(完整)高中数学选修2-1知识点、考点、附典型例题,推荐文档

1、高二数学选修 21第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若 p ，则 q ”，它的逆命题为“若 q ，则 p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原

2、命题的否命题.若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则p ”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件

3、若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时， p q 是假命题对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作p 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若 p 是假命题，则p 必是真命题9、短语“对所有的”、“对

4、任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示 含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对m 中任意一个 x ，有 p (x)成立”，记作“ x m ， p (x)”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ $ ”表示 含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在m 中的一个 x ，使 p (x)成立”，记作“ $x m ， p (x)”10、全称命题 p ： x m ， p (x)，它的否定p ： $x m ， p (x)全称命题的否定是特称命题考点：1、充要条件的判定2、命题之间的关系典型例题：1下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是a. a b +

5、1c a2 b22已知命题 p： $ nn，2n1000，则 p 为b. a b -1d a3 b3a nn，2n1000b nn，2n1000c $ nn，2n1000d $ nn，2n1000 x 1是 | x | 1 的a充分不必要条件必要不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件第二章：圆锥曲线知识点：1、平面内与两个定点 f1， f2的距离之和等于常数（大于 f1f2 ）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形x2 + y2y2 + x2标准方程a2b2 = 1(a b 0)a2b2

6、= 1(a b 0)范围-a x a 且-b y ba1 (-a, 0)、 a2 (a, 0)顶点b1 (0, -b)、b2 (0, b)-b x b 且-a y aa1 (0, -a)、 a2 (0, a)b1 (-b, 0)、b2 (b, 0)轴长短轴的长= 2b长轴的长= 2a焦点f1(-c, 0)、 f2 (c, 0)焦距f1f2f1 (0, -c)、 f2 (0, c)= 2c (c2 = a2 - b2 )对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称1- a2b2c离心率e =a(0 e 0, b 0)a2b2 = 1(a 0, b 0)范围x -a 或 x a ， y r顶点a1 (-

7、a, 0)、 a2 (a, 0)y -a 或 y a ， x ra1 (0, -a)、 a2 (0, a)轴长虚轴的长= 2b实轴的长= 2a焦点f1(-c, 0)、 f2 (c, 0)焦距f1f2f1 (0, -c)、 f2 (0, c)= 2c (c2 = a2 + b2 )对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称1+ a2b2c离心率渐近线方程y = b xae =a(e 1)y = a xb8、平面内与一个定点 f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 f 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于a 、b 两点

8、的线段ab ，称为抛物线的“通径”，即 ab = 2 p 10、抛物线的几何性质：y2 = 2 pxy2 = -2 pxx2 = 2 pyx2 = -2 py标准方程图形(p 0)(p 0)(p 0)(p 0)顶点(0, 0)对称轴x 轴y 轴焦点f p , 0 f - p , 0 f 0, p f 0, - p 222 2 准线方程x = - p2x = p2y = - p2y = p2离心率e = 1范围x 0x 0y 0y 0考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：1设双曲线的左准线与两条渐近线交于 a, b两点，左焦点在以 ab 为直径

9、的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为a (0, 2)b (1, 2)c (2 ,1)2d (， +)2xy222设椭圆+= 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 f1，f2。点 p(a, b) 满足a2b2| pf2 |=| f1 f2 | .（）求椭圆的离心率e ；（）设直线 pf2 与椭圆相交于 a，b 两点，若直线 pf2 与圆(x + 1)2 + ( y -3)2 = 16 相交于 m，n 两点，且| mn |= 5 | ab | ，求椭圆的方程。8第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：(1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量(2)向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表

10、示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向uuruur(3)向量 ab的大小称为向量的模（或长度），记作 ab (4)模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量-(5)与向量 r 长度相等且方向相反的向量称为 r 的相反向量，记作 r aaa(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点o 为起点的两rr个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形oacb ，则uuurrr以o 起点的对角线oc 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则(2)求两个向

11、量差的运算称为向量的减法，它遵循三角uuurr形法则即：在空间任取一点o ，作oa = a ，uuurruuurrrob = b ，则ba = a - b rr3、实数a与空间向量 a的乘积aa是一个向量，称为向量的数乘运算当a 0 时，arrrrrra 与 a 方向相同；当a 0 时，aa 与 a 方向相反；当a= 0 时，aa 为零向量，记为 0a的长度是 a的长度的 a倍arrr4、设a， a为实数， a，rb是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律：ar b rrbrrr(a +)= aa + a ；结合律：a(aa )= (aa)a 5、如果表示空间的有向线段所在的直

12、线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线rr rr6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a，( 0)，r 的充要条件是存在实数a，使 ar =bar 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量b ba / b8、向量共面定理：空间一点r 位于平面abc 内的充要条件是存在有序实数对 x ， y ，使uuruuruuruuuruuuruuruurar = xab + ya；或对空间任一定点o ，有or = oa + xab + ya cc；或若四点r ，uuuruuuruuuruuura ， b ， c 共面，则or = xoa + yob + zoc

13、 (x + y + z = 1)rruuurruuurr9、已知两个非零向量 a 和 ，在空间任取一点o ，作oa = a ， ob =bb，则aob 称rrr rr r为向量 a， b 的夹角，记作 a, b 两个向量夹角的取值范围是： a, b 0,arr10、对于两个非零向量 a和，若r r =arr，则向量 a，rr互相垂直，记作 aba, bbbrrrr11、已知两个非零向量 a 和 ，则2r r 称为 rrr ra，的数量积，记作 a即r rr rr rba bcos a, bbba b = a b cosa, b 零向量与任何向量的数量积为0 r rrrrrrr r12、 a b

14、 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos a, b 的乘积rrrr rr rrr r13 若 a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有(1) e a = a e = a cosa, e ； r r rrrrr rr r a b (a与同向 )r rr 2r -(2) a b a b = 0 ； (3) a b = r r rr， a a = a ， a =r r；a br rr rr ra b (a与反向 )rabrra a(4) cosa, b =a b； (5)a b r rrrra14 量数乘积的运算律： (1) a r = rr ； (2) (aa) r

15、= a(ar )= ar(a )；rr3a+bbrr rr rbbb( ) (b )c = a c + b c rrrr15、空间向量基本定理：若三个向量 a ， b ， c 不共面，则对空间任一向量 p ，存在实数rrrr组x, y, z，使得 p = xa + yb + zc 16、三个向量r ，b r ，r不共面，则所有空间向量组成的集合是r rrarrcrrrp p = xa + zc, x, y, z r这个集合可看作是由向量 a ， c 生成的，ybr r rbrrra,b, c称为空间的一个基底， a ， b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底ur

16、urur17、设e1 ， e2 ， e3 为有公共起点o 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），urururururur以e1 ， e2 ， e3 的公共起点o 为原点，分别以e1 ， e2 ， e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正r方向建立空间直角坐标系oxyz 则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它uuurr的起点与原点o 重合，得到向量or = p 存在有序实数组x, y, z，使得pr = urururrurururxe1 + ye2 + ze3 把 x ， y ， z 称作向量 p 在单位正交基底e1， e2 ， e3 下的坐标，记作rrp = (

17、x, y, z )此时，向量 p 的坐标是点r 在空间直角坐标系oxyz 中的坐标(x, y, z )r18、设 a= (x , y , z )，r = (x , y , z)， 则( ) r+r= (x + x , y + y , z + z )1 a(2) ar11 1b222b121212r-= (x - x , y - y , z - z )b121212(3)ar = (ax1,ay1,az1 )ra(4) ar= x x + y y + z z rrbr 1 21 21 2rra、(5)若 r为非零向量，则 a a= 0 x x+ y y + z z = 0 bbb6 若 rrrr

18、rr1 21 21 2( )b 0 ，则 a / b a = ab x = ax , y= ay , z = az rr r222121212(7) a=a a =rrx1 + y1 + z1 r ra x x + y a br rx2 + y2 + z2111x2 + y2 + z2222(8) cosa, b =b =1 21 y2 + z1z2(9) a(x1, y1, z1 )， b = (x2 , y2 , z2 )，(x21- x+ y)(221- y+ z - z)(221)2uuur则 dab= ab =uuur19、在空间中，取一定点o 作为基点，那么空间中任意一点r 的位置

19、可以用向量or 来表uuur示向量or 称为点r 的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点a 以及一个定方向确定点a 是直ruurrr线l 上一点，向量 a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点r ，有 ar = ta ，这样点a 和向量 a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点21、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点o ，它们的方向向量分别为 rrr 为平面a上任意一点，存在有序实数对(x, y )，使uuurrra ， brr得or = xa + yb ，这样点o 与向量 a ， b 就

20、确定了平面a的位置22、直线l 垂直a，取直线l 的方向向量 ar ，则向量 rra称r 为平面a的法r向量r23、若空间不重合两条直线 a ， b 的方向向量分别为 a ，则 a / b rrba / ba= arrr rb (ar)， a b a b a b = 0 rrr24、若直线 a 的方向向量为 a ，平面a的法向量为 n ，且 a a，则 a /a a /a rrr rrrrrra n a n = 0 ， a a a a a / n ar = ran rr25、若空间不重合的两个平面a，a的法向量分别为 a ， ，则a/arba / bra= arrr rb ，a a a b a

21、 b = 0 r26、设异面直线 a ， b 的夹角为a，方向向量为 ab ，r，其夹角为a，则有cosa= cosa=a br ra br rrrrr27、设直线l 的方向向量为 ，l 平面a的法向量为 n ， l 与a所成的角为a， 与l n 的夹角l nr rl nr r为a，则有sina= cosa =urururur28、设 n1 ， n2 是二面角a- l - a的两个面a， a的法向量，则向量 n1 ， n2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角a- l - a的平面角为a，则ur urn1 n2cosa = ur ur n1 n2uuuruuurr29、点 a 与

22、点b 之间的距离可以转化为两点对应向量ab 的模 ab 计算30、在直线l 上找一点r ，过定点a 且垂直于直线l 的向量为 n ，则定点a 到直线l 的距离u uru ur ruuur rra n为 d = ra cosra, n =rnr31、点r 是平面a外一点， a 是平面a内的一定点， n 为平面a的一个法向量，则点r 到u uru ur ruuur r平面a的距离为 d = ra cosra, n =ra n rn考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题典型例题：1已知正方体 abcda1b1c1d1 中，e 为 c1d1 的中点，则异面直线 ae 与 bc 所成角的余弦值为 。2在如图所示的几何体中，四边形 abcd 为平行四边形， acb= 90 ，平面，ef，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小3.如图，在五棱锥 pabcde 中， pa 平面abcde，ab/cd，ac/ed，ae/bc， abc = 45, ab = 22, bc = 2 ae = 4 ，三角形 pab 是等腰三角形。（）求证：平面