2019年高考数学二轮复习 专题六 数列、不等式及数学归纳法 第3讲 数列求和及综合应用课件 新人教A版

1、第第3 3讲数列求和及综合应用讲数列求和及综合应用核心整合核心整合1.1.公式法公式法: :利用等差、等比数列求和公式求和利用等差、等比数列求和公式求和. .2.2.分组求和法分组求和法: :分组求和法是指一个和式可分成几部分分组求和法是指一个和式可分成几部分, ,而每一部分又可分别求而每一部分又可分别求和的方法和的方法. .3.3.并项求和法并项求和法: :先将某些项放在一起求和先将某些项放在一起求和, ,然后再求和的方法然后再求和的方法. .4.4.倒序求和法倒序求和法: :距首尾两端等距离的两项和相等距首尾两端等距离的两项和相等, ,可以用此法可以用此法, ,一般步骤一般步骤: :求通求

2、通项公式项公式; ;定和值定和值; ;倒序相加倒序相加; ;求和求和. .5.5.错位相减法错位相减法: :形如形如aan nb bn n(其中其中aan n 为等差数列为等差数列,b,bn n 为等比数列为等比数列) )的数列求和的数列求和. .6.6.裂项相消法裂项相消法: :将数列的通项分成两个代数式的差将数列的通项分成两个代数式的差, ,即即a an n=f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(n)的形式的形式, ,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法然后通过累加抵消中间若干项的求和方法. .核心突破核心突破考点一考点一 公式法公式法【例例1 1】 1 12 23+23+23 34+

3、n(n+1)(n+2)=4+n(n+1)(n+2)=. . 方法技巧方法技巧B B2.2.求和求和1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)=+n)=. . 考点二考点二分组求和法分组求和法方法技巧方法技巧分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型(1)(1)若若a an n=b=bn nc cn n, ,且且bbn n,c,cn n 为等差或等比数列为等差或等比数列, ,可采用分组转化法求可采用分组转化法求aan n 的的前前n n项和项和. .答案答案: :1 1231 1233.S3.Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前

4、的前n n项和项和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28.=28.记记b bn n=lg a=lg an n,其中其中xx表示不表示不超过超过x x的最大整数的最大整数, ,如如0.9=0,lg 99=1.0.9=0,lg 99=1.(1)(1)求求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;解解: :(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为d,d,据已知有据已知有7+21d=28,7+21d=28,解得解得d=1,d=1,所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n,=n,b b1 1=lg 1=0,b=lg 1=0,b1111=lg 11=1,b=

5、lg 11=1,b101101=lg 101=2.=lg 101=2.(2)(2)求数列求数列bbn n 的前的前1 0001 000项和项和. .考点三考点三并项求和法并项求和法【例例3 3】 数列数列aan n 满足满足a an+1n+1+(-1)+(-1)n na an n=2n-1,=2n-1,则则aan n 的前的前6060项和为项和为. . 答案答案: :1 8301 830方法技巧方法技巧并项求和法通常是通过把一些项先求和得到一个和式并项求和法通常是通过把一些项先求和得到一个和式, ,再对和式进行分析再对和式进行分析求和求和. .A A2.2.已知数列已知数列aan n 的通项为

6、的通项为a an n=(-1)=(-1)n n(4n-3),(4n-3),则数列则数列aan n 的前的前5050项和项和T T5050= =. . 解析解析: :a an n+a+an+1n+1=(-1)=(-1)n+1n+14,4,所以所以T T5050=25=254=100.4=100.答案答案: :100100考点四考点四倒序求和法倒序求和法方法技巧方法技巧倒序相加通常的函数模型是关于某点成中心对称倒序相加通常的函数模型是关于某点成中心对称. .【题组训练题组训练】1.sin1.sin2 21 1+sin+sin2 22 2+sin+sin2 28989= =. . 答案答案: :n-

7、1n-1答案答案: :-38-38考点五考点五错位相减法错位相减法方法技巧方法技巧错位相减法通常运用在通项为等差数列乘等比数列的求和问题中错位相减法通常运用在通项为等差数列乘等比数列的求和问题中. .【题组训练题组训练】1.1.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=3n=3n2 2+8n,b+8n,bn n 是等差数列是等差数列, ,且且a an n=b=bn n+b+bn+1n+1. .(1)(1)求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式; ;2.2.设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知2S2Sn n=3=3n n+3.+

8、3.(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)若数列若数列bbn n 满足满足a an nb bn n=log=log3 3a an n, ,求求bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .3.3.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S Sn n=a=an+1n+1+n-2,n+n-2,nN N* *,a,a1 1=2.=2.(1)(1)证明证明: :数列数列aan n-1-1是等比数列是等比数列, ,并求数列并求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;(1)(1)解解: :因为因为S Sn n=a=an+1n+1+n-

9、2,+n-2,当当n2n2时时,S,Sn-1n-1=a=an n+(n-1)-2=a+(n-1)-2=an n+n-3,+n-3,两式相减两式相减, ,得得a an n=a=an+1n+1-a-an n+1,+1,即即a an+1n+1=2a=2an n-1(n2).-1(n2).设设c cn n=a=an n-1,-1,代入上式代入上式, ,得得c cn+1n+1+1=2(c+1=2(cn n+1)-1,+1)-1,即即c cn+1n+1=2c=2cn n(n2).(n2).又又S Sn n=a=an+1n+1+n-2,+n-2,则则a an+1n+1=S=Sn n-n+2,-n+2,故故a

10、 a2 2=S=S1 1-1+2=3.-1+2=3.所以所以c c2 2=a=a2 2-1=2,-1=2,又又c c1 1=a=a1 1-1=1,-1=1,故故c c2 2=2c=2c1 1. .综上综上, ,对于正整数对于正整数n,cn,cn+1n+1=2c=2cn n都成立都成立, ,即数列即数列aan n-1-1是等比数列是等比数列, ,其首项其首项a a1 1-1=1,-1=1,公比公比q=2.q=2.所以所以a an n-1=1-1=12 2n-1n-1, ,故故a an n=2=2n-1n-1+1.+1.考点六考点六裂项相消法裂项相消法方法技巧方法技巧裂项相消中的通项通常是由一个数

11、列中的连续两项作差而得到的裂项相消中的通项通常是由一个数列中的连续两项作差而得到的, ,所以裂项所以裂项相消法的关键是还原这一过程相消法的关键是还原这一过程, ,即把合并成的一项还原成连续两项的差即把合并成的一项还原成连续两项的差. .2.2.已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n=2a=2an n-n(n-n(nN N* *).).(1)(1)证明证明:a:an n+1+1是等比数列是等比数列; ;3.3.若若A An n和和B Bn n分别表示数列分别表示数列aan n 和和bbn n 的前的前n n项的和项的和, ,对任意正整数对任意正整数n,an,an n= = 2(n+1)

12、,3A2(n+1),3An n-B-Bn n=4n.=4n.(1)(1)求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式; ;考点七考点七与其他知识交汇与其他知识交汇方法技巧方法技巧数列求和还可以和其他知识交汇命题数列求和还可以和其他知识交汇命题, ,如数列与绝对值、三角函数、进位如数列与绝对值、三角函数、进位 制等制等. .【题型训练题型训练】在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a3 3+a+a4 4+a+a5 5=84,a=84,a9 9=73.=73.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;解解: :(1)(1)因为因为aan n 是一个等差数列是一个等差数列,a,a3 3+a+a4 4+a+a5 5=84,=84,所以所以a a3 3+a+a4 4+a+a5 5=3a=3a4 4=84,=84,即即a a4 4=28.=28.设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则5d=a5d=a9 9-a-a4 4=73-28=45,=73-28=45,故故d=9.d=9.由由a a4 4=a=a1 1+3d+3d得得28=a28=a1 1+3+39,9,即即a a1