1a 4.3.1a：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 假设随着假设随着 ，有，有 ，那么为大范围，那么为大范围一致渐近稳定。一致渐近稳定。),(tV xx 1x2x在上述条件下，即在上述条件下，即V的

7、等值面扩展到的等值面扩展到整个形状空间条件下，整个形状空间条件下，能保证在全局范围能保证在全局范围 例例 4.3.2 4.3.2：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知系统的形状方程知系统的形状方程试判别其平衡形状的稳定性。试判别其平衡形状的稳定性。22121122221212()()xxx xxxxx xx 1) 计算平衡态计算平衡态1200 xx 2) 选择二次型函数选择二次型函数4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法22121122221212()()xxx xxxxx xx 2212( , )V x txx3) 计算导数计算导数1 122( , )22V x tx xx x222

8、212112212122 ()2()x xx xxxxxxx222122()xx 0负定负定正定正定4) 结论结论系统大范围一致渐近稳定系统大范围一致渐近稳定 例例 4.3.3 4.3.3：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知气弹簧系统的形状方程知气弹簧系统的形状方程试判别其平衡形状的稳定性。试判别其平衡形状的稳定性。311,0 xkxk 1) 计算平衡态计算平衡态10 x 2) 选择二次型函数选择二次型函数4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法311xkx 21( , )V x tx3) 计算导数计算导数1 1( , )2V x tx x412kx 0负定负定正定正定4) 结论结论系

9、统大范围一致渐近稳定系统大范围一致渐近稳定 另一种情况：另一种情况：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 1x2x0 x 1x2x0 x0V0V 定理定理 4.3.1b 4.3.1b：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 是正定的；是正定的； 是负半定的；是负半定的； 对恣意对恣意 和恣意的和恣意的 ，在，在 时不恒等于零。时不恒等于零。),(txfx 00f),(tt对于系统对于系统),(tV x那么原点处的平衡形状是一致渐近稳定的。那么原点处的平衡形状是一致渐近稳定的。),(tV x0 x 0tt 0t),(tV x假设存在一个具有延续偏导数的标量函数假设存在一个具有延续偏导数的标

10、量函数并且满足条件：并且满足条件：),(tV x 例例 4.3.4 4.3.4：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知系统的形状方程知系统的形状方程试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。21xx 212xxx1) 平衡点平衡点120 xx2) 正定函数正定函数2212Vxx3) 求导求导1 12222Vx xx x1221222()x xxxx222x 半负定半负定 图解：图解：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法21xx 212xxx-0.500.51-0.500.512x)0(02xV1x一致渐近一致渐近稳定稳定初值初值(0.1, 1) 李雅普诺夫

11、意义下稳定：李雅普诺夫意义下稳定：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 1x2x0 x0V 定理定理 4.3.3 4.3.3：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 是正定的；是正定的； 是负半定的；是负半定的； 某点起恒为某点起恒为0。),(txfx 00f),(tt假设存在一个具有延续偏导数的标量函数假设存在一个具有延续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：对于系统对于系统),(tV x),(tV x那么原点处的平衡形状是一致稳定的，那么原点处的平衡形状是一致稳定的，但不是渐近稳定。但不是渐近稳定。),(tV x),(tV x 李雅普诺夫意义下稳定，但非渐近稳定！李雅普诺夫意义

12、下稳定，但非渐近稳定！4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 1x2x0 x0V1x0t平衡点附近等幅震荡平衡点附近等幅震荡 例例 4.3.5 4.3.5：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知系统的形状方程知系统的形状方程试判别其平衡形状的稳定性。试判别其平衡形状的稳定性。12xx21kxxm 1) 平衡点平衡点120 xx2) V(x,t)2212( )22kmV xxx 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法3) 求导求导1 122Vkx xmx x4) 断定断定1221kkx xmxxm0大范围一致稳定大范围一致稳定不渐近！不渐近！ 定理定理 4.3.4 4.3.4：4.3 李

13、雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 在原点的某一邻域内是正定的；在原点的某一邻域内是正定的； 在同样的邻域中也是正定的。在同样的邻域中也是正定的。 或者半正定，但不恒为或者半正定，但不恒为0。),(txfx 00f),(tt假设存在一个具有延续偏导数的标量函数假设存在一个具有延续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：对于系统对于系统),(tV x),(tV x那么原点处的平衡形状是不稳定的。那么原点处的平衡形状是不稳定的。),(tV x 不稳定：不稳定：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 1x2x0 x0V 0V 例例 4.3.6 4.3.6：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知

14、系统的形状方程知系统的形状方程试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。21xx 212xxx 1) 平衡点平衡点120 xx2) 正定函数正定函数2212Vxx3) 求导求导1 12222Vx xx x1221222()x xxxx222x半正定半正定 4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法初值初值(0.001，0)-1-0.500.51-0.500.511.522.5212xxx 21xx 不稳定！不稳定！ 例例 4.3.7 4.3.7：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法知系统的形状方程知系统的形状方程试判别其平衡形状的稳定性。试判别其平衡形状的稳定性

15、。311xx1) 计算平衡态计算平衡态10 x 2) 选择二次型函数选择二次型函数4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法311xx21( , )V x tx3) 计算导数计算导数1 1( , )2V x tx x412x0正定正定正定正定4) 结论结论系统不稳定系统不稳定 关于第二法几点阐明：关于第二法几点阐明：4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫函数选取不独一。充分性。李雅普诺夫函数选取不独一。充分性。 不仅对线性系统，而且对非线性系统，也不仅对线性系统，而且对非线性系统，也 能提供大范围稳定性的信息。能提供大范围稳定性的信息。 对于某特定系统，假设未找到一个适宜的对于某特

16、定系统，假设未找到一个适宜的 李氏函数证明系统稳定、渐近稳定或不稳定，李氏函数证明系统稳定、渐近稳定或不稳定， 就不能给出任何稳定性信息。就不能给出任何稳定性信息。 假设系统的原点是稳定的或渐近稳定的，假设系统的原点是稳定的或渐近稳定的， 那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数 一定存在。一定存在。 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析xAx线性延续系统线性延续系统稳定的充要条件：稳定的充要条件：TA PPAQ 对给定正定实对称阵对给定正定实对称阵Q，存在正定实对称阵，存在正定实对称阵P

17、满足：满足：此时此时TVx Px证：证：TTVx Pxx Px()TTAxPxx PAxTTTx A Pxx PAxTx Qx 负定负定 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析TA PPAQ 李雅普诺夫方程李雅普诺夫方程Q可取为对角阵，甚至单位阵，以简化计算。可取为对角阵，甚至单位阵，以简化计算。P中含有中含有(1)2n n 个未知数个未知数列列(1)2n n 个方程个方程 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析0111xx例例4.4.1：解：解：11Q112111212122212201011 011110 1pppppppp 21221121112122

18、21222102()01ppppppppp 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析210.5p2122112111212221222102()01ppppppppp221p111.5p 1.5 0.50.51P11.50P 21.250P P正定正定系统稳定系统稳定 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析Matlab求解求解P=lyap(AT,Q) 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析线性非定常：线性非定常：( )xA t x( )( )0TQ tQt( )( )0TP tPt( )( ) ( )( ) ( )( )TP tA t P tP t A tQ t 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析线性离散：线性离散：(1)( )x kAx k0TQQ0TPPTA PAPQ ( )V k正定，正定，(1)( )VV kV k负定，负定，那么稳定。那么稳定。 4.4 线性系统的李雅普诺夫分析线性系统的李雅普诺夫分析线性时变离散：线性时变离散：(1)( ) ( )x kA k x k( )( )0