清华附中小升初数学试题解析.docx

1、一、填空题1. 已知A11111111111111112324232009232008B11111111，2342009那么 B与A的差， BA.【分析】 观察到 A 的最后一项和B 较相似，所以可以从后往前减：111111111111. 120091211. 1234200934200811111;131.1200824发现这差又和A的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A 的第一项，则结果为1.2. 甲、乙两包糖的重量之比是21 ，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量之比变为75，那么两包糖重量的总和是克 .【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比

2、例从 2:1 变成 7:5，和分别是3 和 12，所以统一为12，也就是从8:4 变成 7:5，所以 10 克是 1 份， 12 份是 120 克。3. 某商品按定价出售， 每个可获利润 45 元，如果按定价的 70% 出售 10 件，与按定价每个减价 25元出售 12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价元 .【分析】 每个减价 25 元也就是说每个获利润20 元， 12 件获利润240 元。按定价的70% 出售 10 件也获利润240 元，所以每个获利润24 元，比定价少21 元。这 21 元是定价的 30%，所以定价是70 元。4.如图 1 ，在角 MON 的两边上分别有 A 、 C

3、、 E 及D FNB 、D 、f 六个点，并且 OAB 、ABC 、BCD 、CDE 、 DEF 的面积都等于 1，则 DCF 的B面积等于.【分析】 OB : BDSOD:DFS所以OCBOED: S: SBCDDEF2:1 ，OAMC E4 :1图 1DF1 OD3 BD, S DCF3SBCD3。44445. 将正整数从 1 开始依次按如图 2 所示的规律排成一个“数阵” ，其中 2 在第 1 个拐角处， 3 在第 22221107个拐角处， 5 在第 3 个拐角处， 7 在第 4个拐角9820处， .那么在第 100 个拐角处的数是.1121619【分析】18观察可发现，第 2n 个拐

4、角之前有一个n (n 1) 的矩形，123451314151617所以第 2n 个拐角处的数等于 n2 n1，第 100 个拐角处图 2的数为 2551。6.设 101104 1072009A10k ，这里A ， k 都是正整数，那么k 的最大值为.【分析】 只要看里面 5 的因子个数，因为2 的因子个数一定足够多。101 到 2009 里面共有 (2009 101) 31 637 个数。其中，这里面的后625 个一定含有125 个 5 的倍数， 25 个 25 的倍数， 5 个 125 的倍数和1 个 625 的倍数；前12 个中， 110 和125 共含有 4 个因子 5。所以，含有 5

5、的因子个数为12525514160。7.在 1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 的所有排列 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 中，满足条件 a1a2 ， a3 a2 ，a3 a4 ， a5 a4的不同排列的个数是.【分析】 a2 , a4 中一定有1，另一个只能是 2 或 3。如果 a2 , a4 是 1，2，另外三个数可以任意排列，有2612 种；如果 a2 , a4 是 1，3，则 3 的两侧只能放4和5，有224 种。所以，共有 16 种。二、填空题8.某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上700 开始工作，他们将在上午1100完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再

6、晚半小时开始，那么他们将比原计划晚 1 小时 20 分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚 1 小时开始，那么他们完成工作的时刻是.【分析】 根据题意，甲晚开始1 小时，乙晚开始1 个半小时，结果晚完成1 小时 20 分钟，也就是说乙10 分钟的工作量等于甲20 分钟的工作量， 乙的工效是甲的2 倍。如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10 分钟， 10:50。9.已知正整数 N 的八进制表示为N（12345654321）N除以 7的8 ，那么在十进帛下，余数与 N 除以 9 的余数之和是2.【

7、分析】(12345654321)8(111111)8。根据 n 进制的弃 n1法， (111111)8 被 7 除余 6，所以其平方被7除余 1；9 (11)8 ，显然 (111111)8 被 (11)8 整除，所以其平方也被(11)8 整除。因此两个余数之和为1。10.如图 3 ，四边形 ABCD 是矩形， E 、 F 分别是ADE1 AB ，CF1BC ，AB 、 BC 上的点， 且 AEG34BAF 与 CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的面积为FC120，则AEG与CGF的面积之和图 3为.【分析】过 F 做CE的平行线交 AB于H ，则 EH :HBCF : FB 1:3，所以

8、AE1 EB2EH ， AG 2GF ， S AEG12 SABF231S ABCD 10。233942同理，过 E 做 AF 的平行线交 BC 于 I ，则 FI : IBAE:EB1: 2，所以 CF1 FBFI ，CG GE，SCGF 11S AEG 5。32所以两三角形面积之和为15。11.如图 4 ，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙2009清华附中班大学”分别代表 0 到 9 中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立， 那么四位+ 清华龙班数“清华附中”的最大值等于.清华大学【分析】图 4为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。原式为 2009 QHFZQHLB1

9、QHDX ，即 QHFZ1QHDXQHLB2009 7991DX LB。为了使 QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，最大可能为80。假设 QH80 ，则继续化简为FZ DX LB 9。DXLB9 最大为 9712976 ，此时出现重复数字，需要进行调整，9612975，符合题意，所以最大值为8075。12.设 a ，b 是两个正整数， 它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对（a,b）共有组 .5311 ，( a, b) 所含 2 的幂的情况可能是 (0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)；【分析】 9504 23(5,0),(5,1),(5,2),

10、(5,3),(5,4)共 11 种，同理 3 的幂的情况有7 种，11 的幂的情况有3种，所以总共有1173231种 .13. 某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人 .【分析】设原人数为 abc ，则有 abcbac180 ，即 a b2。从大到小尝试， 970 3626.34，所以所求答案为972。14. 设 A 、 E 为正八边形 ABCDEFGH 的相对顶点， 顶点 A 处有一只青蛙， 除顶点 E 外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A 出

11、发恰好跳 10次后落到 E 的方法总数为E 时青种 .【分析】14. 可以使用递推法。回到 A跳到B或H跳到C或G跳到 D或F停在 E1 步12 步213 步314 步6425 步1046 步201487 步34148 步6848289 步11648所以， 10 步跳到E 有 96 种方法。三、解答题 ( 请写出详细解题过程 ) ：15.某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A 、 B 两种产品共 50 件，已知每生产一件 A 产品需甲原料 9 千克和乙原料 3 千克；每生产一件 B 产品需甲原料 4 千克和乙原料 10 千克 .现在工厂里只有甲原料 360千克和乙原料 290 千克，那么该工厂

12、利用这些原料，应该生产 A 、 B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案 .【分析】 设生产 A 产品 x 件，则生产 B 产品(50x) 件。需要甲原料 9x4(50 x)2005x 千克，需要乙原料 3x 10(50 x)5007x 千克。2005x360，解得 30x32 。为避免原料不够用，则7x29050016.121如图5，在时钟的表盘上任意作9个的扇形，使11120102得每一个扇形都恰好覆盖4 个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同， 求证：一定可以找到3 个扇形， 恰好覆93盖整个表盘上的数 .并举一个反例说明，作8 个扇形将84不能保证上述结论成立 .765【分析】共有 12种可能的扇形，每个数恰好被4 个扇形覆盖。这12 个图 5扇形分为4 组，同一组的 3 个扇形恰好盖住整个表盘。所以，如果去掉3 个，则一定还有一组是完整的，这组的3 个扇形覆盖整个表盘。另一方面，如果从 12 个扇形中去掉 4 个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4 个扇形，这样这个数就没有被盖住。17. 对 四 位