圆锥曲线的统一定义教学设计-王金林

1、圆锥曲线的统一定义教学设计江苏省通州高级中学 王金林教材分析：圆锥曲线是一个重要的数学模型， ，它具有很多非常好的几何性质，在日常生活、社会生 产及科学技术中都有着重要而广泛地应用。本章内容与数学必修二中“平面解析几何初步” 一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程， 研究曲线性质”为主线，并在学生具有较多的感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念。 这种从特殊到一般、从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律。教材从“总 - 分- 总”的设计思路，先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、双曲线、抛 物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线、抛

2、物线的几何性质，进而通过统 一定义从总体上进一步认识三种曲线的关系。教科书从抛物线的定义出发，创设情境，提出 类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间的内在的关系， 使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现 美的能力和意识，提高数学审美能力。教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程教学过程一、问题情境1情境：我们知道，平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l（F 不在l上） 的距离的比等于 1的 动点 P 的轨迹是抛物线当这个比值是一个不等于的常数

3、时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？2问题：1 的定值的点的轨迹为椭圆1 的定值的点的轨迹为双曲线的距离2进一步证明：动点 P 到定点 (c,0) 的距离和到定直线2 a xc的距离之比为 c (a c 0) a证明：根据题意可得 (x c) y c2a| x |c化简得 (a2 c2) x2 a2y2 a2(a2 c2)2y2 1(a b 0)b22l : x a 距离之比 c (c a 0)ca试探讨这个常数分别是 1 和2时，动点 P的轨迹？23. 猜想：猜想一：到定点的距离和到定直线的距离之比为小于 猜想二：到定点的距离和到定直线的距离之比为大于二、学生活动证明猜想1回顾椭圆标准方程的

4、推导过程在推导椭圆的标准方程时， 我们曾得到这样一个方程： a2cx a (xc)2y2 ，将其变形为(x2 c) ya2 x c你能解释这个方程的几何意义吗？(xc)2 y2 动点( x,y)到( c,0)22 a x 动点( x,y )到直线 x a 的距离 cc2令 a2 c2 b2 ，上式可化为 x2 a这是椭圆的标准方程的轨迹是椭圆3类比证明：已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直线的点 P 的轨迹为双去线4由探究试验的结论以及抛物线的定义，归纳概括出椭圆的统一定义221) x2 y225 9备用：椭圆224xb22 by22 1点到右准线的距离是2 3b ，求

5、该点到椭圆左焦点的距离圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在l上)的距离的比 等于常数 e 的点的轨迹当 0 e 1 时，它表示椭圆；当 e 1 时，它表示双曲线；当 e 1 时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l是圆锥曲线的准线2 2 25椭圆 x2 y2 1(a b 0)有两个焦点，两条准线，右焦点 F ( c,0) ，右准线 x a ，左焦a b c2点 F ( c,0) ，左准线 x a 离心率 e c (0 e 1)ca2 2 2双曲线 x2 y2 1(a 0，b 0)有两个焦点，两条准线，右焦点 F(c,

6、0) ，右准线 x a ，左焦a b c2点 F ( c,0) ，左准线 x a ，离心率 e c (e 1)ca6根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的22椭圆或双曲线，与焦点 F1( c,0), F2(c,0) 对应的准线方程分别为 x a , x a cc三、数学运用 例 1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程x2 y 22)4x2 y2 16 (3)x y 1 (4)4 y2 x2 1616 92例2椭圆 2x5 y9 1上一点 P到左焦点的距离是 4，求该点到椭圆左准线的距离变式 1：求该点到椭圆右准线的距离解：设该椭圆的的左右焦点分别是 F1,

7、F2，该椭圆的离心率为 e 3 ，由圆锥曲线的统一定义2可知， PF2 e 2 3b 3 2 3b 3b2所以， PF1 4b PF2 4b 3b b即该点到椭圆左焦点的距离为 b 说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线 ）四课堂小结：探究 猜想 证明圆锥曲线的统一定义焦点与准线的求解（求解步骤）利用圆锥曲线的统一定义来解决问题教学反思：在必修 2 中我们学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念及求法己经有一定理解， 前面又详细学习了圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，以及

8、简单应 用，通过抛物线的学习加深了学生对圆锥曲线统一的认识，提高对坐标法这一解析几何基本 方法的应用能力，提高学生综合能力。本节在抓好基础知识的同时，注重激发学生学习的兴趣，同时注重学生在自我探索过程 中发现知识，培养探究意识。让学生成为一名自主的学习者和探索者，让学生处在一种对知 识的追求状态中。圆锥曲线统一定义很简单但非常重要，学习时指导学生注意和抛物线定义相联系。由抛 物线定义导入新课，将比值 1 改变，曲线会是什么形状？学生先猜想，后从形和数两个方面 进行验证。从探究猜想证明这一过程中，学生获取了知识，而且加深了理解。教师 作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验， 留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。在教学过程中，结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学 这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。课堂上为学生的主动参与提供充分的时间 和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错） ，选出代表上讲台讲解等做 法，学生勇于展示。每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨 论，共同进步。借助与多媒体设备，用了几何画板软件辅助作图，动画、影像